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Programmes de L’ENSEIGNEMENT SECONDAIRE MINISTÈRE DE L’ÉDUCATION NATIONALE ET DE LA FORMATION PROFESSIONNELLE (MENFP) Version définitive–24juillet 2024 2 PRÉAMBULE Mots du Ministre Très Chers Compatriotes, Aujourd'hui, en tant que Ministre de l’Éducation Nationale et de la Formation Professionnelle, j’éprouve une grande joie et me sens aussi habité par un sentiment de grande responsabilité en m'adressant à vous, pour annoncer la mise en circulation des programmes remaniés du secondaire. Au cours des dernières années, des efforts considérables ont été déployés pour réviser et actualiser les programmes scolaires du secondaire. Une initiative qui marque une étape significative dans la quête d'un système éducatif inclusif et de qualité en Haïti. Alors que la rentrée scolaire vient d’avoir lieu, j’ai pris la décision d'autoriser l'utilisation de ces programmes remaniés du secondaire haïtien. Cette démarche traduit non seulement ma volonté en tant que Ministre de l’Education en exe rcice, mais aussi celle du gouvernement de rendre l'éducation, et une éducation de qualité, accessible à tous, alors que les défis socio-économiques demeurent prégnants. Les programmes qui ont été révisés visent à répondre aux besoins actuels de notre société, en intégrant des compétences essentielles qui préparent nos jeunes à devenir des citoyens responsables et engagés. À mes yeux, l’éducation ne doit pas être un privilège, mais un droit fondamental pour chaque Haïtien et Haïtienne. En rendant ces programmes disponibles, je souhaite encourager l'apprentissage autonome, soutenir les familles et les communautés et promouvoir une éducation tout au long de la vie. L’Éducation est un pilier du développement durable et un vecteur de changement social. Voilà pourquoi, j’invite les parents, les éducateurs et tous les acteurs de la société à s'approprier ces ressources, à les adapter à leurs contextes respectifs et à les utiliser dans le but d’enrichir l'expérience de nos jeunes. Je tiens à remercier tous ceux qui ont contribué à l'élaboration de ces programmes, particulièrement l’Agence Française de Développement (AFD) à travers le projet NECTAR, ainsi que les partenaires qui soutiennent le Ministère dans cette noble mission. Mes remerciements spéciaux vont aux valeureux et dévoués concepteurs haïtiens et étrangers qui ont utilement élaboré, révisé et remanié ces programmes. Je salue aussi l’engagement de la Coordination du Pôle Enseignement et Qualité (CGPEQ), la détermination exemplaire de la Direction de l’Enseignement Secondaire (DES) et la collaboration de l’UTICE. Que ces programmes contribuent à la transformation sociale tant souhaitée et longuement attendue par notre chère patrie ! Augustin ANTOINE Ministre de l'Éducation Nationale et de la Formation Professionnelle 3 Table des matières PRESENTATION Pourquoi ces programmes ? 5 L’enseignement secondaire 6 Sa place dans le curriculum haïtien 6 Ce qui est attendu des élèves à la sortie du secondaire 7 Une volonté de changement 14 Une conception de la classe centrée sur l’élève 14 Une notion essentielle : celle de compétence 14 Une exigence : l’évaluation 15 Des attentes fortes 16 Lire et mettre en œuvre les programmes 18 Leur fonction 19 Comment sont conçus les programmes ? 20 Les domaines – Les disciplines 20 Les parcours – Les horaires 21 Mettre en œuvre les programmes 23 La nécessité d’une coopération entre enseignants 24 Domaine des mathématiques et des sciences expérimentales 25 MATHÉMATIQUES 25 4 PRESENTATION POURQUOI CES PROGRAMMES ? Le Ministère de l’Éducation Nationale et de la Formation Professionnelle (MENFP) a entrepris depuis plusieurs années une vaste rénovation du système éducatif afin d’assurer la pleine réussite de tous les jeunes Haïtiens et de toutes les jeunes Haïtiennes, de répondre aux défis du XXIe siècle et de contribuer au progrès de notre pays. Dans le prolongement de la réforme initiée par le ministre Joseph C. Bernard dès 1982, une évolution profonde de l’École haïtienne a été engagée avec la volonté de favoriser une pédagogie inclusive et mobilisatrice, centrée sur les activités de l’élève et privilégiant une éducation multilingue. Dans cette perspective, le Ministère conduit une révision de l’ensemble des programmes officiels afin d’assurer leur continuité et leur cohérence. Dans ce contexte, un texte d’orientation a été élaboré : le « Cadre d’Orientation Curriculaire pour le système éducatif haïtien ». Ce document rassemble les grandes orientations du système éducatif à partir de quelques questions fondamentales : quelle formation ? pour quel citoyen ? pour quelle société ? quelles valeurs ? Il définit les lignes directrices qui permettront d’écrire les programmes au service des finalités communes et, à travers ceux-ci, les apprentissages qui seront conduits par les élèves. Le « Cadre d’Orientation Curriculaire » ne détermine pas seulement le contenu et la forme des programmes, mais il précise aussi les modalités de leur mise en œuvre et de l’évaluation des élèves, et plus largement, ce qui est attendu des enseignants et de ceux qui ont pour mission de les former. Tous les enseignants et les autres acteurs du système éducatif sont invités à prendre connaissance de ce document. La