Detailed Syllabus for Mathematics, 3rd Year of the New Secondary

1  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités  Savoir résoudre des équations  Trinôme de degré 2  L’enseignant proposera aux élèves des de degré 2 (complètes ou exercices ou activités leur permettant de : incomplètes)  Forme canonique - Distinguer une équation complète de  Savoir utiliser les équations de  Discriminant ∆ degré 2 d’une équation incomplète; degré 2 pour résoudre les équations bicarrées  Factorisation et racines - Rechercher la forme canonique d’un 4 2 ax + bx + cx + c trinôme de degré 2 (démonstration à l’appui); Equations du second degré - Factoriser un trinôme de degré 2 (carré  Résolution d’une équation de degré parfait ou non), en vue de trouver ses 2 racines ;  Utiliser la résolution des ALGEBRE équations de degré 2 pour traiter - Calculer le discriminant ∆ d’une - Méthode graphique certains problèmes de la vie équation de degré 2, afin de préciser - Par le calcul courante l’ensemble S de ses solutions réelles ;   Application de la résolution d’une - Déterminer deux nombres connaissant équation de degré 2 et propriétés leur somme S et leur produit P. de ses racines. - Former une équation du second degré de racines données ; - Préciser les relations existant entre les coefficients a, b et c et les éventuelles racines de l’équation : ax2 + bx + c = 0 ; - Déterminer les relations auxquelles doivent satisfaire a, b et c pour que les racines de l’équation ax2 + bx + c = 0 aient certaines propriétés. 2  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités  Apprendre à résoudre des  Etude du signe d’un trinôme de  L’enseignement proposera aux élèves Equations et inéquations équations irrationnelles degré 2 d’étudier le signe de trinôme : ALGEBRE  Résolution des équations ax2 + bx + c, avec a<0, a>0,  Savoir utiliser l’étude du signe irrationnelles de degré 2 conduisant à Δ>0 ou Δ <0 ou Δ=0  Il portera les élèves à découvrir les irrationnelles d’un trinôme de degré 2 pour résoudre des inéquations de  Résolution des inéquations de règles à suivre en voulant élever les degré 2 ou des inéquations degré 2 deux membres d’une inéquation irrationnelles irrationnelle à une puissance paire ou impaire.    Distinguer une  Distinction entre une  L’enseignant utilisera des application d’une fonction ; application et une fonction diagrammes sagittaux et/ou des représentations graphiques pour  Reconnaitre si une  Injections amener les élèves à distinguer une application est injective, fonction d’une application ; à surjective ou bijective ;  Surjections identifier une injection, une surjection  Bijections et une bijection.il invitera également  Démontrer qu’une les élèves à décrire des situations de application f est injective,  Restriction d’une la vie courante illustrant ces notions Réciproque d’une applicationApplications particulières surjective ou bijective ; application  A partir d’exemples divers,  Déterminer la bijection les élèves seront amenés à découvrir réciproque d’une application f ; que l’image y d’un réel x par une  Composer deux bijections bijection f est l’antécédent de ce f et g même réel par la bijection réciproque f-1. D’où l’équivalence logique :  Reconnaitre une restriction g d’une application f f(x) = y f-1(y) = x  Restriction d’une application 3  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités  En utilisant les diagrammes sagittaux  Savoir déterminer la bijection - Réciproque d’une application de deux applications - Composition de deux applications Composition de deux applications réciproque f-1 d’une application f. f: A → B et g : b → C, l’enseignement aidera les élèves a découvrir la relation gof(x) = g[f(x)], gof étant l’application composée ‘’f ALGEBRE suivie de g’’  A partir d’exercices simples, le professeur portera les élèves à découvrir qu’une application injective f peut le devenir, si l’on remplace sa source par l’une de ses parties. De la, on peut leur faire comprendre la notion de restriction d’une application. 