(2019-12) Programme à compétences minimales : Mathématiques, Secondaire II

MENFP MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE PROGRAMME A COMPÉTENCES MINIMALES MATHÉMATIQUES SECONDAIRE II Décembre 2019 Programme à compétences minimales Mathématiques Le présent programme dénommé : Programme à compétences minimales de mathématiques est élaboré à partir du programme initial conçu pour une année scolaire de 189 jours à raison de six (6) heures de cours par jour. Tenant compte des difficultés rencontrées au cours de la période de « Peyi lock » pendant plus de deux (2) mois, les autorités du ministère ont opté pour la poursuite des activités scolaires pour l'année académique 2019/2020. C'est ainsi que les directions techniques concernées ont été instruites par les autorités du MENFP, notamment le Ministre Pierre Josué Agénor CADET afin de réaménager le calendrier scolaire et élaborer un programme adapté à cet dernier. Globalement, il s'agit d'évaluer le nombre de jours de classes raté pendant cette période et prendre en compte l'essentiel dans chaque discipline, c'est-à-dire les thèmes disciplinaires qui valideront l'année académique pour chaque niveau d'enseignement. Stratégiquement, pour optimiser le temps d'apprentissage, la Direction de l'Enseignement Secondaire a proposé un programme de 36 heures par semaine a raison de 6 heures par jour et échelonné sur une période de 6 jours par semaine, ce, pour combler le nombre d'heures perdu au cours de la période de « Peyi lock ». Ceux, considérés comme non pertinents font l'objet d'activités d'enseignement / apprentissage qui seront versés sur les différentes plateformes construites à cet effet par le ministère et serviront de devoirs de recherche par les élèves des différents niveaux du secondaire. Dans le cas des mathématiques pour la classe de secondaire II ; 25 heures sont susceptibles d'être rattrapées par semaine et 17 heures peuvent être prises en charge à travers des devoirs de recherche à la maison. Logique mathématique : Hormis les types de raisonnements, tous les autres termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier… Algèbre Hormis le terme « équations du troisième degré » tous les autres termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier… Analyse Hormis l'étude des fonctions homographiques, tous les autre termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier … Géométrie Hormis Le terme « géométrie dans l'espace », les notions de cercle et de disque, tous les autre termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier… Statistique et trigonométrie Tous les termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier… Programme à compétences minimales Mathématiques Thème: Algèbre COMPÉTENCES ü Utiliser les nombres pour résoudre des problèmes relatifs à la valeur absolue, la distance, le calcul approché, majorant minorant. CONTENUS ü notions de : intervalles, valeur absolue, distance, calcul approché et partie entière d'un réel SUGGESTIONS D'ACTIVITÉS ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE 1. L'élève sera amené à résoudre des situations-problèmes lui permettant la consolidation et l'approfondissement ü Notions majorant et minorant. des notions de Valeur absolue ü Intervalle de centre xo et de rayon r. distance et de calcul approché de 2. L'enseignant proposera aux élèves des situations-problèmes faisant intervenir les notions d e : encadrement, partie entière d'un réel, majorant et minorant. ü Résoudre des systèmes d'équations ü Systèmes d'équations dans ℝ2 et dans 2 2 linéaires dans ℝ et dans ℝ . 3 ℝ. ü Systèmes de deux ou trois inéquations 2 ü Systèmes d'inéquations dans ℝ er 2 du 1 degré dans ℝ . ü Résoudre des équations et des ü Equation du deuxième et du troisième inéquations du second degré. degré Modéliser un problème par une ü Equation bicarrée inéquation. ü Equation rationnelle et Equation ü inéquation à partir de l'étude du signe irrationnelle simple d'une expression produit ou quotient ü Inéquation du deuxième degré de facteurs du premier degré. ü Résoudre des équations et des ü Inéquation rationnelle ü inéquations rationnelles. ü Résoudre des équations du troisième degré à une inconnue. ü Equation du troisième degré. 