Detailed Syllabus for Mathematics, 4th Year of the New Secondary

 1 Probabilité et Statistiques 1  Suggestions d’activités Thème(s) Compétence Contenus Enseignement/Apprentissage • Maîtriser les techniques • Rappels des notions de : • Le professeur proposera aux élèves une grande de dénombrement Arrangements- Permutations diversité de problèmes de dénombrement faisant et Combinaisons intervenir les nombres tels que Anp , C np et n ! , et • Maîtriser le langage également d’autres exigeant plus d’imagination probabiliste • Notion de Probabilité, et d’initiative. Espaces probabilisés finis, • Définir la notion de Phénomènes aléatoires, • A partir d’un exemple simple déjà étudié en probabilité Vocabulaire des événements, dénombrements, les élèves seront amenés à Probabilité sur un univers. appréhender les concepts : Univers, événements • Appréhender la notion Définition- Propriétés et élémentaires / contraires / impossibles / certains / de probabilité Calculs incompatibles etc. • Appréhender la notion • Notion de probabilités • L’enseignant, en engageant un grand débat d’équiprobabilité conditionnelles, Evénements autour d’une épreuve comme le lancement d’un indépendants dé, amènera les élèves à la compréhension de la • Calculer la probabilité définition d’une probabilité Probabilité d’un d’un événement (dans événement l’hypothèse • Par des exercices simples, le professeur d’équiprobabilité ou de cherchera à faire découvrir la notion de la non- équiprobabilité) probabilité d’un événement , avec l’introduction d’une information supplémentaire qui vient • Utiliser les probabilités restreindre l’univers des possibles. conditionnelles • Les élèves seront amenés à découvrir la relation • Calculer des probabilités PBA = P( A Ç B) / P( B)selon laquelle la probabilité conditionnelles d’un événement A, sachant qu’un événement (possible)B est réalisé, est une fraction dont le • Reconnaître et Etablir dénominateur est la probabilité que B se réalise , la dépendance ou et le numérateur , celle que les deux événements l’indépendance de deux A et B se réalisent simultanément. événements A et B 2  Suggestions d’activités, Thème(s) Compétences Contenus Activités /Apprentissages • Définir une variable ● Variable aléatoire : • En analysant l’ensemble W des résultats du aléatoire ou aléa 1- Définition et exemples lancement de ou d’une pièce de monnaie, un numérique 2- loi de probabilité certain nombre de fois, l’enseignant amènera 3- Espérance mathématique les élèves à comprendre qu’une variable • Connaître et savoir 4-Variance et Ecart-type aléatoire n’est qu’une application de W vers ! appliquer la loi de d’une variable aléatoire . probabilité, d’un aléa 5- Fonction de répartition numérique d’une variable aléatoire • Il les invitera à proposer des exemples 6- Diagramme en bâtons et d’épreuves conduisant à envisager des • Déterminer les histogramme applications de W vers ! . Variable aléatoire ou caractéristiques d’une Alea numérique variable aléatoire • Il ne manquera pas de les amener à comprendre que l’étude d’une variable aléatoire consiste à déterminer l’ensemble de ses valeurs possibles , déterminer et représenter sa loi de probabilité , définir et représenter sa fonction de répartition , calculer son espérance mathématique, sa variance et son écart-type. 3  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/apprentissage • Reconnaître et étudier un • Définition d’un alea binomial • Le professeur pourra introduire le schéma de schéma de Bernoulli (de paramètres n et p) et de sa Bernoulli, en adressant à sa classe des distribution (ou loi). questions comme les suivantes : • Savoir qu’une épreuve de Bernoulli est une • Valeurs typiques d’un aléa 1) En lançant un dé (à six faces) bien équilibré, expérience aléatoire à binomial X (de paramètres quelle est la probabilité qu’il s’immobilise deux éventualités n et p) sur la face numéro 5 ? • Savoir que la loi de 2) En répétant sept fois cette expérience, Epreuve Bernoulli probabilité dans un quelle est la probabilité que le dé schéma de Bernoulli est s’immobilise exactement trois fois sur la appelée loi Bernoulli face de numéro 5 ? 3) En lançant trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée, quelle est la probabilité qu’elle s’immobilise sur pile ou face deux des trois fois ? • Le professeur établira avec les élèves, les formules donnant l’espérance mathématique, la variance et l’écart-type d’un aléa binomial X, en utilisant la démarche habituelle. 4  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Comprendre la série • Rappels autour des notions : • Par une petite évaluation formative tenant lieu statistique double population, caractère, moyenne de diagnostic, l’enseignant favorisera le rappel et écart-type, au regard d’une des notions déjà étudiées antérieurement. • Maîtriser le tableau à série statistique simple double entrée. • L’enseignant, à l’aide d’exemples, aidera les Série statistique élèves à appréhender la définition (ou double • Notion de série statistique l’appellation) de série statistique double. double : Définition et Il ne manquera pas de faire découvrir ce que présentation en tableaux rappelle le qualificatif double. L’élevé sera invité à traiter des exercices ou il aura à dresser des tableaux à double entrée. • Séries marginales d’une série double. • Par le calcul de la somme des effectifs de chacune des lignes et celle des effectifs de chacune des colonnes du tableau, l’élevé sera amené à appréhender et à déterminer les séries marginales d’une série double . 5  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Dessiner, interpréter le • Notion de nuage de points • En considérant deux caractères X et Y relatifs à nuage de points associé associés à un couple (x, y) de une même population E , le professeur amènera à un couple (x, y) de caractères. les élèves à construire dans un repère caractères relatifs à une orthogonal, tous les points M i de coordonnées( population. • Barycentre d’un nuage. xi , yi ) associés au couple (x,y) de caractères qui vont former le nuage. • Déterminer le barycentre Il ne lui sera pas difficile de les porter à (ou point moyen) d’un • Invertie d’un nuage par comprendre que ce nuage de points a un nuage de points rapport a un point barycentre dont les coordonnées ( X , Y ) sont les • Calculer l’invertie d’un valeurs moyennes des caractères x et y. nuage de points Nuage de points • En considérant un nuage de points du couple (x,y) et un point M quelconque de coordonnées (X,Y), le professeur pourra commencer par inviter les élèves à calculer