(2019-12) Pwogram konpetans minimal : Matematik, Segondè IV (seri SMP ak SVT)

MENFP MINISTÈRE DE L'ÉDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE PROGRAMME A COMPÉTENCES MINIMALES MATHÉMATIQUES SECONDAIRE IV SÉRIES : SMP & SVT DECEMBRE 2019 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) minimales de mathématiques est élaboré à partir du programme Probabilité et statistique Hormis les termes : épreuve de Bernoulli « et méthode à main levée, méthode des moindres carrées » tous les autres termes et contenus initial conçu pour une année scolaire de 189 jours à raison de six (6) notionnels du programme détaillé sont à étudier. heures de cours par jour. Nombres complexes Hormis les termes « exploiter la structure d'espace vectoriel de ℂ, +, * Tenant compte des difficultés rencontrées au cours de la période de « Peyi lock » pendant plus de deux (2) mois, les autorités du ministère ont opté pour la poursuite des activités scolaires pour l'année académique 2019/2020. C'est ainsi que les directions techniques concernées ont été instruites par les autorités du MENFP, notamment le Ministre Pierre Josué Agénor CADET afin de réaménager le calendrier scolaire et élaborer un programme adapté à cet dernier. Globalement, il s'agit d'évaluer le nombre de jours de classes raté pendant cette période et prendre en compte l'essentiel dans chaque discipline, c'est-à-dire les thèmes disciplinaires qui valideront l'année académique pour chaque niveau d'enseignement. pour certains calculs, équations à coefficients complexes de degrés 2 ou 3 et des equations bicarrées et nombres complexes et géométrie » tous les autres termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier. Arithmétique Tous les termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier. Algèbre linéaire et géométrie Hormis les termes « reconnaitre et utiliser une isométrie, construire l'image d'un point à partir d'une isométrie » transformer le f.s.l, déterminer les lignes surfaces de niveau, les solides dans l'espace et les coniques tous les autres termes et contenus notionnels du programme détaillé sont à étudier. Stratégiquement, pour optimiser le temps d'apprentissage, la Direction de l'Enseignement Secondaire a proposé un programme de 36 heures par semaine a raison de 6 heures par jour et échelonné sur une période de 6 jours par semaine, ce, pour combler le nombre d'heures perdu au cours de la période de « Peyi lock ». Analyse Hormis les termes « exploiter la propriété de parité et ou de périodicité d'une fonction, étudier une fonction trigonométrique, montrer qu'une fonction est bijective et trouver sa réciproque équations différentielles de la forme: f¢¢+ af¢+ bf = u, a Î ℝ, Ceux, considérés comme non pertinents font l'objet d'activités d'enseignement / apprentissage qui seront versés sur les différentes plateformes construites à cet effet par le ministère et serviront de devoirs de recherche par les élèves des différents niveaux du secondaire. u fonction donnée, interpreter et resoudre certains problemes en sces physique biologique , économiques , débouchant sur des équations différentielles , tous les autres et contenus notionnels du programme détaillé a étudier. Dans le cas des mathématiques pour la classe de secondaire IV ; séries (SMP & SVT) ; 32 heures sont susceptibles d'être rattrapées par semaine et 18 heures peuvent être prises en charge à travers des devoirs de recherche à la maison. Hormis les termes « suite extraite, suite adjacente, insérer des moyens géométriques entre deux réels et utiliser la somme de ses premiers termes pour établir si une suite infinie est géométrique » tous les autres termes et contenu notionnels du programme détaillé sont à étudier. b Î ℝ, Suite réelle CAPÍTULO I Le présent programme dénommé : Programme à compétences Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Probabilité & Statistiques 1 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: Probabilité d'un événement Competences · Maîtriser les techniques dénombrement Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus de · Rappels · Maîtriser le langage probabiliste des notions de : · Le professeur proposera aux élèves Arrangements- Permutations et une grande diversité de problèmes Combinaisons de dénombrement faisant intervenir les nombres tels que AnP , CnP et n !, et également · Définir la notion de probabilité · Appréhender la notion de probabilité · Notion de Probabilité, Espaces · Calculer la probabilité d'un événement (dans l'hypothèse d'équiprobabilité ou de non- équiprobabilité) probabilisés finis, Phénomènes aléatoires, Vocabulaire des · A partir d'un exemple simple déjà événements, Probabilité sur un étudié en dénombrements, les élèves univers. Définition- Propriétés et seront amenés à Calculs concepts : Univers, événements · Utiliser les probabilités conditionnelles · Calculer des probabilités conditionnelles · 2 exigeant plus d'imagination et d'initiative. · Appréhender la notion d'équiprobabilité · Reconnaître et Etablir la dépendance ou l'indépendance de deux événements A et B d'autres Notion de conditionnelles, indépendants. probabilités appréhender les élémentaires / contraires / impossibles / certains / incompatibles etc. Evénements · L'enseignant, en engageant un grand débat autour d'une épreuve comme le lancement d'un dé, amènera les élèves à la compréhension de la définition d'une probabilité. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) · Les élèves seront amenés à découvrir A la relation : PB = P( A Ç B) / P( B) selon laquelle la probabilité d'un événement A, sachant qu'un événement (possible)B est réalisé, est une fraction dont le dénominateur est la probabilité que B se réalise , et le numérateur , celle que les deux événements A et B se réalisent simultanément. CAPÍTULO I · Par des exercices simples, le professeur cherchera à faire découvrir la notion de la probabilité d'un événement , avec l'introduction d'une information supplémentaire qui vient restreindre l'univers des possibles. Thème: Variable aléatoire ou Alea numérique Competences · Définir une variable aléatoire ou aléa numérique · Connaître et savoir appliquer la loi de probabilité, d'un aléa numérique · Déterminer les caractéristiques d'une variable aléatoire Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Ÿ Variable aléatoire : · En analysant l'ensemble Ω des résultats 1- Définition et exemples du lancement de ou d'une pièce de monnaie, 2- loi de probabilité un certain nombre de fois, l'enseignant 3- Espérance mathématique amènera les élèves à comprendre qu'une n'est 4-Variance et Ecart-type d'une variable variable aléatoire application de Ω vers ℝ. aléatoire qu'une 3 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I 5- Fonction de répartition d'une variable · Il les invitera à proposer des exemples d'épreuves conduisant à envisager des aléatoire applications de Ω vers ℝ. 6- Diagramme en bâtons et histogramme. · Il ne manquera pas de les amener à comprendre que l'étude d'une variable aléatoire consiste à déterminer l'ensemble de ses valeurs possibles , déterminer et représenter sa loi de probabilité , définir et représenter sa fonction de répartition , calculer son espérance mathématique, sa variance et son écart-type. Thème: Série statistique double Competences · Comprendre la série statistique double · Maîtriser le tableau à double entrée. Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus · Rappels autour des notions : population, · Par une petite évaluation formative tenant lieu de diagnostic, l'enseignant caractère, moyenne et écart-type, au favorisera le rappel des notions déjà regard d'une série statistique simple étudiées antérieurement. · L'enseignant, à l'aide d'exemples, aidera · Notion de série 4 statistique double : Définition et présentation en tableaux les élèves à appréhender la définition (ou l'appellation) de série statistique double. Il ne manquera pas de faire découvrir ce que rappelle le qualificatif double. · Séries marginales d'une série double. L'élevé sera invité à traiter des exercices des ou il aura tableaux à double entrée. à dresser Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) de chacune des lignes et celle des effectifs de chacune des colonnes du tableau, l'élevé sera amené à appréhender et à déterminer les séries marginales d'une série double . Thème: Nuage de points Competences Contenus · Dessiner, interpréter le nuage de · Notion de nuage de points associés à un points associé à un couple (x, y) de couple (x, y) de caractères. caractères relatifs à une population. · Barycentre d'un nuage. · Déterminer le barycentre (ou point moyen) d'un nuage de points. · Inertie d'un nuage par rapport a un point. · Calculer l'inertie d'un nuage de points. Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage CAPÍTULO I Ÿ Par le calcul de la somme des effectifs · En considérant deux caractères X et Y relatifs à une même population E, le professeur amènera les élèves à construire dans un repère orthogonal, tous les points Mi de coordonnées (xi, yi ) associés au couple (x, y) de caractères qui vont former le nuage. Il ne lui sera pas difficile de les porter à comprendre que ce nuage de points a un barycentre dont les coordonnées ( X , Y ) sont les valeurs moyennes des caractères x et y. 5 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Ÿ En considérant un nuage de points du couple (x, y) et un point M quelconque de coordonnées (X,Y), le professeur pourra commencer par inviter les élèves à calculer l'écart de chacun des points Mi du nuage au point M (x,y), donné par le réel positif : d i2 = ( X i - X ) 2 + (Yi - Y ) 2 Par la suite, il pourra leur faire remarquer que l'invertie du nuage par rapport à M, noté Im et défini par le réel : Im = 1 n 1 n ( X i - X ) 2 + å (Yi - Y ) 2 å n i =1 n i =1 n'est autre que la moyenne des écarts respectifs des points Mi au point M. Thème: Ajustement et Corrélation linéaire Competences · Appréhender la notion linéaire (pour un nuage). 6 d'ajustement · Maîtriser une méthode de détermination d'une droite d'ajustement · Comprendre et qualifier la corrélation linéaire entres les caractères X et Y. Contenus ·Notion d'ajustement linéaire (relatif à un nuage) : Méthode de Mayer Covariance du couple (x, y) Droite de régression de y en x Droite de régression de x en y Calcul des coefficients des droites de régression Propriétés des droites de régressioncorrélation linéaire entre x et y : degré de cette corrélation. Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Le professeur pourra dessiner au tableau un nuage de points, demander aux élèves de le reproduire et de tracer une droite passant le plus près possible de ces points. Il leur sera permis de comprendre que l'ajustement linéaire n'est rien d'autre qu'une méthode de détermination d'une droite qui, sans passer par tous les points du nuage, puisque ceux-ci sont en général non alignés, passe « le plus près possible » de ces points. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) - L'étude des méthodes de détermination de l'équation de la droite d'ajustement. - Celle des droites de régression de x en y, puis de y en x - Le calcul des coefficients des droites de régression - Les propriétés régression. CAPÍTULO I Le professeur pourra, à ce moment, aborder sans grande difficulté : des droites de 7 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I 8 Nombres Complexes Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Competences · Approcher historiquement le nombre i 2 vérifiant i = –1 · Définir un nombre Complexe et établir l'ensemble ℂ des nombres complexes · Reconnaître et utiliser une forme algébrique d'un nombre complexe pour établir certaines définitions et propriétés Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus Approche historique du nombre i · Définition du nombre complexe notation · Identification des parties imaginaire réelle et et · L'écriture algébrique d'un nombre complexe · Définitions d'un complexe § réel § imaginaire pur Reconnaître l'égalité de deux nombres complexes § des nombres complexes conjugués · Le professeur puisera dans une encyclopédie ou dans un livre de mathématiques de classe terminale l'historique du nombre i qu'il distribuera aux élèves pour des commentaires. L'enseignant fera résoudre par les 4 élèves l'équation x – 16 = 0 dans ℂ. CAPÍTULO I Thème: Représentation de l'ensemble ℂ des nombres complexes Pour x2 = –4 il fera apparaître le nombre i2 = –1 et situera 2i et – 2i dans un sur-ensemble de ℂ appelé Corps des complexes noté (ℂ, +, *). En utilisant les mêmes règles de calcul 2 que dans ℂ et en remplaçant i par - 1 il fera montrer par les élèves que : (2 + i)3 = 2 + 11i et (2 – i)3 = 2 – 11i Il leur fera : ▪ à partir des écritures précédentes établir l'écriture générale d'un nombre complexe : z = x + iy 2 x Î ℝ et i = –1 § identifier les parties réelle et imaginaire