refonte du curriculum haïtien a d’abord porté sur le 3e cycle de l’enseignement fondamental dont les programmes sont désormais rénovés. Il s’agit aujourd’hui d’étendre progressivement cette révision aux autres cycles et, en particulier, au secondaire. L’enseignement secondaire avaitdéjà fait l’objet d’une réforme d’ampleur au cours des dernières décennies avec la réorganisation du cursus scolaire et le transfert des 7e, 8e et 9e années dans les écoles fondamentales. Néanmoins, il s’imposait de revoir les programmes du « Nouveau Secondaire » pour les mettre en cohérence avec les nouvelles ambitions de notre système éducatif, prendre en compte l’évolution scientifique et technologique et consolider la continuité avec l’enseignement dispensé dans les écoles fondamentales. Ces programmes seront complétés par ceux des enseignements spécifiques à la voie technologique au fur et à mesure du développement de cette voie. 5 L’enseignement secondaire C e Sa place dans le curriculum haïtien q u À la sortiei de l’école fondamentale, les élèves accèdent à l’enseignement secondaire en poursuivant leur formation, soit dans la voie générale ou technologique, soit dans la voie professionnelle. L’enseignement secondaire général ou technologique scolarise les élèves sur une durée de quatre ans et les prépare à la poursuite d’études supérieures universitaires ou professionnalisantes. Il est e sanctionnés par un diplôme, le baccalauréat. Les élèves de la voie générale suivent un tronc commun de deux ans, puis choisissent une série tpour les deux dernières années. Les séries proposées aujourd’hui sont : « Mathématiques et physique », « Sciences de la vie et de la Terre », « Sciences économiques et sociales » et « Lettres, langues et arts ». Désormais, la voie technologique est également ouverte etaprogressivement plusieurs séries seront mises en place avec une option possible dès la 2e année. Si l’éducation secondaire permet t d’opter pour une « série » privilégiant un domaine particulier, elle se situe dans la continuité de l’éducation fondamentale et poursuit t l’acquisition des compétences qui permettent à chacun et à chacune de s’insérer harmonieusement dans la société et de développer e toutes ses potentialités. n d u d e s é l è v e s à l a 6 Ce qui est attendu des élèves à la sortie du secondaire C e Le cadre d’orientation curriculaire décrit très précisément ce qui doit être acquis par les jeunes Haïtiens et par les jeunes Haïtiennes à la fin du qsecondaire. Il présente les compétences qui leur seront nécessaires pour engager leurs études supérieures ou s’insérer dans le mondeuprofessionnel et qui composent le profil de l’élève à la sortie de l’enseignement secondaire (ce qu’on appelle le « profil de sortie »). i Ces compétences sont au nombre de sept : e Communiquer de manière efficace dans toutes les situations de sa formation, s de sa vie sociale et de l’exercice de son métier t  En français et en créole, il peut exprimer sa pensée et développer un raisonnement construit et argumenté, participer à un a débat ou faire un exposé. Il peut produire un écrit clair, correct et organisé sur un sujet complexe. Il pratique la lecture t d’œuvres littéraires ou philosophiques. t  Il dispose des ressources linguistiques nécessaires pour suivre des enseignements de niveau universitaire ou une formation e professionnelle. n  Il adapte son mode de communication et son registre de langue à toutes les situations de la vie professionnelle, familiale, d associative ou politique. u  Il peut utiliser l’anglais ou l’espagnol dans la plupart des situations de la vie quotidienne ou pour établir des relations dans un d contexte professionnel. Il accède à des informations produites dans ces deux langues. Il est ouvert à la culture des pays voisins anglophones et hispanophones et lit sans difficulté des textes narratifs ou informatifs écrits dans l’une et l’autre. e  Il ss’engage dans l’apprentissage d’une autre langue de communication internationale.  Il communique sans difficulté avec les outils numériques. é l S’approprier les méthodes et outils nécessaires pour penser, apprendre et travailler de manière autonome è  Il vutilise les méthodes et outils acquis dans l’ensemble des disciplines pour traiter des problèmes complexes dans des situations nouvelles. e  Il sest initié aux démarches scientifiques. Il dispose des outils mathématiques nécessaires pour traiter les données, construire son raisonnement, représenter les faits et les objets, modéliser les solutions, optimiser ses choix ou encore évaluer son action. à l a 7      Il dispose des ressources nécessaires pour développer sa réflexion et l’exposer dans un écrit structuré ou dans une intervention orale claire et argumentée. Il sait accéder efficacement aux informations dont il a besoin, il sélectionne les plus pertinentes et les plus fiables et les exploite, avec un recul critique, dans toutes ses activités. Il maîtrise les principes de l’informatique et de la programmation. Il choisit et utilise efficacement les applications qui lui sont nécessaires. Il prend en compte les exigences d’un usage responsable et sécurisé du numérique et la nécessité de protéger les données personnelles. Il est autonome dans son travail personnel. Il gère et programme ses activités. Il