l’écart de chacun des points M i du nuage au point M (x,y), donné par le réel positif di2 = ( X i - X ) 2 + (Yi - Y ) 2 Par la suite, il pourra leur faire remarquer que l’invertie du nuage par rapport à M, noté I m et défini par le réel : n n 1 1 I m = å ( X i - X ) 2 + å (Yi - Y ) 2 n’est autre n i =1 n i =1 que la moyenne des écarts respectifs des points M i au point M. 6  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Appréhender la notion • Notion d’ajustement linéaire • Le professeur pourra dessiner au tableau un d’ajustement linéaire (relatif à un nuage) : nuage de points, demander aux élèves de le (pour un nuage). reproduire et de tracer une droite passant le plus - Méthode à main levée près possible de ces points. • Maîtriser les trois -Méthode des moindres carres Il leur sera permis de comprendre que Ajustement et méthodes de -Méthode de Mayer l’ajustement linéaire n’est rien d’autre qu’une Corrélation détermination d’une méthode de détermination d’une droite qui, sans linéaire droite d’ajustement Covariance du couple (x, y) passer par tous les points du nuage, puisque Droite de régression de y en x ceux-ci sont en général non alignés, passe « le • Comprendre et qualifier Droite de régression de x en y plus près possible » de ces points. la corrélation linéaire Calcul des coefficients des droites Le professeur pourra, à ce moment, aborder sans entres les caractères X et de régression grande difficulté : Y Propriétés des droites de - L’étude des méthodes de détermination de régression- corrélation linéaire l’équation de la droite d’ajustement entre x et y : degré de cette corrélation - Celle des droites de régression de x en y, puis de y en x - Le calcul des coefficients des droites de régression - Les propriétés des droites de régression. 7  2 Nombres Complexes 8  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Approcher historiquement le Approche historique du nombre i • Le professeur puisera dans une nombre i vérifiant i 2 = -1 • Définition du nombre complexe et encyclopédie ou dans un livre de notation mathématiques de classe terminale • Définir un nombre Complexe l’historique du nombre i qu’il distribuera et établir l’ensemble ℂ des • Identification des parties réelle et aux élèves pour des commentaires. nombres complexes imaginaire L’enseignant fera résoudre par les élèves l’équation x 4 - 16 = 0 dans ℂ. Pour x 2 = -4 • L’écriture algébrique d’un nombre il fera apparaître le nombre i 2 = -1 et complexe situera 2i et -2i dans un sur-ensemble de ℂ appelé Corps des complexes noté(ℂ,+, x). • Définitions d’un complexe En utilisant les mêmes règles de calcul que § réel dans ! et en remplaçant i 2 par -1 il fera § imaginaire pur montrer par les élèves que : (2 + i)3 = 2 + 11i Reconnaître l’égalité de deux nombres et (2 - i)3 = 2 - 11i Représentation complexes Il leur fera : de l’ensemble ℂ § des nombres complexes ▪ à partir des écritures précédentes établir des nombres conjugués l’écriture générale d’un nombre complexe : complexes z = x + iy 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ et i 2 = -1 § identifier les parties réelle et imaginaire de z. • Reconnaître et utiliser une § observer que : Pour y = 0, z est réel, forme algébrique d’un Pour x = 0 et y ¹ 0 , z est un imaginaire pur. nombre complexe pour établir certaines définitions • Le professeur fera reconnaître par les élèves et propriétés l’écriture algébrique d’un nombre complexe et leur fera l’utiliser pour : - ▪ définir le conjugué de z noté z ▪ établir les propriétés : - - Re( z ) = Re( z ) et Im( z ) = - Im( z ) 9  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Associer un nombre • Représentation géométrique d’un • Le professeur fera représenter par les élèves complexe et un point du plan nombre complexe dans le plan muni le nombre z = 2 + 3i dans le plan, puis établir d’un repère orthogonal direct. une correspondance entre les points M(x, y) du plan et les nombres complexes z = x + iy et réciproquement. a) Définir les notions point- • Définitions de : image, affixe, vecteur- § affixe d’un point • A partir des représentations dans le plan, il image, plan complexe, l’axe définira avec les élèves les notions de : § point image d’un nombre des réels, l’axe des ▪ affixe d’un point complexe imaginaires ▪ Point image d’un nombre complexe § vecteur- image d’un nombre ▪ vecteur –image complexe ▪ plan complexe § plan complexe Nombres ▪ l’axe des réels § l’axe des réels et imaginaires complexes et ▪ l’axe des imaginaires points du plan b) Interpréter géométriquement Interprétation géométrique des images • Le professeur demandera aux élèves de les images de Z et Z respectives d’un nombre complexe et représenter dans le plan un point M(x,y) de son conjugué. d’affixe z = x + iy et un point M 1 d’affixe Z et leur fera observer et vérifier que M et M 1 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses (ou axe des réels). Le professeur proposera aux élèves des situations- problèmes appropriées qui leur permettront d’approfondir les notions. 10  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Effectuer des opérations ● Calcul de la somme, de la • Le professeur fera savoir par les élèves que les dans et les interpréter différence, du produit et du propriétés de l’addition et de la multiplication géométriquement ℂ dans rapport de deux nombres définies dans ℂ se prolongent dans ℂ et confère certains cas complexes à ℂ une structure d’espace vectoriel réel. ● Produit d’un complexe par un • Par des exercices appropriés , il fera calculer Calculs dans ℂ réel par les élèves la somme, le produit et le quotient de nombres complexes et traiter des exercices relatives à la structure d’espace vectoriel réel de (ℂ, +, ∗). a) Exploiter la structure ● Enoncé de la structure d’espace d’espace vectoriel de (ℂ, +, ∗) vectoriel réel de (ℂ, +, 𝑥), • Le professeur associera des nombres complexes pour certains calculs ▪ combinaison linéaire dans ℂ à des points du plan complexe et demandera ▪ dépendance linéaire dans ℂ aux élèves d’interpréter géométriquement les ▪ base dans ℂ résultats algébriques. (cercle, droite, demi-droite, segment- médiatrice). 11  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Calculer le module d’un • Définition du module d’un • Le professeur fera calculer par les élèves le réel nombre complexe nombre complexe - z. z et leur fera définir ce nombre comme le • Calcul du module d’une somme, module de z avec la notation | z |. d’un produit, d’un rapport de Par des exercices appropriés, il leur fera établir deux nombres complexes et par conjecture les propriétés relatives au d’une puissance d’un nombre module. complexe. 