4  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités 1- mesurer les angles orientés  Généralités sur les fonctions 1- Le professeur fera un rappel des 2- Représenter à partir du cercle trigonométriques notions fondamentales en trigonométrie trigonométrique le cosinus, le sinus et - mesure des angles orientés vues en 2e année, particulièrement la tangente d’un angle orienté - cercle trigonométrique a) La construction du cercle 3- Définir les fonctions trigonométriques - représentation du cosinus, du sinus et trigonométrique 4- Démontrer la périodicité des fonctions de la tangente d’un angle orienté b) Les rapports des angles trigonométriques - définition des fonctions c) Les relations trigonométriques dans un 5- Etudier la parité ou l’imparité des trigonométriques triangle quelconque fonctions trigonométriques et les - périodicité des fonctions 2- En gardant à l’esprit qu’on opère en fonctions qui ne sont ni paires ni mode radian, l’élève utilisera le cercle TRIGONOMETRIE trigonométriques impaires - parité ou imparité des fonctions trigonométrique pour définir le cosinus 6- Etablir la relation fondamentale entre trigonométriques et le sinus de x. A partir de la définition le cosinus et le sinus d’un réel. - Relation fondamentale entre le l’élève sera amené à calculer le rapport 7- Etudier le signe de cosx et sinx lors cosinus et le sinus d’un réel qui donne la tangente de x que x Є ]-л, л [ le signe de tgx lorsque - Signe de sinx et cosx dans x Є] –л/2, л/ 2 [ l’intervalle]-л, л [ 8- Etablir la relation entre les lignes - Signe de tgx dans l’intervalle trigonométrique d’un réel x et des réels  ] – л/2, л/2[ л/2 + x, л/2 – x, л + x, л – x - Relation entre les lignes 9- Utiliser le cercle trigonométrique pour trigonométrique d’un réel x et des 3- sur une calculatrice l’élève recherche calculer la valeur des lignes réels л/2 + x, л/2 – x, л + x, л – x la valeur des fonctions trigonométriques trigonométriques des réels : 0, л/6, л/4, - Valeurs remarquables des fonctions pour certaines valeurs de x dans le but л/3, л/2 trigonométriques d’anticiper l’ensemble de définition de 10- Connaître la valeur des fonctions - Formules de transformations ces fonctions particulièrement la trigonométriques pour x = 0, x = л/6, x trigonométriques : formules fonction tangente = л/4, x = л/3 et x = л/2 d’addition et de multiplication  Les fonctions cosinus et sinus sont 11- Etudier la variation et représenter - Equations trigonométriques simples définies sur R graphiquement les fonctions et autres.  La fonction tangente est définie trigonométriques - Variation des fonctions sur 12- Etablir les formules de transformations trigonométriques  R { л/2 + k л / k € z} trigonométriques - Variations et représentations 13- Résoudre les équations  L’élève utilisera le rapporteur pour graphiques des fonctions sinus / représenter sur le cercle trigonométriques simples cosinus et tangente 14- Résoudre des équations trigonométrique les images de  certains réels trigonométriques de types variés 5  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités 15- Trouver l’image d’un point sur le cercle  Représentation d’images de  4- Le professeur proposera aux trigonométrique à l’aide d’un rapporteur. réels par ex : x1 = 2π/5 sur le élèves une activité (situation problème) qui cercle trigonométrique à l’aide leur permettra de vérifier la périodicité des 16- Démontrer que certaines expressions d’un rapporteur. fonctions cosinus et sinus. A l’aide du trigonométriques sont des réels.  Détermination de la valeur des cercle trigonométrique on démontrera fonctions trigonométriques. que : 17- Utiliser les formules de transformation pour - Réduction de sommes  Cos (x + 2 л) = cosx et sin (x + 2 démontrer des identités. d’expression л) = sinx trigonométriques  18- Réduire des sommes d’expressions - Démonstration d’identités  5- Les élèves résolvent des trigonométriques en utilisant les relations de base. - Encadrement problèmes du type : 19- Déterminer la valeur réelle d’une fonction  Précisez si les fonctions suivantes TRIGONOMETRIE trigonométrique connaissant la valeur réelle d’une sont périodiques, dans l’affirmative autre fonction trigonométrique dans un intervalle précisez leur période : donné pour point variable.  