1. L'enseignant proposera aux élèves résoudre des situations-problèmes se rapportant aux Systèmes 2 d'équations linéaires dans ℝ et dans ℝ3 et/ou à la mise en équations. 2. Les élèves traiteront des activités se rapportant à la mise en équation de problèmes 3. L'enseignant proposera aux élèves des situations-problèmes se rapportant aux systèmes d'inéquations linéaires 2 dans ℝ (regionnement du plan) 4. L'enseignant proposera aux élèves une activité susceptible de les faire découvrir le discriminant d'une équation du second degré à un inconnu. 1 Programme à compétences minimales Mathématiques Les élèves auront à faire des activités leur permettant de : 5. Vérifier qu'un réel est zéro d'un polynôme. 6. Factoriser un polynôme de degré 3 par l'algorithme de Horner, la division synthétiques ou par la méthode des coefficients indéterminés. 7. Les élèves traiteront des situations- problèmes leur permettant de maitriser : les équations du second et du troisième degré, équation bicarré, équation symétrique, équation irrationnel simple inéquations du second degré à un inconnu. ü Effectuer les opérations élémentaires ü Addition, égalité de matrices 2 sur les matrices ü Multiplication d'une matrice par un réel ü Produit matriciel ü Déterminants d'une matrice d'ordre 2. üInverse d'une matrice carrée d'ordre 2 ü Matrice identité. L'enseignant invitera les élèves à s'investir dans des taches leur permettant de maitriser les opérations élémentaires sur les matrices. Programme à compétences minimales Mathématiques COMPÉTENCES Pour une fonction définie par une courbe, un tableau de données ou une formule : · identifier la variable et, éventuellement, l'ensemble de définition; SUGGESTIONS D'ACTIVITÉS CONTENUS ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE 1. Fonction Image, antécédent, représentative. 1. courbe déterminer l'image d'un nombre; · rechercher des antécédents d'un nombre. fonctions abordées l'enseignant doivent généralement des par être fonctions numériques d'une variable réelle pour lesquelles l'ensemble de définition est 2. Étude qualitative de fonctions · Les donné. Fonction croissante, fonction décroissante; maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle. 2. Quelques exemples de fonctions définies sur un ensemble fini ou sur ℕ 3. voire de fonctions de deux variables · · · Décrire, avec un vocabulaire adapté ou un tableau de variations, le comportement d'une fonction définie par une courbe. Dessiner une représentation graphique compatible avec un tableau de variations. Lorsque le sens de variation est donné, par une phrase ou un tableau de variations : · comparer les images de deux nombres d'un intervalle; · déterminer tous les nombres dont l'image est supérieure (ou inférieure) à une image donnée. 3. Expressions algébriques Transformations d'expressions algébriques en vue d'une résolution de problème. 4. Fonctions de référence Fonctions linéaires et fonctions affines Variations de la fonction carré, de la fonction inverse. 5. Études de fonctions ü Fonctions polynômes de degré 2. ü Fonctions Polynôme de degré 3 · Domaine de définition d'une fonction. ü Limite d'une fonction (aire en fonction des dimensions) sont à donner. Les élèves doivent distinguer les courbes pour lesquelles l'information sur les variations est exhaustive, de celles obtenues sur un écran graphique. Les définitions formelles d'une fonction croissante, d'une fonction décroissante, sont progressivement dégagées. Leur maîtrise est un objectif de fin d'année. Les activités de calcul nécessitent une certaine maîtrise technique et doivent être l'occasion de raisonner. Les élèves apprennent à développer des stratégies s'appuyant sur l'observation de courbes, l'anticipation et l'intelligence du calcul. 