1) | z + z ' |£| z | + | z ' | • Enoncé des propriétés relatives Module d’un a la somme, au produit, au 2) | z.z ' |=| z | .| z ' | nombre rapport de deux nombres complexe complexes et à la puissance z z d’un nombre complexe 3) ' = ' avec z ' ¹ 0 z z • Déterminer et représenter dans le plan l’ensemble n 4) zn = z des points dont les affixes ont même module. 5) z = -z • Le professeur proposera aux élèves des exercices leur permettant de maîtriser les compétences définies. 12  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Résoudre dans ℂ des • Présentation du type d’équation • Le professeur proposera aux élèves des équations du premier du premier degré à une équations de formes suivantes : degré à une inconnue. inconnue dans ℂ 1) az + b = 0 avec a et b réels ou complexes, - Méthode de résolution avec a ¹ 0 - 2) az + b z + c = 0, avec a, b et c sont des réels ou complexes. 3) | z + a |= b , avec 𝑎 ∈ ℝ et 𝑏 ∈ ℝ. et leur demandera de présenter dans le plan les points - images de z (cercle et médiatrice d’un segment) • Résoudre dans ℂ × ℂ des • Présentation du système à deux Equations dans ℂ systèmes à deux équations équations du premier degré • Le professeur proposera aux élèves des systèmes du premier degré dans ℂ × ℂ d’équations de type : - Méthode de résolution ìaz + bz ' = c ü í ' ý î a z + b ' z ' = c 'þ et leur indiquera des méthodes de résolution dans ℂ × ℂ. • Résoudre dans ℂ des • Présentation d’équations de équations de degrés 2 ou degrés 2 ou 3 à une inconnue à • Le professeur fera résoudre par les élèves des 3, à une inconnue, à coefficients réels. équations de la forme : az + bz + c = 0 , a , b et 2 coefficients réels. - Méthode de résolution c sont des réels et a ¹ 0 Ou az 3 + bz 2 + cz + d = 0 , a, b, c, d sont des réels et a ¹ 0 13  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Calculer les racines • Définition de la racine carrée • Le professeur fera calculer par les élèves (2 + 3i) 2 carrées d’un nombre d’un nombre complexe et en déduire que (2 + 3i) est une racine carrée complexe de -5 + 12i . • Le professeur définira avec les élèves la racine carrée d’un nombre complexe et leur proposera une méthode de calcul. •Résolution d’équations du second degré à coefficients complexes • Le professeur proposera aux élèves un polynôme complexe f ( z ) de degré 3 et il indiquera un • Polynôme complexe de degré 3 zéro de ce polynôme (réel ou complexe). Il demandera aux élèves de factoriser le Racine carrée et • Zéro d’un polynôme complexe, polynôme f ( z ) et de résoudre l’équation Equations dans ℂ factorisation d’un polynôme f ( z) = 0 . complexe de degré 3. •Divisibilité par z - zo •Utilisation de l’algorithme de Georges Horner Méthode de résolution dans ℂ des • Résoudre dans ℂ des équations de degré 3 et des équations a coefficients équations bicarrées. • Par des exercices appropriés, il fera résoudre par complexes, de degré 2 ou les élèves des équations bicarrées. 3 et des équations bicarrées. 14  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage Savoir : ● Le professeur fera construire par les élèves le point - • Définir et savoir • Argument d’un nombre image M(x, y) d’un nombre complexe non nul z = x + i ' y ! ! ! déterminer l’argument d’un nombre complexe complexe non nul dans un repère ortho normal direct 0, i , j . ( ) non nul § définition Il définira la mesure q de l’ange /𝑂𝑀, 3𝚤4 comme un § Calcul de l’argument argument de z . d’un nombre complexe Il fera démontrer par les élèves que x =| z | cos q et non nul, d’un produit y =| z | sin q et leur fera donner a z l’écriture ou d’un quotient de z =| z | (cos q + i sin q ) appelée écriture trigonométrique de deux nombres complexes non nuls ou z et l’écriture z = [q ,| z |] appelée écriture polaire de z. Argument formes : d’une puissance d’un Il fera comprendre par les élèves qu’un argument q de z polaire, nombre complexe. appartient a une classe d’équivalence modulo 2p et leur trigonométrique, • Ecrire un nombre fera calculer d’autres arguments de z avec k positif ou exponentielle d’un complexe non nul sous négatif dans k 2p et leur fera noter que : arg( z ) = q + k 2p nombre complexe sa forme Pour : z =| z | (cos q + i sin q ) et z ' =| z ' | (cos q ' + i sin q ' ) , Il non nul trigonométrique • Forme trigonométrique z d’un nombre complexe fera écrire par les élèves z.z ' et ' sous leur forme non nul : z trigonométrique et leur fera déduire que : § Egalité de deux arg(z.z’)= arg(z)+ arg(z’) • Déduire l’égalité de nombres complexes à arg(z/z’)= arg(z)- arg(z’) partir de leur écriture Dans le z=z’ il fera déduire par les élèves que arg( z ) = 2q 2 deux nombres complexes non nuls à trigonométrique et établir par conjecture pour z n tel que : arg( z n ) = nq , tel partir de leur écriture que 𝑛 ∈ ℕ∗ de l’égalité arg( z n ) = nq , le professeur fera trigonométrique § Ecriture d’un produit ou d’un quotient de deux établir par les élèves. nombres complexes non ( cosq + i sin q ) = cos nq + i sin q . n nuls ou d’une puissance d’un nombre complexe non nul sous sa forme trigonométrique 15  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Savoir utiliser la notation • Définition de la forme Le professeur définira pour les élèves la forme exponentielle d’un exponentielle d’un nombre exponentielle d’un nombre complexe non nul. Par nombre complexe non nul complexe non nul des exercices appropriés, il fera rappeler par les élèves les règles de calcul relatives aux exposants. • Savoir utiliser des • Rappels des règles de calcul Il établira avec les élèves les formules de Moivre et formules de Moivre et relatives aux exposants d’Euler : d’Euler (eiq )m = eimq pour tout réel q , et tout naturel n : • Applications à la géométrie 1 1 • Interprétation géométrique cos q = (eiq + e-iq ) et sin q = (eiq - e-iq ) 2 2i de Il proposera aux élèves des exercices réclamant la æ Z - ZA ö connaissance de ces formules pour linéariser des arg = çç C ÷÷ A, B, C è ZB - Z A ø polynômes trigonométriques. sont trois points du plan • Etablir la formule de Moivre et les formules d’Euler ● Résoudre dans ! des • Racines niemes d’un complexe L’élève résoudra des situations- problèmes se équations de degré n ( non nul rapportant aux racines niemes d’un complexe non nÎ ) nul, aux racines niemes de l’unité. • Racines niemes de l’unité Il sera aussi amené à utiliser les racines niemes de Racine niemes d’un ● Déterminer les n racines l’unité pour obtenir les n racines niemes d’un nombre complexe niemes d’un complexe