de z. § observer que : Pour y = 0, z est réel, Pour x = 0 et y 0, z est un imaginaire pur. 9 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I · Le professeur fera reconnaître par les élèves l'écriture algébrique d'un nombre complexe et leur fera l'utiliser pour : ▪ définir le conjugué de z noté z ▪ établir les propriétés : Re( z ) = Re( z ) et Im( z ) = - Im( z ) Thème: Nombres complexes et points du plan Competences · Associer un nombre complexe point du plan Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus et un a) Définir les notions point- image, affixe, vecteur- image, plan complexe, l'axe des réels, l'axe des imaginaires d'un Le professeur fera représenter par les nombre complexe dans le plan muni d'un élèves le nombre z = 2 + 3i dans le plan, puis repère orthogonal direct. établir · Représentation géométrique · Définitions de : les nombres complexes z = x + iy et réciproquement. § point image d'un nombre A partir des représentations dans le plan, complexe complexe b) Interpréter géométriquement les images de Z et Z points M(x, y) du plan et entre les § affixe d'un point § vecteur- image d'un nombre 10 une correspondance il définira avec les élèves les notions de : ▪ affixe d'un point § plan complexe ▪ Point image d'un nombre complexe § l'axe des réels et imaginaires ▪ vecteur –image Interprétation géométrique des images ▪ plan complexe respectives d'un nombre complexe et de ▪ l'axe des réels son conjugué. ▪ l'axe des imaginaires Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) représenter dans le plan un point M(x, y) d'affixe z = x + iy et un point M1 d'affixe Z et leur fera observer et vérifier que M et M1 sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses (ou axe des réels). Le professeur proposera aux élèves des situations- problèmes appropriées qui leur permettront d'approfondir les notions. CAPÍTULO I Le professeur demandera aux élèves de Thème: Calculs dans ℂ Competences Ÿ Effectuer des opérations dans et les interpréter · géométriquement ℂ dans certains cas. Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Calcul de la somme, de la différence, du produit et du rapport de deux nombres complexes · Le professeur fera savoir par les élèves que les propriétés de l'addition et de la multiplication définies dans ℂ se prolongent dans ℂ et confère à ℂ une · Produit d'un complexe par un réel structure d'espace vectoriel réel. · Par des exercices appropriés, il fera calculer par les élèves la somme, le produit et le quotient de nombres complexes et traiter des exercices relatives à la structure d'espace vectoriel réel de (ℂ, +, *). 11 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: Module d'un nombre complexe Competences · Calculer le module d'un nombre complexe. Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus · Définition du module d'un nombre · Le professeur fera calculer par les élèves complexe le réel z×z nombre comme le module de z avec la · Déterminer et représenter dans le plan l'ensemble des points dont les affixes ont même module. · Calcul du module d'une somme, d'un notation z produit, d'un rapport de deux nombres Par des exercices appropriés, il leur fera complexes et d'une puissance d'un établir par conjecture les propriétés nombre complexe. relatives au module. · Enoncé des propriétés relatives a la 1) z + z ¢£ z + z ¢ somme, au produit, au rapport de deux 2) z × z ¢= z × z ¢ 3) z z = avec z ¢¹ 0 z¢ z¢ 4) zn = z 5) z = -z nombres complexes et à la d'un nombre complexe. puissance n Ÿ Le professeur 12 et leur fera définir ce proposera aux élèves des exercices leur permettant de maîtriser les compétences définies. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Competences · Résoudre dans ℂ des équations Contenus du premier degré à une inconnue. · Présentation du type d'équation du premier degré à une inconnue dans ℂ - Méthode de résolution Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage · Le professeur proposera aux élèves des équations de formes suivantes : 1) az + b = 0, avec a et b réels ou complexes, avec a ¹ 0 2) az + b z + c = 0, avec a, b et c sont des · Résoudre dans ℂ x ℂ des systèmes à deux équations du premier degré · Présentation du système à deux équations du premier degré dans ℂ x ℂ - Méthode de résolution réels ou complexes. CAPÍTULO I Thème: Equations dans ℂ 3) z + a = b, avec a Î ℝ et b Î ℝ+ et leur demandera de présenter dans le plan les points images de z. (cercle et médiatrice d'un segment) · Résoudre dans ℂ des équations de degrés 2 ou 3, à une inconnue, à coefficients réels. · Le professeur proposera aux élèves des · Présentation d'équations de degrés 2 ou 3 systèmes d'équations de type : à une inconnue à coefficients réels. ìaz + bz ¢= c et leur indiquera des méthodes - Méthode de résolution í îa¢z + b¢z ¢= c¢ de résolution dans ℂ x ℂ. Ÿ Le professeur fera résoudre par les élèves des équations de la forme : az 2 + bz + c = 0, a,b et c sont des réels et a¹0 3 2 Ou az + bz + cz + d = 0, a, b, c, d sont des réels et a ¹ 0 13 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: Racine carrée et Equations dans ℂ Competences · Calculer les racines carrées d'un nombre complexe. Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Définition de la racine carrée d'un nombre Le professeur fera calculer par les élèves 2 (2 + 3i) et en déduire que (2 + 3i) est une complexe racine carrée de –5 + 12i. Résolution d'équations du second degré à coefficients complexes Polynôme complexe de degré 3 Le professeur définira avec les élèves la racine carrée d'un nombre complexe et leur proposera une méthode de calcul. Z é r o d ' u n p o l y n ô m e c o m p l e x e , Le professeur proposera aux élèves un factorisation d'un polynôme complexe de polynôme complexe f(z) de degré 3 et il indiquera un zéro de ce polynôme (réel ou degré 3. complexe). Divisibilité par z – z0 Il demandera aux élèves de factoriser le polynôme f(z) et de résoudre l'équation Utilisation de l'algorithme de Georges f(z) = 0. Horner Thème: Argument formes : polaire, trigonométrique, exponentielle d'un nombre complexe non nul 14 Competences Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage · Argument d'un nombre complexe non nul Savoir : Ÿ Le professeur fera construire par les § définition · Définir et savoir déterminer § Calcul de l'argument d'un nombre élèves le point-image M(x, y) d'un nombre l'argument d'un nombre complexe complexe non nul, d'un produit ou complexe non nul z = x + i¢y dans un repère d'un quotient de deux nombres ortho normal direct (O; i, j ). non nul complexes non nuls ou d'une puissance d'un nombre complexe. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) · Déduire l'égalité de deux nombres complexes non nuls à partir de leur écriture trigonométrique. § Ecriture d'un produit ou d'un quotient de deux nombres complexes non nuls ou d'une puissance d'un nombre complexe non nul sous sa forme trigonométrique z = z (cos q + i sin q ) appelée écriture trigonométrique de z et [ ] l'écriture z = q , z appelée écriture polaire de z. Il fera comprendre par les élèves qu'un argument q de z appartient a une classe d'équivalence modulo 2p et leur fera CAPÍTULO I Il définira la mesure q de l'ange · Forme trigonométrique d'un nombre · Ecrire un nombre complexe non nul comme un argument de z. complexe non nul : sous sa forme trigonométrique. § Egalité de deux nombres complexes à Il fera démontrer par les élèves que: p a r t i r d e l e u r é c r i t u r e x = z cos q et y = z sin q trigonométrique et leur fera donner a z l'écriture calculer d'autres arguments de z avec k positif ou négatif dans k 2p et leur fera noter que : arg( z ) = q + k 2p Pour : z = z (cosq + i sin q ) et z¢= z¢(cosq ¢+ i sin q ¢), z Il fera écrire par les élèves z × z ¢et z¢ sous leur forme trigonométrique et leur fera déduire que : arg( z × z ¢) = arg( z ) + arg( z ¢) arg( z / z ¢) = arg( z ) - arg( z ¢) Dans le z = z ¢il fera déduire par les élèves que arg( z 2 ) = 2q et établir par conjecture pour zn tel que : arg( z n ) = nq , tel que n Îℕ* de l'égalité arg( z n ) = nq , le professeur fera établir par les élèves. (cos q + i sin q ) n = cos nq + i sin q . 15 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I · Savoir utiliser la notation exponentielle d'un nombre complexe · Définition de la forme exponentielle Le professeur définira pour les élèves la d'un nombre complexe non nul forme exponentielle d'un nombre complexe non nul. Par des exercices appropriés, il non nul fera rappeler par les élèves les règles de · Savoir utiliser des formules de Moivre et d'Euler calcul relatives aux exposants. · Rappels des règles de calcul relatives aux Il établira avec les élèves les formules de exposants Moivre et d'Euler : (eiq ) m = eimq · Interprétation géométrique de pour tout réel ,qet tout naturel n : æ Z - ZA ö ÷÷ A, B, C arg = çç C è ZB - Z A ø sont trois points du plan · Applications à la géométrie cos q = 1 iq 1 (e + e -iq ) et sin q = (e iq - e -iq ) 2 2i Il proposera aux élèves des exercices réclamant la connaissance de ces formules pour linéariser des polynômes trigonométriques. · Etablir la formule de Moivre et les formules d'Euler Thème: Racine niemes d'un nombre complexe Competences Ÿ Résoudre dans ℂ des équations de degré 16 Contenus iemes Ÿ Racines n d'un complexe non nul n (În ℂ) iemes d'un Ÿ Racines n de l'unité complexe non nul à partir des n racines niemes de l'unité. iemes Ÿ Déterminer les n racines n Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage L'élève résoudra des situationsproblèmes se rapportant aux racines niemes iemes d'un complexe non nul, aux racines n de l'unité. Il sera aussi amené à utiliser les racines iemes n de l'unité pour obtenir les n racines niemes d'un complexe non nul. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Arithmétique 17 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: Divisibilité dans ℤ* Competences Savoir : Contenus · Définition · Définir la relation de divisibilité · Multiples d'un entier · Enoncer les principales propriétés de la divisibilité · Diviseurs · Propriétés Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage 1) L'élève sera amené à résoudre des situations- problèmes lui permettant l a c o n s o l i d a t i o n e t l'approfondissement de la notion de * divisibilité dans ℤ 2) Pour démontrer que a est divisible par b, l'élève pourra employer l'une des méthodes suivantes : ▪ Utiliser les critères de divisibilité si b est l'un des nombres 2, 3, 4, 9,11 ou 25 ▪ Trouver k dans ℕ tel que a = kb · Démontrer qu'un entier a est divisible par un entier b ▪ Prouver que le reste de la division euclidienne de a par b est 0 ▪ Etablir que a º 0 (b). Thème: Nombres premiers 18 Competences Savoir : Ÿ Démontrer qu'un nombre est premier Ÿ Décomposer un entier Contenus Ÿ Définition Ÿ Existence d'une infinité de nombres premiers Ÿ Décomposition de tout entier naturel en produit de facteurs premiers Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage 1- L'élève traitera des situationsproblèmes en rapport avec les nombres premiers et la décomposition d'un entier naturel en produit de facteurs premiers. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) 2- Pour démontrer que n est premier, l'élève pourra utiliser l'une des méthodes suivantes : ▪ Effectuer les divisions euclidiennes de n par tous les entiers premiers inférieurs ou égaux à n et prouver qu'aucun des restes n'est nul. ▪ Raisonner par l'absurde pour prouver que n n'a pas de diviseur d vérifiant 1 < d £ n. Thème: Division euclidienne et Congruences Competences Savoir : Déterminer euclidienne Contenus Définition Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Pour déterminer le reste de la division euclidienne de a par b, le professeur proposera aux élèves des situations- Ÿ Théorèmes problèmes au cours desquelles, ils Ÿ Propriétés pourront : le reste de la division Ÿ Division euclidienne dans : * a) ℤ b) ℚ* ▪ Effectuer la division euclidienne ▪ Aussi utiliser les congruences modulo b 19 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: PGCD Competences Contenus Savoir : Ÿ Diviseurs Ÿ Déterminer les diviseurs communs naturels Ÿ Calculer communs a deux entiers L'élevé résoudra des situations- problèmes se rapportant le plus grand commun Ÿ Algorithme d'Euclide diviseur (PGCD) Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Ÿ Définition et théorème aux diviseurs communs à deux entiers naturels et l'algorithme d'Euclide. Ÿ Propriété fondamentale du PGCD Thème: Nombres premiers entre eux ou étrangers Competences Savoir : Contenus Ÿ Définition Ÿ Montrer que deux entiers relatifs Ÿ PGCD et nombres premiers entre eux non nuls sont premiers entre eux Théorème de Bézout et conséquence Ÿ Théorème de Gauss et conséquences Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Pour montrer, face à des situations- problèmes, que deux entiers relatifs non nuls sont premiers entre eux ou étrangers, l'élève pourra utiliser l'une des méthodes suivantes : ▪ Prouver que leur PGCD est égal à 1 ▪ Montrer que l'égalité de Bézout est 20 satisfaite ▪ Supposer qu'un entier non nul d les divise et prouver que d vaut 1 ou -1. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: PPCM Competences Contenus Ÿ Définition Savoir : Ÿ Déterminer le PPCM de 2 entiers relatifs L'élève utilisera : 1- a) Les décompositions en facteurs Ÿ Propriétés du PPCM non nuls Ÿ PPCM et PGCD Ÿ Trouver deux nombres Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage connaissant une relation entre eux, leur PGCD et/ou Ÿ PPCM et décomposition en facteurs leur PPCM premiers premiers de ces entiers : PPCM = produit de tous les facteurs premiers figurant dans ces décompositions, chacun d'eux étant affecté de son plus grand exposant b) la relation avec le PGCD : PGCD(a;b)*PPCM(a;b)=|a.b|. 2- Face a des situations-problèmes, étant donné deux nombres a et b, l'élève se ramènera à des nombres premiers entre eux a' et b', en posant a = Da et b = Db' avec D = PGCD(a;b) et utilisera la relation entre le PGCD et le PPCM.. 21 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I 22 Algèbre linéaire et Géométrie Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: Espace affine associé à un espace vectoriel réel- Espace euclidien Competences Ÿ Consolider et approfondir les notions de vecteurs de l'espace Ÿ Maîtriser et utiliser les notions de : norme, distance, orthogonalité, plan médiateur, cercle, sphère Ÿ Construire des graphiques dans l'espace Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage 1) Espace affine et ses propriétés, Ÿ Le professeur rappellera aux élèves les propriétés d'un espace affine à partir Bipoints – vecteurs de l'espace d'exercices portant sur une relation vectorielle appropriée. Il présentera les types de repère et fera des repérages 2) Repère et Coordonnées (dimension) Repère orthonormal : distance (norme), dans l'espace. L'élève traitera des orthogonalité, plan médiateur exercices se rapportant aux calculs de distance, équations de cercle, de sphère, de plan médiateur (à partir de distance, 3) Cercle, Points cocycliques, sphères, norme et produit scalaire), aux points graphique en dimension 3 cycliques ou non. Beaucoup d'activités graphiques (ou de construction) sont suggérées. Thème: Applications particulières dans le plan et dans l'espace : Transformation, Homothétie, Projection, Symétrie Competences Contenus Ÿ Maîtriser et utiliser les notions de : Translation translation, homothétie, projection et Homothétie symétrie (en calcul et en démonstration) ProjectionSymétrie (involution) Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Ÿ L'élève fera des activités leur permettant de maîtriser (par calcul ou par manipulation ou construction géométrique) les applications de l'espace telles les translations, les homothéties, les projections et les symétries. Le professeur proposera des exercices qui exigent la composition de ces types de transformations et montrera l'importance des isométries dans certains calculs de constructions géométriques à partir d'exemples appropriés. 23 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: Transformation particulière dans le plan et Nombres complexes Competences Contenus Ÿ Reconnaître un déplacement et un 1) Déplacement, antidéplacement Antidéplacement Ÿ Utiliser les complexes pour étudier les 2) Similitude plane : similitudes planes a) directe L'élève, à partir d'exemples concrets, découvrira comment associer une application du plan à une transformation complexe de type : z a z + u , z a ¶z (¶ réel ), z a az et z a az + b, z a a z + b. b) indirecte Thème: Barycentre Competences Ÿ Déterminer Contenus Ÿ Justifier l 'existence ou non du barycentre d'un système de points pondérés Ÿ Calculer ou construire ce barycentre (à partir des propriétés) Ÿ Utiliser le barycentre pour démontrer l'alignement de trois points ou le concours de droites Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage A partir d'exemples concrets (point massif, forces appliquées), l'enseignant fera comprendre aux élèves l'idée continue, dans les notions de points et de système de points pondérés. Il apprendra aux élèves comment définir ▪ Existence et propriétés la f.v.l ou la f.s.l associée à un système de ▪ Isobarycentre (centre de gravité ou points pondérés, et étudier de telles d'inertie) fonctions. ▪ Construction, calculs, repérage Il leur apprendra à justifier l'existence ou non du barycentre d'un système de 3) Utilisations : alignement de trois points points pondérés, à repérer ou à construire et concours de droites un tel barycentre (avec 2,3 ou 4 points pondérés à construire le centre de gravité ▪ Réduction de relation vectorielle en utilisant les propriétés de barycentre), à simplifier l'écriture de 4) Fonction scalaire de Leibniz certains types de relation vectorielle par introduction du barycentre. et étudier la f.v.l 1) Point pondéré- système de points associée à un système de points pondérés pondérés- fonction vectorielle de Leibniz associée à un système de points pondérés Ÿ Utiliser la f.v.l dans la transformation de certaines relations vectorielles 2) Barycentre: 24 Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) L'élève pourra alors identifier les transformations qui conservent le barycentre, faire des activités pour démontrer l'alignement de points ou concours de droites, le identifier déterminer, et calculer des lignes de niveaux : M a aMA2 + bMB 2 MA Ma MB Thème: Produit vectoriel (ou extérieur) Competences Ÿ Déterminer le produit vectoriel Contenus Produit vectoriel 1) Définition : Ÿ Calculer un vecteur dont on connaît le a) géométrique produit vectoriel avec un autre Ÿ Utiliser les produits Surfaces et volumes pour calculer b) Analytique 2) Propriétés- Alignement Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Ÿ Le professeur aidera l'élève à définir le produit vectoriel d'abord analytiquement puis géométriquement. Il introduira les propriétés du produit vectoriel par des exemples simples, il illustrera par des dessins le résultat (cas de vecteurs colinéaires). 3) 'Division vectorielle ' 4) Produit mixte : définition et propriétés Ÿ Le professeur proposera des activités au cours desquelles l'élève sera amené à Application : Aire triangle et volume d'un chercher un vecteur à partir de son produit avec un autre connu, à utiliser le produit parallélépipède mixte pour calculer certaines aires et certains volumes. 