3 Programme à compétences minimales Mathématiques Associer à un problème une expression La résolution de problèmes vise aussi à algébrique. progresser dans la maîtrise du calcul Identifier la forme la plus adéquate algébrique (développée, factorisée) d'une expression connaissance des différents types de en vue de la résolution du problème donné. nombres, en particulier pour la distinction Développer, factoriser des expressions d'un nombre de ses valeurs approchées. et à approfondir la polynomiales simples; transformer des expressions rationnelles simples. · Donner le sens de variation d'une fonction affine. · Donner le tableau de signes de ax+b pour des valeurs numériques données de a et b. · Connaître les variations des fonctions carré et inverse. · Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse. Connaître les variations des fonctions 4 polynômes de degré 2 et de degré 3 (monotonie, extremum) et éventuellement On fait le lien entre le signe de ax+b, le sens de variation de la fonction et sa courbe représentative. Représenter graphiquement les fonctions carré et inverse. Exemples de non-linéarité. En particulier, faire remarquer que les fonctions carré et inverse ne sont pas linéaires. Les résultats concernant les variations des fonctions polynômes de degré 2 (monotonie, extremum) et la propriété de symétrie de leurs courbes sont donnés en classe et connus des élèves, mais peuvent être partiellement ou totalement admis. la propriété de symétrie de leurs courbes. Savoir mettre sous forme canonique un Comprendre intuitivement la notion de polynôme de degré 2 n'est pas un attendu limite du programme. Pour un même problème, il s'agit de : Programme à compétences minimales Mathématiques combiner les apports de l'utilisation d'un graphique et d'une résolution algébrique, mettre en relief les limites de l'information donnée par une représentation graphique. Les fonctions utilisables sont les fonctions polynômes de degré 2 ou homographiques Il s'agit d'apprendre aux élèves à distinguer la courbe représentative d'une fonction des dessins obtenus avec un traceur de courbe ou comme représentation de quelques données. Autrement dit, il s'agit de faire comprendre que des dessins peuvent suffire pour répondre de façon satisfaisante à un problème concret mais qu'ils ne suffisent pas à démontrer des propriétés de la fonction. L'enseignant évitera toute approche formelle de la notion de limite. Il pourra utiliser des fonctions simples (par exemple une fonction affine) pour introduire cette notion en prenant les images des points de plus en plus proche du point lequel on cherche à calculer de la limite. 5 Programme à compétences minimales Mathématiques Thème: Trigonométrie COMPÉTENCES CONTENUS ü Construire un cercle trigonométrique ü Cercle trigonométrique SUGGESTIONS D'ACTIVITÉS ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE 1. L'enseignant présentera le cercle trigonométrique comme l'enroulement ü Placer un nombre réel sur un cercle trigonométrique. ü Calculer le Cosinus et le sinus d'un angle placé sur le cercle ü Définition du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, de la 2. On fait le lien avec la trigonométrie du sécante et de la cosécante d'un triangle rectangle au secondaire 1. La nombre réel. notion de radian n'est pas exigible. trigonométrique. ü Relations trigonométriques dans un ü Faire le lien avec les valeurs des sinus triangle quelconque et cosinus des angles de 0º, 30º, 45º, ü Lignes trigonométriques des angles 6 3. L'enseignant fera résoudre des situations problèmes permettant la consolidation de la notion d'arcs associés a) arcs supplémentaires 60º, 90º. ü Calculer la mesure des lignes de la droite numérique. associés. b) arcs diamétraux c) arcs opposés d) complémentaires trigonométriques d'un angle dans un triangle quelconque. ü Equations trigonométriques simples. 4. L'enseignant fera résoudre des équations trigonométriques simples ü Calculer les lignes trigonométriques des angles associés. ü Résoudre des équations trigonométriques simples. 5. L'enseignant présentera une activité dans lequel les élèves auront à déterminer la mesure d'un côté d'un triangle quelconque au moyen des relations trigonométriques. Programme à compétences minimales Mathématiques Thème: Géométrie COMPÉTENCES ü Repérer un point donné du plan, placer un point connaissant ses coordonnées. ü Calculer la distance de deux points connaissant leurs coordonnées. ü Calculer les coordonnées du milieu CONTENUS 1. Coordonnées d'un point du plan ü Abscisse et ordonnée d'un point dans le plan rapporté à un repère orthonormé. ü Distance de deux points du plan. ü Milieu d'un segment. d'un segment. Résoudre des problèmes en utilisant : 2. Configurations du plan SUGGESTIONS D'ACTIVITÉS ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE Un repère orthonormé dans un plan est défini par trois points (O,I,J) formant un triangle rectangle isocèle