non nul complexe non nul. à partir des n racines niemes de l’unité 16  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage • Utiliser une transformation • Translation et sa • Le professeur montrera comment utiliser complexe pour étudier et transformation certaines transformations complexes pour caractériser : - Elément caractéristique étudier une translation, une rotation, une ▪ une translation, homothétie, une symétrie orthogonale plane, ▪ une homothétie • Homothétie et son application une similitude plane directe ou indirecte (nature ▪ une rotation complexe associées et éléments caractéristiques, construction ▪ une similitude plane directe - éléments caractéristiques géométrique image d’un point ou d’une figure). ▪ une similitude plane - Propriétés (image droite, indirecte cercle, droites parallèles • Le professeur montrera par des exemples ou sécante) comment appliquer les nombres complexes à la - Construction résolution des problèmes de géométrie plane (barycentre, alignement, orthogonalité, lieu Nombres complexes • Symétrie orthogonale et géométrique, transformation triangle etc.). et géométrie transformation - Eléments caractéristiques • Similitude plane directe, indirecte - Transformation complexe associée - Eléments caractéristiques . 17  3 Arithmétique 18  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage Savoir : • Définition 1-L’élève sera amené à résoudre des situations- • Multiples d’un entier problèmes lui permettant la consolidation et • Définir la relation de • Diviseurs l’approfondissement de la notion de divisibilité divisibilité • Propriétés dans ℤ∗ • Enoncer les principales 2-Pour démontrer que a est divisible par b, l’élève Divisibilité dans propriétés de la pourra employer l’une des méthodes suivantes : ℤ∗ divisibilité ▪ Utiliser les critères de divisibilité si b est l’un des nombres 2, 3, 4, 9,11 ou 25 • Démontrer qu’un entier a ▪ Trouver k dans ℕ tel que a = kb est divisible par un entier ▪ Prouver que le reste de la division euclidienne de b a par b est 0 ▪ Etablir que a º 0 (b). : Savoir : ● Définition 1- L’élève traitera des situations- problèmes en ● Démontrer qu’un nombre ● Existence d’une infinité de rapport avec les nombres premiers et la est premier nombres premiers décomposition d’un entier naturel en produit de ● Décomposition de tout entier facteurs premiers ● Décomposer un entier naturel en produit de facteurs premiers 2- Pour démontrer que n est premier, l’élève pourra utiliser l’une des méthodes suivantes : Nombres ▪ Effectuer les divisions euclidiennes de n par tous premiers les entiers premiers inférieurs ou égaux à n et prouver q’aucun des restes n’est nul. ▪ Raisonner par l’absurde pour prouver que n n’a pas de diviseur d vérifiant 1 < d £ n . 19  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage Savoir : ● Définition Pour déterminer le reste de la division euclidienne Déterminer le reste de la ● Théorèmes de a par b, le professeur proposera aux élèves des Division division euclidienne ● Propriétés situations -problèmes au cours desquelles, ils euclidienne et ● Division euclidienne dans : pourront : Congruences a) ℤ∗ ▪ Effectuer la division euclidienne b) ℚ∗ ▪ Aussi utiliser les congruences modulo b Savoir : ● Diviseurs communs a deux L’élevé résoudra des situations- problèmes se ● Déterminer les diviseurs entiers naturels rapportant aux diviseurs communs à deux entiers communs ● Algorithme d’Euclide naturels et l’algorithme d’Euclide. PGCD ● Calculer le plus grand ● Définition et théorème commun diviseur (PGCD) ● Propriété fondamentale du PGCD Savoir : ● Définition Pour montrer, face à des situations- problèmes, que Nombres ● Montrer que deux entiers ● PGCD et nombres premiers entre deux entiers relatifs non nuls sont premiers entre premiers entre relatifs non nuls sont eux eux ou étrangers, l’élève pourra utiliser l’une des eux ou premiers entre eux Théorème de Bézout et méthodes suivantes : étrangers conséquence ▪ Prouver que leur PGCD est égal à 1 ● Théorème de Gauss et ▪ Montrer que l’égalité de Bézout est satisfaite conséquences ▪ Supposer qu’un entier non nul d les divise et prouver que d vaut 1 ou -1. 20  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage Savoir : ● Définition L’élève utilisera : ● Déterminer le PPCM de 2 ● Propriétés du PPCM 1- a)Les décompositions en facteurs premiers de entiers relatifs non nuls ● PPCM et PGCD ces entiers : ● PPCM et décomposition en PPCM=produit de tous les facteurs premiers ● Trouver deux nombres facteurs premiers figurant dans ces décompositions, chacun d’eux connaissant une relation étant affecté de son plus grand exposant PPCM entre eux, leur PGCD et / ou b) la relation avec le PGCD : leur PPCM PGCD(a;b)*PPCM(a;b)=|a.b|. 2- Face a des situations- problèmes, étant donné deux nombres a et b, l’élève se ramènera à des nombres premiers entre eux a’ et b’, en posant a=Da et b=Db’ avec D=PGCD(a;b) et utilisera la relation entre le PGCD et le PPCM.. 21  4 Algèbre linéaire et Géométrie 22  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Consolider et approfondir 1) Espace affine et ses propriétés, ● Le professeur rappellera aux élèves les les notions de vecteurs de Bipoints – vecteurs de l’espace propriétés d’un espace affine à partir d’exercices l’espace 2) Repère et Coordonnées portant sur une relation vectorielle appropriée. Il Espace affine associé ● Maîtriser et utiliser les (dimension) présentera les types de repère et fera des à un espace vectoriel notions de : norme, distance, Repère orthonormal : distance repérages dans l’espace. L’élève traitera des réel- Espace orthogonalité, plan (norme), orthogonalité, plan exercices se rapportant aux calculs de distance, euclidien médiateur, cercle, sphère médiateur équations de cercle, de sphère, de plan médiateur ● Construire des graphiques (à partir de distance, norme et produit scalaire), dans l’espace 3) Cercle, Points cocycliques, aux points cycliques ou non. sphères, graphique en dimension 3 Beaucoup d’activités graphiques (ou de construction) sont suggérées. ● Maîtriser et utiliser les 1) Translation- Homothétie- ● L’élève fera des activités leur permettant de Applications notions de : translation, Projection- Symétrie (involution) maîtriser (par calcul ou par manipulation ou particulières dans le homothétie, projection et construction géométrique) les applications de plan et dans symétrie (en calcul et en 2) Isométrie- Symétrie et Projection l’espace telles les translations, les homothéties, l’espace : démonstration) orthogonales- Rotation- Lieu les projections et les symétries. Le professeur Transformation, ● Reconnaître et utiliser géométrique proposera des exercices qui exigent la Homothétie, une isométrie composition de ces types de transformations et Projection, Symétrie ● Construire l’image d’un 3) Composée de deux montrera l’importance des isométries dans point à partir d’une isométrie transformations (ou applications) certains calculs de constructions géométriques à particulières partir d’exemples appropriés. 