(2019-12) Minimum Competencies Programme: Mathematics, Secondary IV (SES stream)

MENFP MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE PROGRAMME A COMPÉTENCES MINIMALES MATHÉMATIQUES SECONDAIRE IV SÉRIE : SES DECEMBRE 2019 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Tenant compte des difficultés rencontrées au cours de la période de « Peyi lock » pendant plus de deux (2) mois, les autorités du ministère ont opté pour la poursuite des activités scolaires pour l'année académique 2019/2020. C'est ainsi que les directions techniques concernées ont été instruites par les autorités du MENFP, notamment le Ministre Pierre Josué Agénor CADET afin de réaménager le calendrier scolaire et élaborer un programme adapté à cet dernier. Globalement, il s'agit d'évaluer le nombre de jours de classes raté pendant cette période et prendre en compte l'essentiel dans chaque discipline, c'est-à-dire les thèmes disciplinaires qui valideront l'année académique pour chaque niveau d'enseignement. Stratégiquement, pour optimiser le temps d'apprentissage, la Direction de l'Enseignement Secondaire a proposé un programme de 36 heures par semaine a raison de 6 heures par jour et échelonné sur une période de 6 jours par semaine, ce, pour combler le nombre d'heures perdu au cours de la période de « Peyi lock ». Ceux, considérés comme non pertinents font l'objet d'activités d'enseignement / apprentissage qui seront versés sur les différentes plateformes construites à cet effet par le ministère et serviront de devoirs de recherche par les élèves des différents niveaux du secondaire. Dans le cas des mathématiques pour la classe de secondaire IV ; série (SES) ; 22 heures sont susceptibles d'être rattrapées par semaine et 12 heures peuvent être prises en charge à travers des devoirs de recherche à la maison. Algèbre Hormis les termes « résolution d'une équation du 2end degré a coefficient réels C tous les autres termes et contenus notionnel du programme détaillé sont à étudier. Analyse Hormis les termes « intégrale et aires unité d'aires » calcul de grandeurs géométrique. Aires /volume tous les autres termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier. Probabilité Tous les termes et contenu notionnels du programme détaillé sont à étudier. CAPÍTULO I Le présent programme dénommé : Programme à compétences minimales de mathématiques est élaboré à partir du programme initial conçu pour une année scolaire de 189 jours à raison de six (6) heures de cours par jour. Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Contenus Competences · Définition du nombre complexe et · Savoir définir un nombre complexe et notation. établir l'ensemble ℂ. · Identification des parties réelles et imaginaires. · L'écriture algébrique d'un nombre complexe. Suggestions d'activités · Le professeur proposera aux élèves des équations comme x2 – 1 = 0, x2 – 4 = 0 et 2 · Savoir déterminer la partie réel et la x + 1 = 0, à résoudre dans ℝ. Il leur partie imaginaire d'un nombre fera faire la remarque que x2 + 1 = 0 n'a complexe. pas de racine dans ℝ et fera apparaitre le nombre i2 = – 1 · Savoir mettre un nombre complexe sous ALGEBRE · Définition d'un nombre complexe : · réel pur · imaginaire pur forme algébrique. · Savoir distinguer un nombre complexe imaginaire pur. + 11i et (2 – 3)3 = 2 – 11i. deux nombres complexes. · affixe d'un point · point image d'un nombre complexe · point image d'un nombre complexe · plan complexe que dans ℝ et en remplaçant i2 par – 1, il leur fera établir que · Nombre complexes conjugués. · Définition de : · En utilisant les mêmes règles de calcul réel pur d'un nombre complexe · Egalité de deux nombres complexes. · Savoir reconnaitre et utiliser l'égalité de · Savoir déterminer l'expression conjuguée d'un nombre complexe. CAPÍTULO I Thème: Généralités sur les nombres complexes 3 (2 + i) = 2 Il leur fera · A partir des écritures précédentes établir l'écriture générale d'un nombre complexe z = x + iy, ℝ et i2 = –1. · Identifier les