f: x cos (x + 1)  g:x sin (2x2 + 3)  h:x 2cos4x   6- Le professeur propose aux élèves des exercices de démonstration de la parité ou de l’imparité de certaines fonctions trigonométriques.   7- Les élèves résolvent des problèmes de calculs sur les fonctions trigonométriques : - Développement et réduction d’expressions trigonométriques - Détermination d’encadrement - Simplifier des expressions  soit uniquement en fonction de cosx (ou de puissances de cosx)  Soit uniquement en sinx (ou de puissances de sinx)  Soit uniquement en tgx (ou de puissances de tgx)  8- L’élève établira et mémorisera à partir de situations problèmes proposées par le professeur les formules de 6 transformations trigonométriques.  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités TRIGONOMETRIE   Cos a cos b = ½ [cos (a – b) + cos (a + b)]  Sin a sin b= ½ [cos (a – b) – cos (a + b)]  Sin a cosb = ½ [sin (a + b) + sin(a – b)]  Cos a sinb = ½ [sin (a + b) – sin (a – b)]  9- L’élève dressera son petit formulaire de trigonométrie I. Relations de base cos² + sin² = 1 cos (-) = cos cos ( - ) = - cos sin (-) = - sin tan (-) = - tan cos ( + ) = - cos sin ( - ) = sin cotan (-) = - sin ( + ) = - cotan cos ( - ) = sin sin cos ( + ) = - sin sin ( - ) = cos sin ( + ) = cos III. Formules d'addition cos (a - b) = cos a cos b + sin cos² a = a sin b sin² a = sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b sin 2a = 2 sin a cos cos (a + b) = cos a cos b - sin a a sin b tan 2a = sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b tan (a + b) = tan (a - b) = cos 2a = cos²a - sin²a = 2 cos²a - 1 = 1 - 2 sin²a 7   PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités    10- Le professeur propose aux élèves des activités faisant appel à TRIGONOMETRIE leur capacité de résolution d’équations trigonométriques simples et d’équation trigonométriques du type : cos2x – cosx + 1 = 0   11- On étudiera le sens de variation des fonctions cosinus, sinus et tangente. On introduira les notions et le vocabulaire usuels (comportement, Les limites aux bornes de l’intervalle de définition, parité, périodicité etc…) 8  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités ANALYSE 1. Maitriser la résolution des équations et 1. Résolution des équations et 1. Le professeur proposera aux élèves inéquations du second degré à une inconnue. inéquations du second degré à des situations-problèmes leur 2. Maitriser les différentes opérations usuelles une inconnue. permettant de déterminer l’ensemble de sur des fonctions du premier degré à une 2. Généralités sur les fonctions : définition, l’étude de la parité et de la inconnue: Ensemble de définition, parité, périodicité d’une fonction du Et sur E(x) la partie entière de x périodicité, variation, majorant, programme. 3. Déterminer la composition de fonctions. minorant, sup, inf , E(x) 2. L’apprenant sera amené à interpréter 4. Déterminer l’ensemble de définition d’une 3. Continuité en un point. graphiquement en termes d’asymptotes fonction. Opérations sur les fonctions ou de branches paraboliques le calcul 5. Etudier la parité et/ou la périodicité d’une continues. Continuité sur un de la limite d’une fonction qui ne sera fonction. intervalle. pas considéré comme une fin en soit. 6. Analyser à l’infini ainsi qu’au voisinage d’un 4. Limite finie ou infinie en un réel a. 3. Les élèves résolvent des problèmes point donné le comportement des fonctions de Limite finie ou infinie à l’infini. dans des situations mathématiques de références, , , Opérations sur les limites de la vie courante faisant appel à la notion 7. Déterminer la limite éventuelle d’une fonction fonctions. Asymptotes. Branches de continuité. Un exemple pratique de en un point donné ou à l’infini. infinies. continuité sur un intervalle est la 8. Reconnaître qu’une droite d’équation est une 5. Dérivabilité en un point. fonction de déplacement d’une voiture asymptote à la courbe représentative d’une Dérivabilité sur un intervalle. sur une fraction de route donnée dans fonction du programme. Fonction dérivée. Opérations sur laquelle il y a un pont entre les deux 9. Reconnaître si une fonction est continue en un les dérivées. Liens entre le signe