23  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Reconnaître un 1) Déplacement, Antidéplacement L’élève, à partir d’exemples concrets, découvrira Transformation déplacement et un comment associer une application du plan à une particulière dans le antidéplacement 2) Similitude plane : transformation complexe de type : z ! z + u , plan et Nombres ● Utiliser les complexes a) directe z ! ¶z ( ¶ , réel), z ! az , et z ! az + b , complexes pour étudier les similitudes b) indirecte z ! az + b . planes 24  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Déterminer et étudier la 1) Point pondéré- système de A partir d’exemples concrets (point massif, forces f.v.l associée à un système points pondérés- fonction appliquées), l’enseignant fera comprendre aux de points pondérés vectorielle de Leibniz associée à élèves l’idée continue, dans les notions de points et ● Utiliser la f.v.l dans la un système de points pondérés de système de points pondérés. transformation de certaines Il apprendra aux élèves comment définir la f.v.l ou relations vectorielles 2) Barycentre: la f.s.l associée à un système de points pondérés, et ● Justifier l’existence ou non ▪ Existence et propriétés étudier de telles fonctions. du barycentre d’un système ▪ Isobarycentre (centre de gravité Il leur apprendra à justifier l’existence ou non du Barycentre de points pondérés ou d’inertie) barycentre d’un système de points pondérés, à ● Calculer ou construire ce ▪ Construction, calculs, repérage repérer ou à construire un tel barycentre (avec 2,3 barycentre (à partir des ou 4 points pondérés à construire le centre de propriétés) 3) Utilisations : alignement de gravité en utilisant les propriétés de barycentre), à ● Utiliser le barycentre pour trois points et concours de droites simplifier l’écriture de certains types de relation démontrer l’alignement de ▪ Réduction de relation vectorielle vectorielle par introduction du barycentre. trois points ou le concours L’élève pourra alors identifier les transformations de droites 4) Fonction scalaire de Leibniz qui conservent le barycentre, faire des activités ● Transformer la f.s.l, ▪ Lignes de niveaux pour démontrer l’alignement de points ou le déterminer des lignes ou ▪ Réduction surface de niveaux concours de droites, identifier déterminer, et surfaces de niveaux calculer des lignes de niveaux : M ! a MA2 +b MB 2 , M ! MA MB 25  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Déterminer le produit Produit vectoriel ● Le professeur aidera l’élève à définir le produit vectoriel 1) Définition : vectoriel d’abord analytiquement puis ● Calculer un vecteur dont a) géométrique géométriquement. Il introduira les propriétés du Produit vectoriel on connaît le produit b) Analytique produit vectoriel par des exemples simples, il (ou extérieur) vectoriel avec un autre 2) Propriétés- Alignement illustrera par des dessins le résultat (cas de ● Utiliser les produits pour 3) ‘Division vectorielle ‘ vecteurs colinéaires). calculer Surfaces et volumes 4) Produit mixte : définition et ● Le professeur proposera des activités au cours propriétés desquelles l’élève sera amené à chercher un vecteur Application : Aire triangle et à partir de son produit avec un autre connu, à volume d’un parallélépipède utiliser le produit mixte pour calculer certaines aires et certains volumes. ● Représenter des solides Sphère- cylindre- Pyramide- ● A partir d’exemples, l’élève consolidera ses dans l’espace Prisme- Cône- Tronc de cône- acquis sur la représentation de certains solides dans ● Calculer volume et surface Solide de révolution- Tétraèdre l’espace. Le professeur mettra en œuvre des Les solides dans d’un solide activités permettant aux élèves d’identifier les l’espace ● Déterminer une section 1) Calculs de volumes et de propriétés de ces solides, de calculer leurs plane surfaces volumes, leurs surfaces, d’étudier leurs sections 2) Intersection d’un solide et planes, d’appréhender les solides engendres par une d’un plan (section plane) figure plane tournant autour d’un axe de son plan. 26  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Déterminer et construire Conique ● L’enseignant proposera aux élèves des activités une conique 1) Définition au cours desquelles, il leur demandera d’étudier ● Maîtriser et déterminer a) géométrique l’intersection d’un cône de révolution avec un plan l’équation d’une conique b) analytique pour les amener à identifier la former de la courbe obtenue. Il les aidera à définir chacune des Les coniques 2) Ellipse coniques d’abord géométriquement (directrice, Parabole, Hyperbole Equation indicatrice, exentricité), puis analytiquement. Il générale Equation réduite établira l’équation générale des coniques puis en déduira l’équation de chacune d’elles, précisera ses Eléments caractéristiques d’une éléments caractéristiques et son équation réduite. conique Il apprendra aussi aux élèves à construire (ou à dessiner) chaque conique, à calculer l’aire d’une surface limitée par une ellipse. 27  5 Analyse 28  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Déterminer le domaine de ● ● Le professeur proposera des exercices permettant définition de tout type de ▪ Domaine de définition aux élèves de poser des conditions pour trouver le fonction numérique du ▪ Parité, périodicité et période domaine de définition d’une fonction. L’élève programme fondamentale profitera de l’occasion pour consolider ses acquis des ▪ fonctions associées à une calculs dans ! . ● Exploiter la propriété de fonction de référence Il étudiera la parité et la périodicité de certaines parité et/ou de périodicité fonctions (surtout les fonctions circulaires : x ! cos ax , d’une fonction ● x ! sin ax , x ! tgax Fonction à variable ▪ Courbe représentative d’une L’élève saura comment étudier directement la parité réelle, Courbe d’une ● Faire des lectures de fonction ou la périodicité d’une fonction en combinant fonction données à partir de la ▪ Lecture graphique opérations et fonction paire, impaire, périodique représentation graphique ▪ Comparaison avec des élémentaire. d’une fonction et interpréter graphiques de base les propriétés d’une fonction ● Le professeur apprendra aux élèves comment obtenir à partir de sa courbe ● a partir de la courbe de f celles de : x ! f ( x) , ▪ Propriétés d’une fonction x ! f (- x) , x ! f ( x) + a , x !