parties réelle et imaginaire de z. 1 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) CAPÍTULO I · · · · · · - Le professeur demandera aux élèves de représenter dans le plan un point M, d'affixe z et leur fera observer et vérifier que M et M1 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses (ou l'axe des réels). ALGEBRE 2 Affixe d'un point Point image d'un nombre complexe vecteur – image plan complexe l'axe des réels l'axe ders imaginaires. - Le professeur proposera aux élèves des situations-problèmes appropriées qui leur permettront d'approfondir les notions. - Le professeur fera savoir aux élèves que les propriétés de l'addition et de la multiplication définies dans ℂ se prolongent dans ℂ et confère à ℂ une solution d'espace vectoriel. Par des exercices appropriées, il fera calculer par les élèves la somme, le produit et le quotient de nombres complexes et traiter des exercices relatives à la structure d'espace vectoriel réel de (ℂ, +, ) Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) complexes à des points du plan complexe et demandera aux élèves d'interpréter géométriquement les résultats algébrique (Cercle, droite, demi-droite, segment, médiatrice) - Représentation géométrique - Savoir déterminer l'affixe d'un point du d'un nombre complexe dans le plan et placer un nombre complexe plan muni d'un repère direct. dans le plan. ALGEBRE - Calcul de la somme du produit, de - Savoir additionner, soustraire, multiplier et faire le quotient de deux nombre la différence et du rapport de complexe. deux nombres complexes. er degré à coefficient réels sur ℂ. - Résolution d'une équation du 2nd dégrée à coefficient réels sur ℂ · Le professeur fera représenter par les élèves le nombre z = 2 + 3i dans le plan - Savoir résoudre une équation du 1 nd puis établir une correspondance entre degré, du 2 degré à coefficient réels les points M(x, y) du plan et les nombres sur ℂ. complexes Z = x + iy et réciproquement. er un réel. - Résolution d'une équation du 1 -Etablir les propriétés Re (z) = Re(z) et Im(z) = -Im(z) complexe. - Produit d nombre complexes par · Le professeur fera reconnaitre par les élèves l'écriture algébrique d'un nombre complexe et leur fera l'utiliser pour : - Définir le conjugué de z noté z - Savoir déterminer l'inverse d'un nombre - Inverse d'un nombre complexes. · Observer que : pour y = 0, z est réel. Pour x = 0 et y 0, z est imaginaire pur. CAPÍTULO I Le professeur associera des nombres · A partir des représentations dans le plan, il définira avec les élèves les notions de : - affixe d'un point - Point image d'un nombre complexe - vecteur-image - plan complexe - l'axe des réels et l'axe des imaginaires 3 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Contenus Competences - Solution d'une équation 1er degré à - Savoir définir une équation linéaire. 1, 2, 3 inconnues. Suggestions d'activités · Le professeur demandera aux élèves d'identifier, d'identifier, dans une série d'équation, celles qui sont - Savoir vérifier qu'un n-uplet est solution ALGEBRE CAPÍTULO I Thème: Equations et systèmes d'équations linéaires d'une équation linéaire à n inconnues. - Système d'équations linéaires : ü Définition ü Méthodes de résolution : Déterminant - Savoir reconnaître un système Élimination de Gauss d'équation linéaires. Combinaison linéaire linéaires. · Les élèves seront invités à donner une ou plusieurs solutions d'une équation linéaire donnée. Systèmes homogènes d'équations linéaires - Savoir résoudre un système de deux (ou trois) équations linéaires à deux (ou trois) inconnues par : · Le professeur proposera aux élèves des systèmes d'équations linéaires leur ü La méthode des déterminants 4 permettant d'atteindre la maitrise des méthodes de résolution de ces ü La méthode de Gauss ü Combinaison linéaires derniers. Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Analyse Contenus Competences Suggestions d'activités - Composé de deux fonctions - Limites pour deux fonctions u et v fonction u ayant une longueur donnée x - Dérivée U suivie de v (en m), associe (en m ) l'aire d'un - Primitive x a u (x) a v((x)) terrain de forme carrée et de x. Pour - Variation - - Courbe représentative - Fonction exponentielle et fonction logarithme népérien - Savoir que si l'enchainement est possible Savoir étudier la limite, la continuité et la dérivabilité d'une fonction. - Reconnaître, justifier, prouver, démontrer qu'une fonction donnée est une primitive d'une autre - Savoir déterminer la représentation graphique des fonctions à variables réelles. - - Savoir utiliser les logarithmes et · Le professeur proposera aux élèves une 2 tout x > 0, on va avoir u(x) = x2. V, désigne la fonction, qui a une aire donnée A (en m2), associe le prix en CAPÍTULO I Thème: Fonctions gourdes d'un terrain d'aire A, sachant que le prix du mètre carré est 1000 gourdes. Pour tout A > 0, on a v(A) = 1000A u 2 v x a xA a 1000A = 1000x2 2 exponentielle (leurs propriétés dans les La fonction x a 1000x , obtenue en calculs) enchainement les fonctions u puis v est Savoir étudier et représenter appelée composée de u suivis de v. graphiquement ou exponentielle à base a · Le professeur proposera des exercices (a > 0, a ҂ 1) permettant aux élèves de poser des conditions pour trouver le domaine de définition d'une fonction. · Des rappels seront effectives sur les acquis des calculs dans ℝ à consolider · Il fera étudier la parité et la périodicité d'une fonction certaines fonctions. 5 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Contenus - Primitive d'une fonction ; définition, - propriété, existence. Reconnaître, justifier, prouver démontrer qu'une fonction donnée est une primitive d'une autre. - Primitives particulières, notation. - - Catalogue des primitives usuelles et Suggestions d'activités choisir, par exemple, une fonction affine, le professeur demandera aux élèves de trouver une fonction F dont la dérivée sur Savoir utiliser les propriétés et les ℝ est f introduira alors la notation de techniques de transformation pour primitive : définitions. intégrer certaines fonctions. de quelques composés - Savoir calculer l'intégral définie - Intégrale définie d'une fonction d'une fonction continue d'une · Le professeur introduira l'intégrale continue sur un segment. fonction en escalier ou affine par définie d'une fonction continue sur un morceau sur un segment. segment f continue sur [a, b] donc admet Savoir utiliser la relation de Chasles des primitives F(a) – F(b) est indépendant dans le calcul d'une intégrale définie. de la primitive F choisie c'est l'intégrale - Savoir intégrer par partie de f sur [a, b]. L'élève sera amené à - Savoir calculer la valeur moyenne appliquer les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue sur un définie (linéarité, relation de Chasles) intervalle Formules d'intégration par parties - Définition Propriétés Relation de Chasles Valeur moyenne et théorème de la moyenne 6 Competences · Le professeur proposera aux élèves de Analyse CAPÍTULO I Thème: Calcul intégral et différentiel - Intégrale et Aires unité d'Aires - Calcul de grandeurs géométrique. - Aires / volume - - Savoir utiliser et interpréter le théorème de la moyenne. - Savoir utiliser les techniques d'intégration pour calculer une intégrale définie · Le professeur à l'aide d'encadrement aidera l'élève à définir la valeur moyenne d'une fonction sur un segment et interprétera le théorème de la moyenne. Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Savoir interpréter géométriquement Ÿ Le professeur proposera généralisera la l'intégrale définie. notion d'intégrale définie aux fonctions en escalier, affine par morceau et fera alors - Savoir appliquer l'intégrale définie aux l'interprétation géométrique de l'intégrale calculs d'arithmétique et algébriques définie. Il montrera aux élèves comment et aux calculs de volume des solides de l'integrale définie est utilisée dans le calcul révolution. d'aire plane et le volume. Thème: Gestion de données Statistique Contenus · Séries statistiques à deux Competences - variables · Nuage de points - Maitriser le tableau à double entrée - Savoir : Dessiner et interpréter le nuage de points associé à un couple de caractères relatifs à une population. · Point moyen · Ajustement affine par moindres - carrés · Droite de regression Comprendre la série statistique double - Savoir déterminer le barycentre (ou point moyen) d'un nuage. Appréhender la notion d'ajustement linéaire (pour un nuage) Suggestions d'activités - Par une petite évaluation formative tenant bien de diagnostic, l'enseignant favorisera le rappel des notions déjà étudiées antérieurement. - En considérant deux caractères X et Y relatifs à une même population E, le professeur amènera les élèves à construire dans un repère orthogonal tous les points M, de coordonnées (x, y) associé au couple (X, Y) de caractères qui vont former le nuage. · Coefficient de corrélation linéaire - Savoir maitriser les trois méthodes de détermination d'une droite d'ajustement. CAPÍTULO I - 7 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) CAPÍTULO I Ÿ Il ne lui sera pas difficile de les porter à comprendre que ce nuage de point à un barycentre dont les coordonnées (X, Y) sont les valeurs moyennes des caractères X et Y - Le professeur pourra dessiner un tableau un tableau de points, demander aux élèves de le reproduire et de tracer une droite passant le plus près possible de ce points. - Il leur sera permiers de comprendre que l'ajustement linéaire n'est rien d'autre qu'une méthode de détermination d'une droite qui, sans passe par tous les points du nuage, puisque ceux-ci sont en général non alignés, passe « le plus près possible » de ces points. Le professeur pourra, à ce moment, aborder sans grande difficulté. 8 - L'étude des méthodes de détermination de l'équation de la droite d'ajustement. Celle des droites de régression de x en y, puis de y en x. - Le calcul des coefficients des droites de régression - Les propriétés des droites de régression Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Contenus · Langage probabiliste/ Algèbre · Calcul des probabilités des évènements : Expérience aléatoire · Univers Evènement élémentaire · Evènement certain · · En considérant certains phénomènes langage probabiliste caractérisés Savoir dénombrer les résultats d'une l'incertitude, le professeur amènera les expérience aléatoire avec des arbres élèves à bien distinguer (ou identifier une Savoir dénombrer les résultats d'une Savoir étudier des phénomènes caractérisés par le hasard et Evènements équiprobables par le expérience aléatoire), hasard et l'univers des possibles, un évènement élémentaire, un évènement certain, un évènement impossible, l'évènement contraire d'un évènement A, deux évènements incompatibles, etc. l'incertitude, en utilisant la théorie Espace probabilisable et Espace probabilisé · Probabilité d'un évènement Loi de Laplace Savoir utiliser correctement le formules Evènement contraire · Suggestions d'activités expérience aléatoire avec des Evènement impossible Evènements incompatibles Competences CAPÍTULO I Thème: Probabilité d'un événement · Propriétés des probabilités · · des probabilités · Le professeur fera remarquer aux élèves Savoir définir les évènements et les qu'une même expérience peut déboucher résultats possibles sur des univers différents suivant les Savoir reconnaitre une situation hypothèses faites : par exemple, si on d'équiprobabilité lance deux dés et qu'on fait le produit P ou Savoir calculer la probabilité d'un la somme S des deux chiffres obtenus, on évènement obtient respectivement : Savoir définir une loi de probabilité à partir d'une expérience aléatoire W = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 16; 18; 20; 24; 25; 30; 36} W = { 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 12} 9 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) les questions suivantes : · Un étudiant estime à 60% ses chances de réussir son cours de français