25 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Analyse 26 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: Fonction à variable réelle, Courbe d'une fonction Competences Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus Ÿ Déterminer le domaine de définition de · Domaine de définition · Courbe représentative fonction Ÿ Le professeur proposera des exercices tout type de fonction numérique du programme Ÿ Faire des lectures de données à partir de la représentation graphique d'une fonction et interpréter les propriétés d'une · Lecture graphique · Comparaison avec des graphiques de base d'une fonction à partir de sa courbe permettant aux élèves de poser des conditions pour trouver le domaine de définition d'une fonction. L'élève profitera de l'occasion pour consolider ses acquis des calculs dans ℝ. Il étudiera la parité et la périodicité de certaines fonctions (surtout les fonctions circulaires : Ÿ Etudier une fonction et la représenter · graphiquement Ÿ Construire la courbe d'une fonction a · partir de : courbes de base, déplacement, · translation ou changement de repère et la · Ÿ Savoir étudier la limite des fonctions · Ÿ Etudier la limite, la continuité dérivabilité d'une fonction composées · Propriétés d'une fonction interprétée x a cos ax, x a sin ax, x a tgax sur sa courbe L'élève saura comment étudier directement la parité ou la périodicité Fonction paire, impaire, périodique d'une fonction en combinant opérations et fonction paire, impaire, périodique Symétrie élémentaire. Effets d'une translation ou d'un changement de repère Le professeur apprendra aux élèves comment obtenir a partir de la courbe de f celles de : Limite d'une fonction (en un point ou à l'infini) x a f ( x), x a f (- x), x a f ( x) + a Limites particulières (fonctions x a f ( x) trigonométrique, logarithme et x a f ( x - a ) (fonctions associées à f). exponentielle) L'élève fera des activités portant sur la lecture graphique (courbe → valeur, fonction) et constatera les effets de translation ou de changement de repère. 27 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Ÿ Le professeur proposera aux élèves beaucoup d'exercices sur l'étude d'une fonction (simple) et les tracés de courbes. L'élève traitera des exercices de calcul pour asseoir les notions de limites en un point ou à l'infini ; en particulier les fonctions : xa sin x ln x ex ,xa ,xa etc. x x x Thème: Fonction à variable réelle, Courbe d'une fonction Competences · Etudier les branches infinies de la courbe d'une fonction Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage · Interprétation des limites sur la courbe Le professeur proposera aux élèves des représentative d'une fonction (Etudes exercices leur permettant de trouver des des branches infinies : -Asymptote asymptotes (verticale, horizontale, · Utiliser la continuité pour justifier l'existence des racines verticale oblique) et de préciser les directions - asymptote horizontale asymptotiques et asymptotes curvilignes. - direction asymptotique · 28 Trouver ces racines (ou son encadrement à une précision donnée) - asymptote oblique et branche L'élève sera amené à traiter des exercices parabolique lui permettant de consolider la notion de continuité (en un point ou sur un intervalle) · Continuité · et les opérations sur les fonctions Propriétés d'une fonction continue continues, d'étudier l'image d'un intervalle (en un point ou sur un intervalle) par une fonction continue, de trouver une · Dichotomie valeur approchée d'une racine d'une équation par dichotomie. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: Calcul différentiel Competences · Etudier la dérivabilité d'une fonction en un point, sur un intervalle. Contenus · · Fonction dérivable Propriété d'une fonction dérivable ü Dérivation ü Dérivée des fonctions usuelles · Notation différentielle de la dérivée ü Dérivées successives ü Dérivée fonction complexe ü Utilisation de la dérivée, étude du sens de variation : - Extremum (absolu ou local) - Tangence et point d'inflexion · Maîtriser la notation différentielle de la dérivée · Calculer la dérivée d'une fonction et les dérivées successives d'une fonction n fois dérivables · Savoir utiliser une dérivée · Savoir appliquer la dérivée à la résolution d'équations . · Dérivée et limites · Théorème de l'Hospital · Approximations numériques Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage · Le professeur proposera des exercices permettant aux élèves de consolider la notion de dérivabilité (en un point et sur un intervalle). L'élève sera amené à faire des calculs de dérivation se rapportant aux fonctions : produit, puissance, composée, sin, cos, tan, log, exp, et leurs composées. · Le professeur définira et apprendra aux élèves les dérivées successives d'une fonction simple : xa a æp ö avec a ¹ 0, x a cosç + x ÷ x +1 è2 ø æp ö x a sin ç + x ÷ è2 ø L'élève utilisera la dérivée première pour : sens de variation, extremum (sommet de la courbe) et tangente ; et la dérivée seconde pour point d'inflexion (son existence). · Le professeur indiquera l'implication entre dérivabilité et continuité. L'élève utilisera la dérivée et le théorème de l'Hospital pour calculer certaines limites (lever des indéterminations : æ ¥ , 0 ö ç ÷ è¥ 0ø et faire certaines approximations numériques. Il établira les catalogues des dérivées des fonctions usuelles. 29 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: Logarithmes et Exponentielle Competences · Définir, caractériser, et étudier les fonctions logarithmes et exponentielles · Savoir calculer une dérivée, une limite, et déterminer une primitive d'une fonction engageant logarithmes et exponentielles. · Comparer : puissance, logarithme et exponentielle - Etablir leur croissance · Résoudre des équations, des systèmes d'équation, des inéquations ou l'inconnue (ou les inconnues) est (sont) engagée(s). par des logarithmes ou des exponentielles Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus · Logarithme et exponentielle népériens - propriétés - courbes - étude · Logarithmes et exponentielles a base a (a > 0, a ≠0) - propriétés (généralisation) l o g ari t hm e s e t e x po ne nt i e l l e s népériens puis introduira les autres logarithmes et exponentielles à base en cherchant des fonctions dérivables f vérifiant f ( x + y ) = f ( x) × f ( y ) et f ( x × y ) = f ( x) + f ( y ), f ¹ 0 · Exponentielle et puissance : Croissances comparées · Fonctions composées engageant logarithmes et/ou exponentielles · Equations, inéquations, systèmes d'équation et d'inéquations où l'inconnue (les inconnues) est (sont) engagée (s) 30 · Le professeur aidera l'élève à définir · Par des logarithmes exponentielles ou des Il proposera aux élèves de faire des calculs numériques engageant logarithmes et exponentielles et soulignera leurs liens. · L'élève sera amené à résoudre des équations, des inéquations et des systèmes d'équations dont l'inconnue est engagée par logarithmes ou exponentielles. Les élèves feront des activités relatives aux calculs de limites de fonctions constituées de logarithmes ou exponentielles et calculeront des dérivées de ces types de fonctions. · Le professeur introduira la notion de croissance comparée entre puissance, logarithme et exponentielle (surtout pour les limites). L'apprenant fera beaucoup d'exercices sur l'étude et la courbe d'une fonction constituée de logarithme et exponentielle. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: Calcul intégral Competences · Reconnaître, justifier, prouver, démontrer qu'une fonction donnée est une primitive d'une autre -Justifier l'existence des primitives d'une fonction sur un intervalle · Utiliser les propriétés et les techniques de transformation pour intégrer certaines fonctions -Déterminer une primitive particulière à partir de conditions initiales · Reconnaître une fonction intégrable sur un intervalle donné · Calculer l'intégrale définie d'une fonction continue, d'une fonction en escalier ou affine par morceaux sur un segment · Intégrer par parties · Calculer la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage · Primitive 'd'une fonction : définition, · Proposant une fonction simple (affine par p r o p r i é t é s , e x i s t e n c e , p r i m i t i v e s exemple), le professeur demandera aux particulières, Notation élèves de trouver une fonction F dont la dérivée sur ℝ est f · Catalogues des primitives des fonctions usuelles et de quelques composées L'élève fera des exercices lui permettant de maîtriser les techniques · Intégrale définie d'une fonction continue de calcul des primitives de certaines fonctions (transformationsur un segment : décomposition- écriture. - définition - propriétés (relations de Charles), - valeur moyenne et théorème de la · Le professeur introduira l'intégrale moyenne définie d'une fonction continue sur un segment, f continue sur [a, b] donc admet des primitives et F(b) – F(a) est · Intégrale définie et encadrement indépendant de la primitive F choisie. - Fonction définie par une intégrale · Techniques d'intégration : Intégrations C'est l'intégrale de f sur [a, b]. L'élève sera amené à appliquer les par parties - changement de variable propriétés de l'intégrale définie (linéarité, relation de Charles), formule · L'intégrale définie et limite de la somme d'intégration par parties. Beaucoup des n premiers termes d'une suite (quand d'exercices permettront à l'élève de n ® ¥ ) l'intégrale définie maîtriser ces propriétés et apprendre à encadrer une intégrale. Le professeur, à l'aide d'encadrement, aidera l'élève à définir la valeur moyenne d'une fonction sur un segment et interprétera le théorème de la moyenne 31 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I · Le professeur généralisera la notion d'intégrale définie aux fonctions en escalier, affine par morceaux et fera alors l'interprétation géométrique de l'intégrale définie. Il montrera aux élèves comment l'intégrale définie est utilisée dans le calcul d'aire plane et de volume. · Appliquer l'intégrale définie aux calculs d'aires arithmétique et algébrique et aux calculs de volumes des solides de révolutions Ÿ Interprétation géométrique de Ÿ Le professeur proposera des l'intégrale définie d'une fonction exercices au cours desquels l'élève fera continue sur un segment et application de des activités relatives aux calculs l'intégrale définie aux calculs d'aires. d'intégrale définie en utilisant les techniques d'intégration, intégration par · Etudier le signe d'une intégrale - Encadrer une intégrale définie · Déterminer et étudier une fonction définie par une intégrale 32 · Utiliser l'intégrale définie pour calculer (ou obtenir) la limite de certaines suites réelles parties : x ® ln x, x ® P( x) ln ax, x ® P( x)e ax x ® e e sin ax, x ® e x cos ax etc.. A partir d'exercices simples, l'élève apprendra à utiliser une intégrale définie connue pour calculer la limite d'une suite. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: Equations différentielles Competences · · Maîtriser le vocabulaire et les notions utilisées en équations différentielles Résoudre une équation différentielle de l'un des types suivants : a) f ¢= u (u fonction donnée) · Le professeur introduira le cours par une situation- problème dont l'interprétation débouchera sur une relation simple entre une fonction f et sa dérivée f'. Il s'agira alors de trouver f. · Equation différentielle - Définition - Généralités - Notations et terminologie · Equations différentielles simples : de premier ordre : méthode b) f ¢= af (a réel donné) et f ¢= af + b d'intégration et courbe générale, c) f ¢= u solution particulière, solution générale, conditions initiales · Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus Utiliser l'équation caractéristique et solution particulière dans la résolution d'une équation différentielle du second ordre · Le professeur définira la notion d'équation différentielle, l'illustrera par des exemples simples, mettra l'accent sur les notations et la terminologie utilisées. · L'enseignant demandera aux apprenants de résoudre les équations différentielles suivantes : a) y¢= 2 x + e x - 3 ln x b) f ¢= 3 f c) dy = (2 y + 5)dx d) y¢¢= 18 x + 6 e) f ¢¢- 5 f ¢+ 6 f = 0 f) y¢¢+ 4 y¢+ 4 y = 0 g ) y¢¢+ 6 y¢+ 10 y = 0 d2y dy - 3 + 2 y = 2x +1 2 dx dx i ) f ¢¢( x) + 4 f ¢( x) + 8 f ( x) = cos 2 x h) Ÿ Le professeur proposera aux élèves des équations différentielles simples au cours desquelles il demandera de trouver des solutions particulières. L'élève sera amené à interpréter certains problèmes scientifiques concrets débouchant sur des équations différentielles. 