de sommet O. À l'occasion de certains travaux, on pourra utiliser des repères non orthonormés Les activités des élèves prennent appui sur les propriétés des triangles, des Triangles, quadrilatères, cercles. quadrilatères, des cercles. peuvent s'enrichir des apports de la les propriétés des symétries axiale ou géométrie repérée. Le cadre de la centrale. Ÿ Savoir que AB = CD 3. Vecteurs Définition de la translation qui transforme équivaut à ABDC un point A du plan en un point B. est un parallélogramme, éventuellement Vecteur AB associé. aplati. Égalité de deux vecteurs : u = AB = CD · Connaître les coordonnées ( xB - x A , y B - y A ) du vecteur AB · Calculer les coordonnées de la somme de deux vecteurs dans un repère. Coordonnées d'un vecteur dans un repère. les propriétés étudiées au collège et géométrie repérée offre la possibilité de traduire numériquement des propriétés géométriques et permet de résoudre certains problèmes par la mise en œuvre d'algorithmes simples. Les configurations étudiées au secondaire 1,à base de triangles, quadrilatères, Somme de deux vecteurs. Produit d'un cercles, sont la source de problèmes pour vecteur par un nombre réel. lesquels la géométrie repérée et les vecteurs fournissent des outils nouveaux et performants 7 Programme à compétences minimales Mathématiques · Utiliser la notion l u. · Établir la colinéarité de deux Relation de Chasles. · Construire géométriquement la Caractériser alignement même milieu. La somme des deux vecteurs et parallélisme par la colinéarité de ü Vecteurs orthogonaux vecteurs. · Calculer le produit scalaire et la ü Norme d'un vecteur Tracer une droite dans le plan repéré. · Interpréter graphiquement le 4. Droites Droite comme courbe représentative d'une fonction affine. coefficient directeur d'une droite. · Caractériser analytiquement une droite. · Établir que trois points sont alignés, non alignés. 8 · · droites sécantes. · Déterminer un vecteur directeur d'une droite. · Déterminer si deux droites sont perpendiculaires Pour le vecteur u de coordonnées (a, b) dans un repère, le vecteur l u est le vecteur de coordonnées (la, lb) dans le Équations de droites. est indépendant du repère. Droites parallèles, sécantes, Enfin de compte, l'objectif est de rendre les élèves capables d'étudier un ü Equation cartésienne du cercle problème d'alignement de points, de parallélisme ou d'intersection de ü Droites perpendiculaires Déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur u et de vecteur même repère. Le vecteur l u ainsi défini Reconnaître que deux droites sont parallèles, sécantes. u et v v. norme d'un vecteur. · l'unique point D tel que [AD] et [BC] ont ü Produit scalaire somme de deux vecteurs. · translation qui transforme A en B, üCoordonnées cartésiennes d'un vecteur vecteurs. À tout point C du plan, on associe, par la droites, de reconnaissance des propriétés d'un triangle, d'un polygone ü Représentation paramétrique d'une – toute autonomie pouvant être laissée droite, d'un plan. sur l'introduction ou non d'un repère, l'utilisation ou non de vecteurs. Programme à compétences minimales Mathématiques · Maitriser les notions de cercle · Déterminer l'équation cartésienne d'un cercle La définition proposée des vecteurs permet d'introduire rapidement l'addition de deux vecteurs et la multiplication d'un vecteur par un nombre réel. Cette introduction est faite en liaison avec la géométrie plane repérée. La translation, en · Approfondir les notions de point et de vecteur dans le plan. tant que transformation du plan, n'est pas étudiée en classe de secondaire 2. On démontre que toute droite a une · Etablir la représentation équation soit de la forme y = mx+ p, soit de paramétrique d'une droite, d'un la forme x = c. plan. C'est l'occasion de résoudre des systèmes d'équations linéaires. L'enseignant tâchera de montrer aux élèves que dans un repère orthonormé deux droites sont perpendiculaires dans le plan si et seulement le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul. Ou bien, si on a les équations des deux droites sous la forme y = mx + p, les droites sont perpendiculaire si et seulement si le produit de leurs pentes est égal à -1. On fait la liaison avec la colinéarité des vecteurs. L'élève traitera des situations problèmes lui permettant de maîtriser les notions de cercle. 