| f ( x) | ● Etudier une fonction et la interprétée sur sa courbe représenter graphiquement ▪ Fonction paire, impaire, x ! f ( x - a) (fonctions associées à f). périodique L’élève fera des activités portant sur la lecture ●▪ Construire la courbe ▪ Symétrie graphique (courbe ® valeur, fonction) et constatera d’une fonction a partir de : ▪ Effets d’une translation ou les effets de translation ou de changement de repère. courbes de base, d’un changement de repère déplacement, translation ou ● Le professeur proposera aux élèves beaucoup changement de repère ● d’exercices sur l’étude d’une fonction (simple) et les ▪ étudier une fonction ▪ Limite d’une fonction (en un tracés de courbes. L’élève traitera des exercices de trigonométrique point ou à l’infini) calcul pour asseoir les notions de limites en un point ▪ Limites particulières sin x ou à l’infini ; en particulier les fonctions : x ! , ●▪ Etudier la limite, la (fonctions trigonométrique, x continuité et la dérivabilité logarithme et exponentielle) ln x ex d’une fonction x! , x! etc. x x ●▪ Savoir étudier la limite des fonctions composées 29  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● ▪ Etudier les branches ● Interprétation Le professeur proposera aux élèves des exercices infinies de la courbe d’une des limites sur la courbe leur permettant de trouver des asymptotes fonction représentative d’une fonction (verticale, horizontale, oblique) et de préciser les (Etudes des branches infinies : - directions asymptotiques et asymptotes curvilignes. Asymptote verticale ● -asymptote horizontale L’élève sera amené à traiter des exercices lui ▪ Utiliser la continuité pour - direction asymptotique permettant de consolider la notion de continuité justifier l’existence des -asymptote oblique et branche (en un point ou sur un intervalle) et les opérations racines parabolique sur les fonctions continues, d’étudier l’image d’un ▪ Trouver ces racines (ou son intervalle par une fonction continue, de trouver une Fonction à variable encadrement à une précision ● valeur approchée d’une racine d’une équation par réelle, Courbe d’une donnée) ▪ Continuité dichotomie. fonction ▪ Propriétés d’une fonction ● continue (en un point ou sur un ● Le professeur expliquera pourquoi une fonction ▪ Montrer qu’une fonction intervalle) continue et strictement monotone sur un intervalle est bijective et trouver sa ▪ Dichotomie est bijective et l’élève fera des activités pour réciproque déterminer des bijections réciproques. Il étudiera ● Bijection et bijection réciproque les fonctions circulaires réciproques et leurs et leurs courbes courbes. ● Fonctions circulaires réciproques et leurs courbes 30  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Etudier la dérivabilité ● ● Le professeur proposera des exercices permettant d’une fonction en un point, ▪ Fonction dérivable aux élèves de consolider la notion de dérivabilité sur un intervalle. ▪ Propriété d’une fonction (en un point et sur un intervalle). dérivable L’élève sera amené à faire des calculs de ● Maîtriser la notation ▪ Dérivation dérivation se rapportant aux fonctions : produit, différentielle de la dérivée ▪ Dérivée des fonctions usuelles puissance, composée, sin, cos, tan, log, exp, et leurs composées. ● Calculer la dérivée d’une ● Notation différentielle de la fonction et les dérivées dérivée ● Le professeur définira et apprendra aux élèves successives d’une fonction n ▪ Dérivées successives les dérivées successives d’une fonction simple : fois dérivables ▪ Dérivée fonction complexe a p Calcul différentiel ▪ Utilisation de la dérivée, étude x ! x + 1 avec a ¹ 0 , x ! cos( + x) , 2 ● Savoir utiliser une dérivée du sens de variation : p - Extremum (absolu ou x ! sin( + x) . ● Savoir appliquer la dérivée local) 2 L’élève utilisera la dérivée première pour : sens de à la résolution d’équations - Tangence et point variation, extremum (sommet de la courbe) et d’inflexion tangente ; et la dérivée seconde pour point d’inflexion (son existence). ● Dérivée et limites ● Le professeur indiquera l’implication entre ● Théorème de l’Hospital dérivabilité et continuité. L’élève utilisera la dérivée et le théorème de ● Approximations numériques l’Hospital pour calculer certaines limites (lever des ¥ 0 indéterminations : , ) et faire certaines ¥ 0 approximations numériques. Il établira les catalogues des dérivées des fonctions usuelles. 31  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Définir, caractériser, et ● Logarithme et exponentielle ● Le professeur aidera l’élève à définir étudier les fonctions népériens logarithmes et exponentielles népériens puis logarithmes et - propriétés introduira les autres logarithmes et exponentielles exponentielles -courbes à base en cherchant des fonctions dérivables f -étude vérifiant f ( x + y ) = f ( x). f ( y) et ● Savoir calculer une f ( x. y ) = f ( x) + f ( y ) , f ¹ 0 dérivée, une limite, et ● Logarithmes et exponentielles a Il proposera aux élèves de faire des calculs déterminer une primitive base a (a>0, a ¹ 1) numériques engageant logarithmes et d’une fonction engageant - propriétés (généralisation) exponentielles et soulignera leurs liens. logarithmes et exponentielles. ● Exponentielle et puissance : ● L’élève sera amené à résoudre des équations, des Croissances comparées inéquations et des systèmes d’équations dont ● Comparer : puissance, l’inconnue est engagée par logarithmes ou Logarithmes et logarithme et exponentielle ● Fonctions composées engageant exponentielles. Exponentielle - Etablir leur croissance logarithmes et/ou exponentielles Les élèves feront des activités relatives aux calculs de limites de fonctions constituées de ● Résoudre des équations, ● Equations, inéquations, systèmes logarithmes ou exponentielles et calculeront des des systèmes d’équation, des d’équation et d’inéquations où dérivées de ces types de fonctions. inéquations ou l’inconnue l’inconnue (les inconnues) est (ou les inconnues) est (sont) (sont) engagée (s) ● Le professeur introduira la notion de croissance engagée(s). par des Par des logarithmes ou des comparée entre puissance, logarithme et logarithmes ou des exponentielles exponentielle (surtout pour les limites). exponentielles L’apprenant fera beaucoup d’exercices sur l’étude et la courbe d’une fonction constituée de logarithme et exponentielle. 