organise ses notes et sa documentation. Exercer activement sa citoyenneté en s’appuyant sur une connaissance et une compréhension de la société ouverte au monde et à son histoire     Il resitue dans le contexte mondial son approche géographique, politique, économique et historique de la société haïtienne. Il est conscient des défis auxquels sont confrontées les sociétés aujourd’hui : la dégradation de l’environnement, les fléaux sanitaires, les trafics de drogue, la violence, le terrorisme. Il les prend en compte dans ses engagements au service de la collectivité et fait preuve de résilience. Il comprend la justification et l’enjeu des valeurs cardinales de la société haïtienne : le respect, la solidarité, la tolérance, l’honnêteté et l’équité, ainsi que les principes de l’inclusion. Il les porte et les défend. Il s’oppose à toute forme de discrimination, qu’elle soit fondée sur le genre, l’origine, la culture, la religion, la langue ou le handicap. Il connaît les principes du droit et le fonctionnement des institutions. Il coopère et s’insère efficacement dans le travail collectif. Il peut animer une équipe et conduire un projet collaboratif. Il exerce pleinement sa responsabilité de citoyen et contribue au progrès de la démocratie. Il est prêt à assumer une responsabilité familiale et parentale dans le respect de chacun. Il joue un rôle actif dans sa communauté. Étendre ses connaissances scientifiques et les mettre au service de son engagement pour un développement durable  Il relie et exploite les connaissances construites dans chaque discipline pour comprendre, avec une approche scientifique, l’environnement et les enjeux du développement durable. 8    Curieux et ouvert aux progrès de la recherche, il se constitue une culture scientifique. Il utilise les outils numériques pour répondre à ses interrogations, explorer des nouveaux champs de connaissance, remettre en cause ses modèles et ses préjugés. Il appuie ses démarches sur les concepts et les modes de raisonnement acquis à travers la réflexion philosophique. Il est prêt à s’impliquer dans une activité pour protéger l’environnement et prendre l’initiative de projets en faveur du développement. Il a acquis les compétences nécessaires pour participer à la prévention des risques naturels et pour porter les premiers secours. Concevoir, planifier et réaliser un projet innovant    Dans tous les champs de son activité d’étudiant ou de citoyen impliqué, il manifeste sa créativité, il propose des solutions innovantes, il s’adapte aux situations nouvelles, il anticipe. Il a l’envie d’entreprendre et est informé des démarches de l’entrepreneuriat. Il prend l’initiative de projets individuels et collectifs. Il sait en définir l’objectif, en évaluer la pertinence et la faisabilité, en planifier les étapes, en assurer la réalisation, surmonter les obstacles rencontrés et dresser le bilan de son action. Il met en œuvre sa créativité dans des productions artistiques ou littéraires, dans des démarches d’investigation, dans l’utilisation du numérique pour concevoir, programmer ou simuler, dans la construction de sa pensée philosophique, politique ou économique. Affirmer toutes les dimensions de sa personnalité    Il conduit une réflexion personnelle sur la vie, sur ses attentes, sur sa place parmi les autres, sur ses responsabilités. Il exprime et justifie ses idées tout en respectant celles des autres. Il se prépare à prendre les décisions qui vont engager son existence et en assumer les conséquences. Il a le souci de développer et d’exploiter pleinement toutes ses potentialités intellectuelles, physiques, relationnelles, artistiques, sociales. Il prend en charge l’équilibre de sa vie quotidienne et décide de l’emploi de son temps libre. Il attache de l’importance à sa vie physique et s’investit dans les activités sportives. Il est attentif à son hygiène et à sa santé. Il est engagé dans la prévention des toxicomanies et dans les grandes causes sanitaires. Il se construit une culture personnelle ouverte à tous les champs de l’activité humaine. Il pratique la lecture avec plaisir et développe sa connaissance et son expérience des arts en affirmant ses goûts et ses choix esthétiques. 9 Préparer et engager les orientations de sa formation et sa vie professionnelle    Il connaît le contexte économique de son pays, les secteurs d’activité à développer et les principes de l’entrepreneuriat. Il situe, dans ce cadre, les métiers qui l’intéressent. Il a vécu une première expérience du monde du travail. Il s’informe sur les conditions d’accès à ces métiers, sur les possibilités d’emploi ou de création d’activité et sur le parcours de formation nécessaire. Il prend en compte ses aptitudes, ses goûts et ses attentes, mais aussi les contraintes du contexte pour décider de sa voie de formation. Il tire profit de l’expérience acquise dans la série qu’il a choisie en fin de 11e année pour confirmer ou modifier ses choix initiaux. Les programmes sont conçus en fonction de ces compétences qui constitueront la référence de l’évaluation finale du parcours des élèves. Chaque enseignant doit donc organiser son travail et les apprentissages conduits dans sa discipline en fonction de ces compétences et suivre la progression de chacun de ses élèves dans leur acquisition. Pour