extrémités. Si on enlève le pont cette point ou sur un intervalle donné à partir de son de la dérivée, le sens de fonction n’est plus continue. L’étude de expression algébrique ou d’un graphique. variations et les extrema. continuité ne concerne que les fonctions 10. Reconnaître si une fonction est dérivable en 6- Approche cinématique ou graphique du programme. On ne donnera pas les un point ou sur un intervalle donné. du concept de nombre dérivé d’une définitions de la limite, ces notions 11. Reconnaître que le nombre dérivé d’une fonction en un point. seront introduites de façon intuitive et à fonction en un point donné est la pente de la 7- Nombre dérivé d’une fonction en un l’aide de dessin. tangente à la courbe de cette fonction au point: définition comme limite de 4. A travers des situations variées, point d’abscisse. f (a+h) - f (a) l’apprenant abordera la dérivabilité. 12. Déterminer l’équation de la tangente (ou des h L’enseignant fera en sorte que l’étude demi-tangentes) à une courbe en un point quand h tend vers 0. de la dérivabilité ne concerne que les d’abscisse. fonctions du programme. 13. Déterminer le nombre dérivé d’une fonction Fonction dérivée. Le nombre dérivée d’une fonction en un en un réel connaissant l’équation de la point donné sera considérée comme tangente à la courbe représentative de la Tangente à la courbe représentative étant la limite du taux d’accroissement fonction au point d’abscisse. d’une fonction f dérivable; de cette fonction en (L’exemple de la approximation affine associée de la vitesse instantanée d’un mobile est un fonction. bon exemple à prendre). 5. L’élève utilisera le graphique d’un Dérivée des fonctions usuelles: x xn, x certain nombre de fonctions pour x, x c o sx et x sin x Dérivée résoudre certains problèmes. d’une somme, d’un produit, d’un  quotient et de xf (a x+ b) . Lien entre signe de la dérivée et variations. 9  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités ANALYSE ANALYSE 14. Déterminer la dérivée d’une fonction sur un 24. 6.  Etude et représentation graphique Plusieurs démarches sont possibles: passage de intervalle en utilisant les opérations sur les de fonctions polynômes du la vitesse moyenne à la vitesse instantanée fonctions dérivables et les dérivées de premier degré, du second degré, pour des mouvements rectilignes suivant des fonctions usuelles. du troisième degré et bicarrées. lois horaires élémentaires (trinôme du second 15. Déterminer le sens de variation d’une fonction 25. 7. Etude et représentation graphique degré dans un premier temps); zooms connaissant le signe de sa dérivée. des fonctions du type : successifs 16. Déterminer le sens de variation d’une fonction 26. sur une représentation graphique obtenue à partir de sa représentation graphique.   à l’écran de la calculatrice. 17. Reconnaître qu’un réel est un extremum local 27.  ou global d’une fonction. On construira point par point un ou deux 18. Reconnaître qu’un point (respectivement une 28. exemples d’approximation de courbe intégrale droite) est un centre (respectivement un axe) de symétrie.  définie par: y’ = f (t) et y (t0) = y0 en 29. 19. Représenter graphiquement des fonctions utilisant l’approximation Df» f ’(a) Dt. polynômes du premier degré, du second  degré, du troisième degré et bicarrées.  On justifiera le résultat donnant la 30. 20. Représenter graphiquement des fonctions dérivée de affines par intervalle et des fonctions du type :  u vet 1. 21. Tracer une courbe représentative d’une 31. fonction à partir d’une autre en utilisant une  u transformation plane (translation, symétrie On étudiera, sur quelques exemples, le sens de axiale ou centrale). variation de fonctions polynômes de degré 2 ou 32. 22. Exploiter ou créer un graphique pour étudier 3, de fonctions homographiques ou de la position relative de deux courbes. fonctions rationnelles très simples. On intro- 23. Exploiter ou créer une représentation duira les notions et le vocabulaire usuels (extremum, majorant, minorant) et, de l’étude graphique pour déterminer ou estimer du sens de variations, on déduira des les solutions éventuelles d’une encadrements équation ou d’une inéquation.  