32  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Reconnaître, justifier, ● Primitive ‘d’une fonction : ● Proposant une fonction simple (affine par prouver, démontrer qu’une définition, propriétés, existence, exemple), le professeur demandera aux élèves de fonction donnée est une primitives particulières, Notation trouver une fonction F dont la dérivée sur ! est f primitive d’une autre L’élève fera des exercices lui permettant de -Justifier l’existence des ● Catalogues des primitives des maîtriser les techniques de calcul des primitives de primitives d’une fonction sur fonctions usuelles et de quelques certaines fonctions (transformation- décomposition- un intervalle composées écriture. ● Utiliser les propriétés et ● Intégrale définie d’une fonction ● Le professeur introduira l’intégrale définie d’une les techniques de continue sur un segment : fonction continue sur un segment, f continue sur [a, transformation pour intégrer - définition b] donc admet des primitives et F(b) – F(a) est certaines fonctions - propriétés (relations de Charles), indépendant de la primitive F choisie. C’est -Déterminer une primitive - valeur moyenne et théorème de l’intégrale de f sur [a, b]. particulière à partir de la moyenne L’élève sera amené à appliquer les propriétés de conditions initiales l’intégrale définie (linéarité, relation de Charles), ● Intégrale définie et encadrement formule d’intégration par parties. Beaucoup Calcul intégral ● Reconnaître une fonction - Fonction définie par une d’exercices permettront à l’élève de maîtriser ces intégrable sur un intervalle intégrale propriétés et apprendre à encadrer une intégrale. donné ● Techniques d’intégration : ● Le professeur, à l’aide d’encadrement, aidera ● Calculer l’intégrale Intégrations par parties - l’élève à définir la valeur moyenne d’une fonction définie d’une fonction changement de variable sur un segment et interprétera le théorème de la continue, d’une fonction en moyenne. escalier ou affine par ● L’intégrale définie et limite de la morceaux sur un segment somme des n premiers termes ● Le professeur généralisera la notion d’intégrale d’une suite (quand n ® ¥ ) définie aux fonctions en escalier, affine par ● Intégrer par parties l’intégrale définie morceaux et fera alors l’interprétation géométrique de l’intégrale définie. Il montrera aux élèves ● Calculer la valeur comment l’intégrale définie est utilisée dans le moyenne d’une fonction calcul d’aire plane et de volume. continue sur un intervalle 33 Thème(s) Compétences Contenus Suggestions d’activités Enseignement/Apprentissage ● Appliquer l’intégrale ● Interprétation géométrique de ● Le professeur proposera des exercices au cours définie aux calculs d’aires l’intégrale définie d’une fonction desquels l’élève fera des activités relatives aux arithmétique et algébrique et continue sur un segment et calculs d’intégrale définie en utilisant les aux calculs de volumes des application de l’intégrale définie techniques d’intégration, intégration par parties : solides de révolutions aux calculs d’aires. x ® ln x , x ® P( x) ln a x , x ® P( x)ea x x ® ea x sin ax , x ® ea x cos ax Etc., ● Etudier le signe d’une A partir d’exercices simples, l’élève apprendra à intégrale utiliser une intégrale définie connue pour calculer Calcul intégral - Encadrer une intégrale la limite d’une suite. définie ● Déterminer et étudier une fonction définie par une intégrale ● Utiliser l’intégrale définie pour calculer (ou obtenir) la limite de certaines suites réelles 34 Thème(s) Compétences Contenus Suggestions d’activités Enseignement/Apprentissage ● Maîtriser le vocabulaire et ● Equation différentielle ● Le professeur introduira le cours par une situation- les notions utilisées en - Définition problème dont l’interprétation débouchera sur une équations différentielles - Généralités relation simple entre une fonction f et sa dérivée f’. Il - Notations et terminologie s’agira alors de trouver f. ● Résoudre une équation différentielle de l’un des ● Equations différentielles ● Le professeur définira la notion d’équation types suivants : simples : différentielle, l’illustrera par des exemples simples, a) f ¢ = u (u fonction donnée) a) de premier ordre : méthode mettra l’accent sur les notations et la terminologie b) f ¢ = af (a réel donné) et d’intégration et courbe utilisées. f ¢ = af + b générale, solution particulière, solution générale, conditions ● L’enseignant demandera aux apprenants de résoudre c) f ¢ = u Equations initiales les équations différentielles suivantes : différentielles d) f ¢¢ + af ¢ + bf = 0 (a et b a) y ' = 2 x + e x - 3ln x réels donnés) b) du second ordre, linéaire, b) f ' = 3 f e) f ¢¢ + af ¢ + bf = u (a, b homogène et non homogène : c) dy = (2 y + 5)dx réels, u fonction donnée) méthode d’intégration, solution particulière, solution générale, ●a) y '' = 18 x + 6 ● Utiliser l’équation courbe générale, conditions b) f ''- 5 f '+ 6 f = 0 caractéristique et solution initiales (équation c) y ''+ 4 y '+ 4 y = 0 particulière dans la caractéristique). d) y ''+ 6 y '+ 10 y = 0 résolution d’une équation d2y dy différentielle du second ordre e) 2 - 3 + 2 y = 2x +1 dx dx ● Interpréter et résoudre f) f ''( x) + 4 f '( x) + 8 f ( x) = cos 2 x certains problèmes en ● Le professeur proposera aux élèves des équations sciences physiques, différentielles simples au cours desquelles il demandera biologiques, économiques, de trouver des solutions particulières. débouchant sur des L’élève sera amené à interpréter certains problèmes équations différentielles scientifiques concrets débouchant sur des équations simples différentielles. 