cela, il doit aussi prendre en compte les acquis de ses élèves à l’entrée du secondaire par rapport à ces mêmes compétences. Afin d’aider l’enseignant dans cette démarche, on peut rappeler ce qui est attendu des élèves au terme de l’éducation fondamentale : A. Communiquer avec aisance dans toutes les situations du quotidien et de ses activités d’élève - Il dispose de compétences linguistiques en créole, en français ainsi qu’en anglais et/ou en espagnol qui lui permettent de communiquer avec aisance, à l’oral comme à l’écrit, en assumant un multilinguisme fonctionnel. Dans chacune des langues, il comprend les propos de tous ses interlocuteurs et s’exprime de façon claire et bien structurée, y compris sur des sujets complexes, sans hésitation ni confusion. Il rédige et expose sans difficulté, pour informer, raconter, décrire, expliquer et argumenter. Il pratique avec plaisir la lecture et comprend des textes longs à caractère littéraire ou documentaire. - Il s’adapte aux situations courantes rencontrées dans sa vie personnelle, sociale et scolaire, en choisissant les modes de communication appropriés. En fonction du contexte, il utilise la langue la plus favorable à la compréhension mutuelle. Il écoute et prend en compte le point de vue de ses interlocuteurs. Il a conscience de l’importance de la communication non verbale. - Il dispose des ressources linguistiques nécessaires pour poursuivre son parcours d’apprentissage dans l’enseignement secondaire général, technologique ou professionnel. Dans toutes les disciplines, il comprend sans effort les consignes et les informations apportées par son enseignant. Il a acquis le vocabulaire spécifique et les structures grammaticales indispensables pour accéder aux méthodes et modes de raisonnement propres à chaque discipline. 10 - Il a engagé l’apprentissage des deux autres langues de la région, l’anglais et l’espagnol, en s’appuyant sur les acquis construits en français et en créole. Dans chacune des deux langues, il comprend et produit des messages simples en utilisant le vocabulaire courant. Il peut participer à une conversation de la vie quotidienne sur des sujets concrets. - Il utilise, de manière pertinente, les outils numériques pour communiquer. Il est informé des limites et des règles de leur usage. Il est initié aux principes de l’informatique et du codage. B. Utiliser les modes de raisonnement, les méthodes et les outils appropriés pour traiter efficacement les problèmes posés dans la vie courante et dans les situations d’apprentissage auxquelles l’élève est confronté - Dans les situations de la vie courante, il sait identifier et formuler un problème, engager une démarche de résolution, mobiliser les ressources nécessaires, concevoir des solutions, les mettre à l’essai, les valider. Il exploite ses ressources linguistiques pour décrire, analyser, expliquer, formuler des hypothèses, argumenter et exposer ses conclusions. Il utilise les outils propres aux mathématiques et aux disciplines scientifiques, entre autres, pour effectuer des calculs, représenter des objets, des faits ou des expériences ou pour modéliser des situations. - Il réinvestit ces techniques et méthodes dans toutes les disciplines, y compris pour traiter des situations imaginées ou représentées. - Il planifie et organise son travail personnel. Il se constitue ses propres outils : prise de notes, brouillons, fiches, lexiques, schémas, tableaux. Il les utilise pour s’entraîner, réviser et mémoriser. Il accède à une certaine autonomie. - Il cherche les informations qui lui sont nécessaires, les sélectionne en faisant preuve d’esprit critique et les exploite dans son activité scolaire et personnelle. Il lit et interprète sans difficulté les cartes, les plans, les schémas, les diagrammes et les tableaux de données. - Il sait utiliser les applications numériques dans ses activités pour accéder à l’information, produire des textes et des images, regrouper et traiter des données, travailler en coopération avec les autres élèves. Il est initié à l’algorithmique. C. Se situer dans la société et agir en citoyen responsable - Il dispose d’une bonne connaissance du territoire où il vit et de la géographie d’Haïti. Il est en mesure de mettre sa compréhension de la société haïtienne, de son histoire et des défis auxquels celle-ci est confrontée, au service de sa participation active à la vie et au développement de sa communauté et de son pays. - Il a construit les repères nécessaires pour resituer les réalités haïtiennes dans le contexte régional et mondial. - Il est initié à tous les aspects de la culture et du patrimoine de son pays tout en s’ouvrant, avec curiosité, au monde extérieur, 11 notamment, à l’espace régional. Il s’implique dans une pratique culturelle. - Il connaît et met en œuvre, dans la vie scolaire et dans sa vie personnelle, les valeurs fondamentales de la société haïtienne : le respect, la solidarité, la tolérance, l’honnêteté et l’équité, ainsi que les principes de l’inclusion. Il connaît les principes du droit humain et la justification des règles de vie collective qu’il pratique et défend. Il est attentif aux droits des autres élèves. Il coopère avec eux et établit des relations confiantes et respectueuses. - Il est prêt à exercer pleinement sa responsabilité de