d’une fonction sur un intervalle.  Exploiter ou créer une représentation  graphique pour déterminer ou estimer les  solutions éventuelles d’une équation ou d’une  inéquation.       10  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités ANALYSE SUITES 1. Utiliser la notion de suites numériques pour décrire un  Mode de génération d’une suite certain nombre de situations simples. numérique simple. 1. Le professeur proposera aux 2. Maitriser les notions de croissance et décroissance d’une  Suite croissante suite. élèves des situations-problèmes  Suite décroissante 3. Justifier qu’une suite est arithmétique ou géométrique en  Suites arithmétiques lies notamment aux phénomènes utilisant un certain nombre de propriétés.  Suites géométriques chronologiques, économiques et 4. Maitriser la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique ou géométrique  Somme des n premiers terme d’une sociaux leur permettant de suite. découvrir la notion de suites. 5. Calculer l’intérêt simple ou l’intérêt composé pour un  Intérêt simple placement donné et établir les formules donnant ces  Intérêt compose types d’intérêts. 2. L’élève traitera des situations- 6. Connaître la limite d’une suite géométrique.  Suite récurrente du type, , problèmes susceptible de leur 7. Reconnaitre qu’une suite est récurrente étant 8. Calculer un terme d’une suite récurrente du type, , étant faire maitriser les notions de connu. suites croissantes, 9. Représenter graphiquement les points An de décroissantes, arithmétiques et coordonnées (n, un), dans le cas où est une suite récurrente du type, étant connu. géométriques (On parlera de 10. Représenter sur l’un des axes du repère les termes croissance exponentielle pour d’une suite récurrente du type, étant connu. une suite géométrique. On 11. Déterminer la limite éventuelle d’une suite pourra prendre comme exemple récurrente du type, étant connue. de référence l'étude de l'accroissement (ou diminution) d'une population ou l'évolution d'un capital placé à intérêts composés) 3. Le professeur proposera aux élèves des problèmes leur amenant à déterminer la somme des n premiers termes de suites arithmétiques et géométriques. 4. L’élève résoudra des situations- problèmes se rapportant aux intérêts simple et composé. 11  Ce présent chapitre de géométrie dans la filière sciences économiques et sociales vise à approfondir un certains nombres d’acquis antérieurs tant du point de vue des calculs et illustrations graphiques que dans la géométrie de l’espace. Ce chapitre devra PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités Vecteurs Géométrie  Déterminer le barycentre d’un certain nombre  Vecteurs de l’espace 1. L’élève déterminera, à partir de situations- de pointas donnés.  Barycentre problèmes proposées par le professeur, le  Maitriser les notions de produits scalaires et barycentre d’un certain nombre de points norme  Produit scalaire donnés.  Utiliser la notion de produit scalaire pour poser et norme 2. L’élève accomplira un certain nombre de la condition analytique d’orthogonalité de deux taches lui permettant de cerner les notions de vecteurs. produit scalaire et norme.  Orthogonalité de  Maitriser la distance de deux points du plan et 3. L’élève accomplira un certain nombre de deux vecteurs de l’espace. taches lui permettant d’étendre à l’espace les  Calculer le déterminant de trois vecteurs de opérations sur les vecteurs du plan et de vérifier  Distance de deux l’orthogonalité de deux vecteurs l’espace. points du plan. 4. L’élève sera amené à déterminer la  Distance de deux distance entre deux points du plan et de points de l’espace. l’espace. Géométrie dans l’espace  Approfondir la notion de coordonnées  Repérage dans le plan et  L’élève fera des activités lui permettant de cartésiennes dans le plan et l’utiliser pour dans l’espace, découvrir le repérage dans l’espace. Une maitriser la notion de repère dans le plan et coordonnées exploration intuitive de l’espace étant déjà mené en dans l’espace. cartésiennes. deuxième année du secondaire, le professeur  Approfondir la notion d’équation, de droites du  Equations de droites, de prendra des dispositions en vue de faire découvrir à plan et appréhender la notion d’équation de plans (cartésiennes et l’élève l’ajout d’une troisième composante comme droite de l’espace paramétriques). spécificité de l’espace par rapport au plan.  