35  6 Suites réelles 36  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage ● Etudier une suite réelle ● Suite réelle: ● Le professeur demandera à un groupe d’élèves (un - Generali tes par un) de reprendre la définition d’une suite pour ● Montrer que deux suites - Définition consolider et illustrer les notions d’indice, infinies sont adjacentes - Indice d’ensemble d’indice, de terme général. - Ensemble des indices L’élève fera des exercices relatifs au calcul de ● Utiliser la démonstration - Terme général termes, à la détermination d’ensemble des indices, du par récurrence pour établir - Notation rang d’un terme donne. Il apprendra à justifier si une certaines propriétés dans ℕ -Rang d’un terme suite est finie ou non (Ex : U : n ® U n = 9 - n2 ), à ou ℕ∗ - Mode de définition - Représentation graphique représenter graphiquement une suite réelle. Il ● Savoir calculer la limite - Suite logique de nombres apprendra à compléter une suite logique par un ou quelques termes (Ex : 1, 10,13,….. et 3, 9,27..). d’une suite par encadrement ● Suite finie, suite infinie Il fera des exercices permettant de montrer qu’une Suites suite est constante, majorée, minorée, bornée, ● Établir la convergence Numériques d’une suite avec l’inégalité ● Suite constante périodique (en déterminant la période fondamentale), -suite stationnaire stationnaire. . Le professeur fera remarquer (à partir des accroissements finis - Suite périodique d’exemples) qu’une suite stationnaire n’est pas - Suite majorée, minorée, bornée nécessairement constante. - suite alternée - Suite extraite ● L’élève apprendra à vérifier qu’une suite est alternée. ● Monotonie d’une suite (suite Le professeur définira la notion de suite extraite en croissante (large ou stricte), suite montrant l’importance dans l’étude des suites. Le décroissante), Suite monotone professeur proposera des exercices permettant de consolider la pratique d’étude de la monotonie d’une ● Nature d’une suite : limite suite. Il fera remarquer que toute suite croissante est d’une suite infinie et opérations minorée par son premier terme et, majorée par son sur les limites, suite convergente, dernier terme si elle est décroissante. . suite divergente. 37  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage limites particulières, critères de ● L’élève fera des activités relatives aux calculs de convergence (ou de divergence) limite d’une suite. Il étudiera la nature (convergence d’une suite, comparaison, ou divergence) d’une suite, utilisera des critères et utilisation des fonctions des comparaisons pour établir la nature d’une suite (suite infinie croissante et majorée ou bien ● Suites adjacentes décroissante et minorée, critères des gendarmes), 1 sin n ● Démonstration par récurrence mettra en œuvre les limites particulières : , , n n et conjecture ln n etc. n Suites ● Le professeur apprendra aux élèves à utiliser une Numériques fonction pour étudier la monotonie et la nature d’une suite. ● Le professeur apprendra aux élèves la démonstration par récurrence, son utilisation pour démontrer certaines propriétés des suites récurrentes (à partir d’exercices). L’élève fera des exercices lui permettant de passer de la définition par récurrence à la définition explicite d’une suite. 38  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage Savoir : ● Définir, ● Suite arithmétique : ● Le professeur demandera à un groupe d’élèves ● Démontrer qu’une suite est - Définition (un par un) de reprendre la définition de suite une suite arithmétique - Propriétés (expression du terme arithmétique, apprendra aux élèves à déterminer à général) partir du premier terme et de la raison d’une suite ● Etudier et déterminer une - Monotonie et nature arithmétique, à calculer l’expression de son terme suite arithmétique - Insertions de moyens général, à calculer terme et raison à partir des Suites arithmétiques différentiels propriétés spécifiques. ● Insérer des moyens - Expression de la somme des L’élève fera des exercices portant sur l’étude de la différentiels entre deux réels termes consécutifs monotonie et de la nature d’une suite arithmétique - Sommes particulières par sa raison. ● Montrer à partir de la somme de ses premiers ● L’élève fera des exercices comme : insérer 10 termes, qu’une suite est moyens différentiels entre 7 et 29. Il apprendra à arithmétique calculer la somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique. Il apprendra à exploiter l’expression de la somme des n premiers termes. 39  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage Savoir : ● Suite géométrique ● Le professeur demandera a un groupe d’élèves ● Montrer qu’une suite -Définition (un par un) de reprendre la définition de suite infinie est une suite - Détermination géométrique. Il établira ses propriétés, apprendra géométrique - Propriétés aux élèves à utiliser ces propriétés pour calculer - Expression du terme général terme et raison, exprimer le terme général, montrer ● Etudier et déterminer une - Monotonie et nature (limites de qu’une suite est géométrique, insérer des moyens suite géométrique suites géométriques particulières) proportionnels entre deux réels. - Expressions de la somme de n ● Etudier la monotonie et la termes consécutifs (cas de n ● Le professeur proposera aux élèves des exercices convergence d’une suite premiers termes quand n devient leur permettant de : étudier la monotonie et la Suites géométriques géométrique infiniment grand) nature d’une suite géométrique, identifier la condition de convergence d’une suite géométrique, ● Insérer des moyens calculer la somme des consécutifs d’une suite géométriques entre deux géométrique, étudier le comportement de cette réels. somme quand n ® ¥ , établir la condition de sa convergence. ● Utiliser la somme de ses premiers termes pour établir ● Le professeur montrera aux élèves q’une suite si une suite infinie est est géométrique à partir de la somme de ses n géométrique premiers termes. ● Le professeur proposera des problèmes simples débouchant sur l’utilisation des suites géométriques. 40  Suggestions d’activités Thème(s) Compétences Contenus Enseignement/Apprentissage Savoir : Suite arithmétique- géométrique ● Le professeur fera une mise au point relative à la ● Identifier et étudier une -Définition notion de suite arithmétique- géométrique. Il suite arithmétique- - Association avec une suite apprendra aux élèves à calculer ses termes, à géométrique géométrique particulière l’associer à une suite géométrique et à déterminer Suite arithmétique- - Expression du terme général l’expression de son terme général, à calculer la géométrique ● Associer une suite - Nature, somme de n termes somme de n termes consécutifs, à étudier la nature arithmétique- géométrique consécutifs et la monotonie de celle-ci ainsi que la somme de avec une suite géométrique ses n termes consécutifs quand n ® ¥ . particulière ● Exprimer et calculer la somme de ses termes consécutifs ● Déterminer le terme ● Suite vérifiant une relation de ● À partir d’exercices simples, le professeur général d’une suite vérifiant : récurrence donnée. apprendra aux élèves à déterminer l’ensemble des Suites vérifiant une U n+1 = aU n + bU n-1 suites vérifiant la relation de type : relation de U n+1 = aU n + bU n-1 récurrence donnée ● Trouver toutes les suites Selon les racines de l’équation caractéristique, vérifiant une telle relation et déterminer une de ces suites par conditions en déterminer l’une d’elles initiales. par conditions initiales 41