citoyen dans le respect de la démocratie et avec la distance critique nécessaire. Il participe activement à la vie de la communauté. D. S’impliquer activement dans l’étude de son environnement et dans sa protection - Il met en œuvre les principes d’une démarche d’investigation pour explorer et comprendre son environnement. Il observe son milieu de vie, il questionne, formule des hypothèses, expérimente, exploite les résultats, dégage des conclusions et les expose. Il dispose de connaissances sur le corps humain, sur le monde vivant, sur la Terre, sur la structure de l’univers, sur la matière et sur l’énergie. Il les mobilise et les met en relation pour comprendre les principaux problèmes posés par son environnement. - Il utilise efficacement ses connaissances et le recours à des ressources externes pour adapter ses activités au respect de l’environnement. Il prend conscience de l’impact de l’activité humaine sur celui-ci et l’enjeu d’un comportement responsable. Il est prêt à assumer sa responsabilité vis-à-vis de l’environnement et à contribuer à sa protection. - Il connaît les risques naturels qui menacent le territoire où il vit. Il est initié à leur prévention. Il sait quel comportement adopter face aux situations graves liées à ces risques et fait preuve de résilience. E. Concevoir et réaliser un projet en mobilisant sa créativité et son sens de l’innovation - Il prend des initiatives, entreprend et met en œuvre des projets. Il en planifie les tâches, en fixe les étapes et évalue les résultats obtenus. Il est aussi en mesure d’assumer une responsabilité dans un projet collectif. Il travaille en équipe et coopère de manière constructive. - Il met en œuvre sa créativité à travers l’expression artistique ou littéraire, la conception technologique et l’initiation à la recherche scientifique. Il imagine, conçoit et réalise des productions de natures diverses en mobilisant des techniques de création, mais aussi ses connaissances, son imagination et son habileté corporelle. - Il s’est initié aux activités productives avec l’envie d’entreprendre et d’innover. Il observe avec curiosité les activités humaines qui l’entourent. Il est en mesure de les décrire et de les mettre en relation. Il s’interroge sur le fonctionnement des objets qu’il utilise au quotidien, sur les besoins auxquels ils répondent et sur les modalités de leur production. Il peut concevoir et réaliser certains de ces objets en mettant en œuvre une démarche technologique. 12 F. Développer harmonieusement toutes les dimensions de sa personnalité - Il est conscient de la nécessité d’un bon équilibre de sa vie personnelle et de la nécessité d’exploiter pleinement ses facultés intellectuelles, physiques et affectives, en ayant confiance en sa capacité à progresser. Il dispose des ressources nécessaires pour conduire une réflexion sur ses choix de vie. - Il est attentif à sa vie physique et il pratique régulièrement un sport. Il s’investit dans les activités sportives. Il a le sens de l’effort et la volonté de progresser dans ses gestes ou ses performances. - Il a acquis des habitudes d’hygiène et connaît les principes de base d’une bonne santé. Il est conscient des enjeux d’un mode de vie équilibré. Il est informé des risques sanitaires et il adapte son comportement à la prévention des épidémies. - Il développe sa sensibilité et son sens esthétique à travers la fréquentation des œuvres artistiques et la pratique de la lecture. Il évoque ses sentiments et ses émotions en utilisant un vocabulaire précis et adapté. Il exprime ses goûts et peut les expliquer ou les justifier. - Il est attentif aux relations humaines et à l’enjeu de cette dimension dans sa vie personnelle. G. Préparer et engager les orientations de sa formation et sa vie professionnelle - Il a découvert les activités professionnelles de son milieu de vie et construit une première représentation du monde du travail. Il est initié à l’entrepreneuriat. - Il est en mesure de chercher des informations sur les métiers qui peuvent lui être ouverts et sur les conditions de l’accès aux emplois concernés. - Il est conscient de l’enjeu des choix qu’il devra accomplir et des ressources à mobiliser pour préparer son avenir scolaire et professionnel. - Il connaît les principes de la gestion financière et les applique dans sa vie personnelle. La première tâche de l’enseignant de 10e année est donc de situer chacun de ses élèves par rapport à ces attentes et de prendre le temps de renforcer ses compétences avant d’engager les apprentissages propres au secondaire. 