et à 30% ses chances de réussir les deux matières. a) Quelle est la probabilité qu'il réussisse Calcul des probabilités CAPÍTULO I · Le professeur invitera les élèves à traiter en Math mais non en français ? b) Quelle est la probabilité qu'il réussisse en français mais non en Math ? c) Quelle est la probabilité qu'il réussisse en Math ou en français ? d) Quelle est la probabilité qu'il ne réussisse ni en Math, ni en français ? Ÿ Soient A et B deux évènements tels que P( A) = 1 1 et P( A È B) == 5 2 1. Supposons que A et B sont incompatibles. Calculer P(B) 10 2. Supposons que A et B sont indépendants. Calculer P(B) · Une urne contient 4 boules et 2 boules noires indiscernables au toucher. On effectue au hasard un tirage de deux boules simultanément de l'urne. Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) obtenu aucune boule noire » est tel que: P( A) = 6 15 b) Montrer que l'évènement B : « On a obtenu une seule boule noire » est tel que : Calcul des probabilités P( B) = 8 15 c) En déduire la probabilité de l'évènement C : « On a obtenu deux boules noires. » · Dans une classe de 30 élèves sont formés CAPÍTULO I a) Montrer que l'évènement A : « On n'a un club photo et un club de théâtre. Le club photo est composé de 10 membres, le club théâtre de 6 membres. Il y a deux élèves qui sont membres des deux clubs à la fois. On interroge un élève de la classe pris au hasard. On appelle P l'évènement : « l'élève fait partie du club photo » et T l'évènement : « l'élève fait partie du club théâtre ». Montrer que les évènements P et T sont indépendants. 11 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Contenus · Calcul des probabilités CAPÍTULO I Thème: Probabilités conditionnelles Probabilités conditionnelles : · Définition · Calcul des probabilités conditionnelles, à l'aide d'un arbre pondéré · Déduction de PA(B) de P(B) et de Competences Suggestions d'activités · Savoir calculer des probabilités · Le professeur assistera les élèves dans le conditionnelles à l'aide d'un arbre traitement du problème suivant : On a dix boules numérotées de 1 à 10 réparties dans deux boites, les boules 1 à 5 dans la première, les boules 6 à 10 dans la deuxième. Le jeu consiste à choisir une des deux boites qui ne sont pas discernables, puis à choisir une des 5 boules dont on ne voit bien sûr pas le numéro ! Si l'on tire une boule qui est un multiple de 3, alors on a gagné. pondéré · Savoir calculer des probabilités conditionnelles avec des formules P( A Ç B) · Evènements indépendants: · Definition et Propriété · Conséquences · Savoir déterminer si deux évènements sont dépendants ou indépendants · Savoir interpréter l'indépendance de deux évènements a) Quelle est la probabilité de gagner ? b) Quelle est la probabilité de gagner, ère sachant que l'on a choisi la 1 boite c) Quelle est la probabilité de gagner, · Savoir définir l'indépendance de deux sachant qu'on a choisi la 2ème boite. évènements d) Faire un arbre et placer les probabilités sur chaque branche. 12 · Savoir bien distinguer indépendance et incompatibilité de deux évènements · Le professeur demandera aux eleves de determiner une valeur approchee au millieme de PA(A), sachant que A et B sont deux évènements tels que : P ( A Ç B ) = 0,8 et P ( B ) = 0,954 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) Contenus Calcul des probabilités · · Définition d'une variable · Savoir modéliser le résultat d'un aléatoire discrète mécanisme non déterministe Loi de probabilité d'une variable · Savoir utiliser une variable aléatoire aléatoire · Competences Espérance mathématique d'une pour conjecturer un comportement futur · Savoir définir totalement une variable aléatoire par sa loi de probabilité variable aléatoire · Savoir caractériser une variable · Variance et Ecart-type d'une aléatoire variable aléatoire ·Savoir définir l'espérance mathématique d'une variable aléatoire · Savoir définir la variance d'une variable aléatoire · Savoir définir l'écart-type d'une variable aléatoire · Savoir exploiter les caractéristiques de Suggestions d'activités · Le professeur demandera aux élèves de : 1- Former tous les couples possibles de numéros obtenus lors du lancer simultané de deux dés cubiques dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 2- Faire la somme des numéros composant chacun de ces couples CAPÍTULO I Thème: Variable aléatoire discrète 3- Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : « La somme des numéros apparus est égale à 8 », B : « Le produit des numéros apparus est égal à 12 ». · Le professeur viendra avec des activités permettant aux élèves de : 1- Voir que l'espérance mathématique d'une variable aléatoire se calcule de manière analogue à la moyenne dispersion d'une variable aléatoire 2 D'avoir une claire idée de la dispersion des valeurs autour de l'espérance, en calculant la variance qui est la moyenne des écarts par rapport à l'espérance. 13 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) CAPÍTULO I · Espérance mathématique d'une variable aléatoire · Variance et Ecart-type d'une variable aléatoire · Savoir caractériser une variable aléatoire · Savoir définir l'espérance mathématique d'une variable aléatoire · Savoir définir la variance d'une variable aléatoire · Savoir définir l'écart-type d'une variable aléatoire · Savoir exploiter les caractéristiques de dispersion d'une variable aléatoire Thème: Distribution binomiale 14 Calcul des probabilités Contenus · · · Competences · Savoir identifier une épreuve de Bernoulli · Définition et conditions · Savoir calculer la probabilité p de d'application succès à une épreuve de Bernoulli · Probabilité de succès p · Savoir représenter un schéma de d'une épreuve de Bernoulli Bernoulli de paramètres n et p par un Variable de Bernoulli arbre · Définition · Savoir calculer des probabilités dans le · Loi de probabilité associée cas d'une répétition d'un schéma de à la variable de Bernoulli Bernoulli Valeurs caractéristiques : · Savoir modéliser une situation pratique · Esperance mathématique à l'aide d'une variable de Bernoulli · Savoir étudier les valeurs · Variance caractéristiques d'une variable · Ecart-type binomiale Epreuve de Bernoulli Suggestions d'activités · Le professeur étudiera avec les élèves des situations concrètes mettant en évidence les deux issues possibles d'une épreuve de Bernoulli. · À travers diverses activités, le professeur amènera les élèves à réaliser que la probabilité de succès p est la même à chaque épreuve dans un schéma de Bernoulli. · Le professeur invitera les élèves à justifier que la variable X apparue dans l'exercice suivant suit une loi binomiale et à déterminer ses paramètres : Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) on considère la variable aléatoire X qui compte le nombre de réalisations de l'évènement A : « Obtenir 5 ou 6 ». · On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3. Le professeur aidera les élèves à modéliser cette expérience aléatoire CAPÍTULO I On jette un dé équilibré 10 fois de suite et comme une épreuve de Bernoulli ayant pour succès S l'évènement « Le nombre obtenu est un multiple de 3 » et pour échec S l'évènement « le nombre obtenu n'est pas un multiple de 3 » ; avec: P( S ) = 1 2 ® P( S ) = 3 3 · On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale à 5. Le professeur demandera aux élèves : - De modeler cette expérience comme une épreuve de Bernoulli ; en définissant S et S en définissant P ( S ) et P ( S .) - De donner la loi de probabilité correspondante. 15 Programme à compétences minimales Mathématiques (SES) CAPÍTULO I GRILLE DE PROGRESSION INDICATIVE T1 Mois et nombre de jours de classe en moyenne D écem bre 1 2h r s 1 8j r s J a n v ie r 16 23 F é v r ie r 8 14 M ars 16 26 A v r il 8 14 m ai 16 24 J u in 8 11 S ous -t o t a l 84 130 T2 Nombre d'h / module 16 A lg è b r e 6 A n a ly s e 28 T r ig o n o m é t r ie 10 C o m b in a t o ir e e t p r o b a b i li t é S t a t is t iq u e 12 G é o m é t r ie 8 S ous -t o t a l 84 10