Déterminer les équations paramétriques et  positions relatives de  L’élève sera emmené à résoudre des situations- l’équation cartésienne de droites, de plans et de droites et plans du point problèmes se rapportant a l’orthogonalité, aux sphères. de vue de leurs positions relatives de droites et plans de l’espace.  Déterminer les positions relatives de droites et équations (règle Le professeur fera en sorte que les apprenants plans à partir de leurs équations. d’incidence). établissent d’abord l’équation d’une droite parallèle  Intersection d’un plan et d’une sphère. à un plan de coordonnées, celle d’un plan parallèle à  Positions relatives d’un  Approfondir les notions de norme et de un axe pour ensuite établir le cas général c’est-à- plan et d’une sphère distance dire : si a, b et c sont tous des réels non nuls alors  Norme et distance en pour tout réel d est l’équation d’un plan.  Construire un graphe en dimension 3. dimension 3.  La détermination des lignes de niveaux ne  Utiliser des exemples simples de fonctions de fera pas l’objet d’une étude spécifique mais se  graph en dimension 3. fera sur des exemples pratiques. deux variables pour aborder de manière  succincte la notion de courbes de niveau. 12 permettre aux apprenants d’aborder plus tard un certain nombre de modélisations ultérieures. 13  PROGRAMME DETAILLE – 3ème année secondaire (Générale et Technologique) Thème Compétences Contenus Suggestions d’activités 1. Résumer une série statistique à un caractère et  Séries statistiques à un  Les élèves résolvent des problèmes portant sur des déterminer ses paramètres de position et de caractère : paramètres de phénomènes statistiques en rapport avec leur dispersion. position, de dispersion. environnement dans des contextes familiers ou non 2. Interpréter une distribution normale.  Séries statistiques à deux familiers. 3. Organiser une série statistique à deux caractères : tableau à  Les élèves résolvent des problèmes dans des Statistiques - probabilités caractères dans un tableau à deux entrées et deux entrées, situations mathématiques portant des séries déterminer ses distributions marginales ainsi distributions marginales, statistiques à un caractère et déterminer leurs que leurs paramètres de position et de fréquences marginales, paramètres de position et de dispersion. dispersion. paramètres de position et  Ils résolvent des problèmes puisés dans des 4. Représenter à l’aide d’un nuage de points une de dispersion des situations réelles menant à une distribution normale. série statistique à deux caractères et déterminer distributions marginales.  Les élèves résolvent des problèmes portant sur des son point moyen.  Nuage de points, point phénomènes statistiques conduisant à l’étude des moyen. séries statistiques a deux caractères. 1. Estimer la probabilité d’un événement à partir  Probabilité  Les élèves résolvent des problèmes puisés dans des de sa fréquence de réalisation. uniforme : Définition situations réelles menant à un modèle probabiliste. 2. Calculer la probabilité d’un événement dans le d’une loi de probabilité  Les élèves résolvent des problèmes dans des cas d’équiprobabilité. sur un ensemble fini situations mathématiques portant des séries 3. Calculer la probabilité d’un événement dans le  Probabilité de la statistiques à un caractère et déterminer leurs cas d’épreuves successives indépendantes. réunion et de paramètres de position et de dispersion. 4. Calculer la probabilité d’un événement dans le l’intersection de deux  Ils résolvent des problèmes puisés dans des cas d’épreuves successives dépendantes. évènements situations réelles menant à une distribution normale.  Cas de  Les élèves résolvent des problèmes portant sur des l’équiprobabilité phénomènes statistiques conduisant à l’étude des  Epreuves séries statistiques à deux caractères. successives indépendantes  Epreuves successives dépendantes 14