13 Une volonté de changement Le Cadre d’orientation curriculaire porte une volonté de changement profond de l’école haïtienne et de l’enseignement qui y est dispensé. Les nouveaux programmes du secondaire s’inscrivent pleinement dans cette perspective : UNE CONCEPTION DE LA CLASSE CENTRÉE SUR L’ÉLÈVE « Ce qui importe, ce n’est pas ce que l’enseignant enseigne, mais ce que l’élève apprend. » Le Cadre d’orientation curriculaire et l’ensemble des réformes récentes expriment la volonté de centrer l’enseignement sur l’élève, sur ce qu’il apprend réellement et sur les progrès qu’il accomplit tout au long de sa scolarité. La finalité de l’école est la réussite de chacun dans son parcours de formation. Le rôle de l’enseignant est d’organiser les situations d’apprentissage en fonction des acquis visés, de fournir les supports, les outils et les aides nécessaires, de susciter l’activité des élèves et de suivre leur progression. Son attention est centrée sur les besoins d’apprentissage de chaque élève : que sait-il déjà ? Qu’a-t-il à apprendre ? Progresse-t-il pendant la séance ? Que puis-je faire pour l’aider ? L’élève doit être constamment actif. Il doit être mobilisé sur des tâches susceptibles de le faire avancer dans les apprentissages : traiter des problèmes, créer, s’exprimer, analyser, échanger, observer, expérimenter, etc. Si des exposés de l’enseignant restent nécessaires, ils doivent être considérés comme une ressource au service des apprentissages et faire l’objet d’une « écoute active ». Ils ne sont plus l’essentiel de l’enseignement, mais un moment d’une séquence dont l’acteur principal est l’élève. Le rôle de l’enseignant est d’aider l’élève à agir et à apprendre. UNE NOTION ESSENTIELLE : CELLE DE COMPÉTENCE Le choix est fait de concevoir les programmes en fonction des compétences que doit acquérir l’élève plutôt que sur les contenus que doit transmettre l’enseignant. Il faut rappeler qu’une compétence peut être définie comme la capacité à exploiter des connaissances, mais aussi des savoir-faire et des attitudes, pour apporter des réponses efficaces aux problèmes posés dans un ensemble de situations1. À travers ce choix, il s’agit d’amener l’élève à être capable d’assumer efficacement toutes les situations auxquelles il sera confronté dans sa vie d’homme ou de femme, dans l’exercice de sa citoyenneté et dans son travail. La première conséquence est le lien indispensable entre le contenu du programme de chaque discipline avec les grandes compétences que vise l’enseignement secondaire. Les disciplines sont au service du développement de ces compétences et les 1 Dans le Cadre d’orientation curriculaire, une compétence est définie comme « la capacité à mobiliser et à exploiter des ressources internes telles que les connaissances, les aptitudes et les attitudes, ainsi que des ressources externes afin de répondre efficacement aux problèmes posés dans un ensemble de situations. » 14 connaissances ou les savoir-faire que fixent les programmes sont avant tout des ressources qui permettent d’exercer ces compétences avec la plus grande efficacité. De même, les enseignants doivent désormais confronter leurs élèves à des situations qui leur permettent de progresser dans ces compétences. Cela impose une conception de la classe qui privilégie l’activité des élèves et le lien entre les tâches proposées et la compétence précisément ciblée. Une telle conception induit une autre manière de préparer, de conduire et d’évaluer le travail des élèves. UNE EXIGENCE : L’ÉVALUATION « L’évaluation fait partie intégrante du processus d’apprentissage. Elle est intimement liée au programme d’études et elle est au cœur de sa mise en œuvre »2. L’évaluation a comme premier objectif de vérifier, étape par étape, que chaque élève a accompli les apprentissages définis par les programmes afin, si nécessaire, de remédier aux difficultés rencontrées et de lui permettre d’accéder aux acquis visés. Il n’y a pas d’apprentissage sans évaluation. Quelles que soient la discipline, l’approche ou la méthode utilisée, l’enseignant doit définir clairement ce qui est attendu, s’assurer de son acquisition effective par tous, comprendre, si ce n’est pas le cas, pourquoi certains n’ont pas réussi et les aider à surmonter les obstacles. L’évaluation est une nécessité tout au long des apprentissages : – Au début de chaque étape (séquence)3, il faut d’une part, se demander où en est l’élève par rapport à l’apprentissage visé, d’autre part, vérifier s’il dispose des connaissances et des savoir-faire nécessaires (les « prérequis »). C’est ce qu’on appelle généralement « l’évaluation diagnostique ». Elle est indispensable pour que l’élève apprenne et progresse. – Au cours des activités, on doit vérifier la compréhension des consignes et des situations, l’accomplissement effectif des tâches et, surtout, la pertinence et la qualité des réponses apportées aux situations auxquelles chaque élève est confronté. Cette évaluation est « formative » parce qu’elle permet à l’élève comme à l’enseignant de réagir et de surmonter les obstacles et les difficultés rencontrées. – À la fin de l’étape, il s’agit d’évaluer le résultat : qu’ont appris les élèves ? Ont-ils appris ce qui était prévu ? Ont-ils progressé par rapport aux compétences visées ? Sinon pourquoi ? Ce troisième temps est celui de l’évaluation dite « sommative ». Il permet à la fois de « valider » l’étape que l’élève a franchie, voire de certifier ses acquis, et d’engager les remédiations nécessaires en aidant l’élève à comprendre ses réussites et ses manques et en lui apportant les aides nécessaires. 2Cadre d’Orientation curriculaire (chapitre 2.4). 3 On peut définir une séquence comme un ensemble cohérent et continu de séances destiné à mettre en œuvre une partie du programme. 