33 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Suites réelles 34 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: Suites Numériques Competences · Etudier une suite réelle · Montrer que deux suites infinies sont adjacentes · Utiliser la démonstration par récurrence pour établir certaines * propriétés dans ℕ ou ℕ · Savoir calculer la limite d'une suite par encadrement · Établir la convergence d'une suite avec l'inégalité des accroissements finis Contenus Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage · Suite réelle: · Le professeur demandera à un groupe - Generali tes d'élèves (un par un) de reprendre - Définition définition d'une suite pour consolider et - Indice illustrer les notions d'indice, d'ensemble - Ensemble des indices d'indice, de terme général. la - Terme général - Notation L'élève -Rang d'un terme calcul de termes, à la détermination - Mode de définition d'ensemble des indices, du rang d'un - Représentation graphique terme donne. Il apprendra à justifier si - Suite logique de nombres une suite est finie ou non (Ex : · Suite finie, suite infinie · Suite constante -suite stationnaire - Suite périodique - Suite majorée, minorée, bornée - suite alternée · · Monotonie d'une suite (suite croissante (large ou stricte), suite décroissante), Suite monotone Nature d'une suite : limite d'une suite infinie et opérations sur les limites, suite convergente, suite divergente. fera des exercices relatifs au U : n ® U n = 9 - n 2 , à représenter graphiquement une suite réelle. Il apprendra à compléter une suite logique par un ou quelques termes (Ex : 1, 10,13,….. et 3, 9,27..). Il fera des exercices permettant de montrer qu'une suite est constante, majorée, minorée, bornée, périodique (en déterminant la période fondamentale), stationnaire. . Le professeur fera remarquer (à partir d'exemples) qu'une suite stationnaire n'est pas nécessairement constante. 35 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Ÿ L'élève apprendra à vérifier qu'une suite est alternée. Le professeur définira la notion de suite extraite en montrant l'importance dans l'étude des suites. Le professeur proposera des exercices permettant de consolider la pratique d'étude de la monotonie d'une suite. Il fera remarquer que toute suite croissante est minorée par son premier terme et, majorée par son dernier terme si elle est décroissante. . · Limites particulières, critères de convergence (ou de divergence) d'une suite, comparaison, utilisation des fonctions · Démonstration par récurrence et conjecture · L'élève fera des activités relatives aux calculs de limite d'une suite. Il étudiera la nature (convergence ou divergence) d'une suite, utilisera des critères et des comparaisons pour établir la nature d'une suite (suite infinie croissante et majorée ou bien décroissante et minorée, critères des gendarmes), mettra en œuvre les limites particulières : 1 sin n ln n , , ect.. n n n · Le professeur apprendra aux élèves à utiliser une fonction pour étudier la monotonie et la nature d'une suite. 36 · Le professeur apprendra aux élèves la démonstration par récurrence, son utilisation pour démontrer certaines propriétés des suites récurrentes (à partir d'exercices). L'élève fera des exercices lui permettant de passer de la définition par récurrence à la définition explicite d'une suite. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) Thème: Suites arithmétiques Competences Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage Contenus Savoir : · Définir · Démontrer qu'une suite est une Suite arithmétique : suite arithmétique - Définition · · Le professeur demandera à un groupe d'élèves (un par un) de reprendre la définition de suite arithmétique, Etudier et déterminer une suite - Propriétés (expression du terme arithmétique général) - Insertions de moyens différentiels consécutifs - Sommes particulières du premier terme et de la raison d'une suite arithmétique, à calculer l'expression - Monotonie et nature - Expression de la somme des apprendra aux élèves à déterminer à partir termes de son terme général, à calculer terme et raison à partir des propriétés spécifiques. L'élève fera des exercices portant sur l'étude de la monotonie et de la nature d'une suite arithmétique par sa raison. · L'élève fera des exercices comme : insérer 10 moyens différentiels entre 7 et 29. Il apprendra à calculer la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique. Il apprendra à exploiter l'expression de la somme des n premiers termes. 37 Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) CAPÍTULO I Thème: Suites géométriques Competences Savoir : · Montrer qu'une suite infinie est une suite géométrique · · Contenus · Suite géométrique -Définition - Détermination Etudier et déterminer une suite géométrique - Propriétés Etudier la monotonie et la convergence d'une suite géométrique - Monotonie et nature (limites de suites - Expression du terme général géométriques particulières) Suggestions d'activités Enseignement/Apprentissage · Le professeur demandera a un groupe d'élèves (un par un) de reprendre la définition de suite géométrique. Il établira ses propriétés, apprendra aux élèves à utiliser ces propriétés pour calculer terme et raison, exprimer le terme général, montrer qu'une suite est géométrique, insérer des moyens proportionnels entre deux réels. - Expressions de la somme de n termes consécutifs (cas de n premiers termes quand n devient infiniment grand) 38 · Le professeur proposera aux élèves des exercices leur permettant de : étudier la monotonie et la nature d'une suite géométrique, identifier la condition de convergence d'une suite géométrique, calculer la somme des consécutifs d'une suite géométrique, étudier le comportement de cette somme quand n ® ¥ établir la condition de sa convergence. · Le professeur montrera aux élèves qu'ne suite est géométrique à partir de la somme de ses n premiers termes. · Le professeur proposera des problèmes simples débouchant sur l'utilisation des suites géométriques. Programme à compétences minimales Mathématiques (SMP & SVT) GRILLE DE PROGRESSION INDICATIVE T1 D é c e m b r e 1 8 h r s 1 8 j r s J a n v ie r 2 4 2 3 F é v r ie r 1 2 1 4 M a r s 2 4 2 6 A v r il 1 2 1 4 m 2 4 2 4 1 2 1 1 1 2 8 1 3 0 a i J u in S o u -ts o t a l T2 Nombre d'h / module A r it h m é t iq u e 8 S u it e 1 2 r é e lle A lg è b r e e t c o m p l e x 1e4 A n a ly s e e t é q u a t i o n4 8 d if f é r e n t ie lle s A lg è b r e lin é a ir e e t 1 8 g é o m é t r ie P r o b a b ilit é 1 5 S t a t is t iq u e 1 3 S o u-t s o t a l 1 2 8 6h/semaine sur environ 19 semaines Mois et nombre de jours de classe en moyenne 39