9 Programme à compétences minimales Mathématiques 1. L'élève consolidera, à partir de situations-problèmes proposées par L'enseignant, ses acquis par rapport aux notions de vecteurs et de plan. 2. L'élève accomplira un certain nombre de taches lui permettant de cerner les notions de produit scalaire et norme. 3. L'élève accomplira un certain nombre de taches lui permettant d'écrire les représentations paramétriques de droite et plan. Thème: Statistique COMPÉTENCES CONTENUS ü Passer des effectifs aux fréquences, ü Statistique descriptive, analyse de calculer les caractéristiques d'une données Caractéristiques de position série définie par effectifs ou 10 fréquences. ü Calculer des effectifs cumulés, des Représenter une série statistique graphiquement (nuage de points, histogramme, courbe des fréquences cumulées). ü Etre capable de déterminer et interpréter des résumés d'une série statistique; ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE ü L'objectif est de faire réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées synthétiser l'information et proposer des représentations pertinentes. ü médiane, quartiles; fréquences cumulées. ü et de dispersion SUGGESTIONS D'ACTIVITÉS ü moyenne. Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience. À l'occasion de la mise en place d'une simulation, on peut : utiliser les fonctions logiques d'un tableur ou d'une calculatrice, mettre en place des instructions conditionnelles dans un algorithme. L'objectif est d'amener les élèves à un questionnement lors des activités suivantes : Programme à compétences minimales Mathématiques ü Etre en mesure de réaliser la comparaison de deux séries statistiques à l'aide d'indicateurs de position et de dispersion, ou de la courbe des fréquences cumulées; Échantillonnage l'estimation d'une proportion inconnue à Notion d'échantillon. Intervalle de partir d'un échantillon; la prise de fluctuation d'une fréquence au seuil de décision à partir d'un échantillon. 95%*. * L'intervalle de fluctuation au seuil de Réalisation d'une simulation. 95%, relatif aux échantillons de taille n, est l'intervalle centré autour de p, proportion du caractère dans la ü Exploiter et faire une analyse critique d'un résultat d'échantillonnage. population, où se situe, avec une probabilité égale à 0,95, la fréquence observée dans un échantillon de taille n. Cet intervalle peut être obtenu, de façon ü Réfléchir à la conception et la mise en œuvre d'une simulation; sensibiliser à la fluctuation d'échantillonnage,aux notions d'intervalle de fluctuation et d'intervalle de confiance et à l'utilisation qui peut en être faite. approchée, par simulation. Le professeur peut indiquer aux élèves le résultat suivant, utilisable dans la pratique pour des échantillons de taille n ≥ 25 et des proportions p du caractère comprises entre 0,2 et 0,8: si f désigne la fréquence du caractère dans l'échantillon, f appartient à l'intervalle: 1 1 ù é ; p+ êpú avec une probabilité n nû ë d'au moins 0,95. Le professeur peut faire percevoir expérimentalement la validité de cette propriété mais elle n'est pas exigible. 11 Programme à compétences minimales Mathématiques Thème: Propositions Logique mathématiques COMPÉTENCES CONTENUS · Savoir distinguer une proposition d'une forme propositionnelle · Savoir bien utiliser les quantificateurs · Pouvoir donner la valeur de vérité et la né et la négation d'une proposition (quantifiée ou non) · Maitriser les connecteurs et la table de vérité relative à chacune des propositions composées. · Proposition et forme propositionnelle. · Quantificateurs · Connecteurs : négation disjonction conjonction implication équivalence négation, inverse, contraposée d'une implication. SUGGESTIONS D'ACTIVITÉS ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE · l'enseignant proposera aux élèves des phrases du langage courant à traduire dans le langage des propositions. · l'enseignant fera résoudre des situations-problèmes se rapportant aux connecteurs. · l'élève sera amené à traiter des activités faisant intervenir les notions de négation, de contraire, de réciproque et de contraposée d'une implication. GRILLE DE PROGRESSION INDICATIVE 12 T1 Mois et nombre de jours de classe en moyenne 5h/semaine sur environ 19 semaines T2 Nombre d'h / module