15 Pour que l’apprentissage soit efficace, l’élève lui-même doit être impliqué dans son évaluation : il doit connaître l’objet et l’objectif de la séance (ou de la séquence), savoir ce qu’on attend de lui. Il doit être en mesure d’évaluer ses réponses et ses productions en fonction de critères clairs posés au départ, de situer ses progrès, d’identifier les connaissances et les savoir-faire nouveaux. Il doit aussi pouvoir repérer ses erreurs et en connaître la cause, chercher des solutions et améliorer ses productions. L’évaluation est un levier pour apprendre. Ce n’est pas du temps perdu, mais, au contraire, un moment essentiel du processus d’apprentissage. L’élève qui comprend ce qui est attendu, qui organise son activité et en évalue lui-même les résultats en fonction de cette attente est un élève qui apprend et qui progresse. Cela conduit inévitablement à redéfinir les modalités actuelles d’évaluation sommative de fin de période. Il faut, en particulier, considérer que les bilans périodiques sont d’abord un moyen de fournir aux élèves des informations sur leurs progrès et sur les points qui doivent faire l’objet d’une attention et de régulations au cours de la période suivante. Plutôt qu’un constat global du « niveau » de l’élève, le bilan de fin de période devrait être conçu comme une évaluation encourageante destinée à aider les élèves à avancer dans leurs apprentissages et à adapter les activités à leurs acquis et à leurs besoins. Le bilan peut reposer sur les évaluations ponctuelles réalisées à la fin de chaque séquence et/ou sur l’observation continue de situations rencontrées au cours des apprentissages. Pour réaliser ces bilans, il convient que l’élève soit confronté à des situations qui permettent d’apprécier son degré de maîtrise de la (ou des) compétence(s) concernée(s). Dans tous les cas, les situations proposées et les critères choisis pour situer les productions de l’élève, doivent aider à déterminer si l’élève a progressé et s’il réinvestit les connaissances, savoir-faire et comportements acquis au cours de la période dans l’exercice de cette compétence. L’évaluation sommative ne peut se limiter à l’attribution d’une note. Elle doit permettre de positionner l’élève par rapport aux compétences visées (par exemple, à l’aide d’une grille simple) et de préciser les acquis, les progrès réalisés et les difficultés (au moins par une appréciation littérale). Si une note finale est attribuée, elle doit reposer sur des critères clairement explicités pour l’élève et ses parents. DES ATTENTES FORTES Une éducation inclusive L’école haïtienne est une école inclusive, c’est-à-dire une école qui prend en considération la situation, les besoins et les potentialités de chaque enfant sans distinction de sexe, de religion ou de d’appartenance sociale. Elle vise à la réussite de tous y compris de ceux qui sont en situation de handicap, de maladie ou de grande difficulté. « Chaque enfant est un potentiel de richesse pour sa communauté et pour la Nation. Il est digne d’être pris en compte aussi bien dans ses forces que dans ses faiblesses. L’inclusion dans l’école ordinaire est un moyen de donner à chacun une juste place dans la société. »4 4 Cadre d’Orientation curriculaire (page 11). 16 Chacun doit pouvoir progresser à son rythme. Les programmes ont été conçus avec cette préoccupation. Il appartient à chaque enseignant d’adapter les situations d’apprentissage, les supports, les progressions et les aides à la diversité des besoins. L’attention portée aux valeurs fondamentales Le cadre d’orientation curriculaire accorde une large place aux valeurs fondamentales de la société haïtienne : le respect, la solidarité, la tolérance, l’honnêteté, l’équité, le patriotisme et l’engagement. L’École a une responsabilité première dans leur transmission. Si l’éducation à la citoyenneté constitue une discipline à part entière fortement impliquée dans l’appropriation des valeurs, il est essentiel que celles-ci soient portées par l’ensemble des disciplines, explicitées et exercées dans le quotidien de la classe et partagées dans tous les aspects de la vie de l’école et de la communauté. Enfin, si le respect est la première des valeurs cardinales du curriculum haïtien, il est indissociable du principe de la non-violence.Le système éducatif haïtien ne tolère la violence, sous aucune forme que ce soit, et l’enseignement, au quotidien, doit intégrer ce principe fondamental. Le choix du multilinguisme fonctionnel et ouvert L’école haïtienne doit permettre à chaque élève de maîtriser les deux langues officielles ainsi qu’au moins l’une des deux langues régionales. Il doit pouvoir utiliser ces langues en s’adaptant à toutes les situations de communication de sa vie. C’est aussi à travers ces langues qu’il construit une culture riche du patrimoine de son pays, tout en restant ouvert sur le monde. Le créole et le français s’enseignent désormais, tout au long de la scolarité, jusqu’à la fin du secondaire. L’anglais et l’espagnol sont enseignés à partir de la 5e année du fondamental, ce qui n’exclut pas leur apprentissage précoce. L’ambition de l’école haïtienne est d’amener, chacun à parler, comprendre, lire et écrire, avec une égale aisance dans au moins trois langues. Enfin, cette compétence linguistique doit favoriser l’ouverture aux principales langues de la région dès le fondamental, puis à d’autres langues de communication mondiale, au cours du secondaire. L’innovation Pour répondre aux défis de l’avenir de notre pays, les programmes accordent une place importante à l’innovation et à la création. Qu’il s’agisse des sciences, des disciplines linguistiques, de la technologie et de l’informatique, du domaine des arts, de l’éducation physique et sportive ou de la découverte de l’environnement, les élèves doivent pouvoir exercer leur créativité et être mis en situation d’imaginer, d’inventer, de concevoir des solutions nouvelles en réponse à des problèmes complexes. Ils doivent être préparés à transférer cette capacité à toutes les situations, imprévisibles aujourd’hui, qu’ils rencontreront dans leur vie future. 17 La maîtrise des outils numérique et l’apprentissage de l’informatique constituent un axe déterminant des programmes du secondaire. S’ils sont pris en charge par une discipline spécifique, ils traversent l’ensemble des domaines d’apprentissage, et cela pour toutes les séries générales ou technologiques. Lire et mettre en œuvre les programmes DES ATTENTES FORTES Une éducation inclusive L’école haïtienne est une école inclusive, c’est-à-dire une école qui prend en considération la situation, les besoins et les potentialités de chaque enfant sans distinction de sexe, de religion ou de d’appartenance sociale. Elle vise à la réussite de tous y compris de ceux qui sont en situation de handicap, de maladie ou de grande difficulté. « Chaque enfant est un potentiel de richesse pour sa communauté et pour la Nation. Il est digne d’être pris en compte aussi bien dans ses forces que dans ses faiblesses. L’inclusion dans l’école ordinaire est un moyen de donner à chacun une juste place dans la société. »5 Chacun doit pouvoir progresser à son rythme. Les programmes ont été conçus avec cette préoccupation. Il appartient à chaque enseignant d’adapter les situations d’apprentissage, les supports, les progressions et les aides à la diversité des besoins. L’attention portée aux valeurs fondamentales Le cadre d’orientation curriculaire accorde une large place aux valeurs fondamentales de la société haïtienne : le respect, la solidarité, la tolérance, l’honnêteté, l’équité, le patriotisme et l’engagement. L’École a une responsabilité première dans leur transmission. Si l’éducation à la citoyenneté constitue une discipline à part entière fortement impliquée dans l’appropriation des valeurs, il est essentiel que celles-ci soient portées par l’ensemble des disciplines, explicitées et exercées dans le quotidien de la classe et partagées dans tous les aspects de la vie de l’école et de la communauté. Enfin, si le respect est la première des valeurs cardinales du curriculum haïtien, il est indissociable du principe de la non-violence.Le système éducatif haïtien ne tolère la violence, sous aucune forme que ce soit, et l’enseignement, au quotidien, doit intégrer ce principe fondamental. 5 Cadre d’Orientation curriculaire (page 11). 18 Le choix du multilinguisme fonctionnel et ouvert L’école haïtienne doit permettre à chaque élève de maîtriser les deux langues officielles ainsi qu’au moins l’une des deux langues régionales. Il doit pouvoir utiliser ces langues en s’adaptant à toutes les situations de communication de sa vie. C’est aussi à travers ces langues qu’il construit une culture riche du patrimoine de son pays, tout en restant ouvert sur le monde. Le créole et le français s’enseignent désormais, tout au long de la scolarité, jusqu’à la fin du secondaire. L’anglais et l’espagnol sont enseignés à partir de la 5e année du fondamental, ce qui n’exclut pas leur apprentissage précoce. L’ambition de l’école haïtienne est d’amener, chacun à parler, comprendre, lire et écrire, avec une égale aisance dans au moins trois langues. Enfin, cette compétence linguistique doit favoriser l’ouverture aux principales langues de la région dès le fondamental, puis à d’autres langues de communication mondiale, au cours du secondaire. L’innovation Pour répondre aux défis de l’avenir de notre pays, les programmes accordent une place importante à l’innovation et à la création. Qu’il s’agisse des sciences, des disciplines linguistiques, de la technologie et de l’informatique, du domaine des arts, de l’éducation physique et sportive ou de la découverte de l’environnement, les élèves doivent pouvoir exercer leur créativité et être mis en situation d’imaginer, d’inventer, de concevoir des solutions nouvelles en réponse à des problèmes complexes. Ils doivent être préparés à transférer cette capacité à toutes les situations, imprévisibles aujourd’hui, qu’ils rencontreront dans leur vie future. La maîtrise des outils numérique et l’apprentissage de l’informatique constituent un axe déterminant des programmes du secondaire. S’ils sont pris en charge par une discipline spécifique, ils traversent l’ensemble des domaines d’apprentissage, et cela pour toutes les séries générales ou technologiques. Lire et mettre en œuvre les programmes LEUR FONCTION Les programmes établissent ce qui doit être acquis par les élèves à chaque étape de leur scolarité. Ils sont publiés et diffusés dans tout le pays. Si le contexte peut nécessiter des adaptations locales, ils constituent une norme qui s’impose dans toutes les écoles, publiques et non publiques du pays. Les enseignants ont l’obligation de les connaître et de les appliquer. Ils sont une référence commune et officielle pour tous les acteurs, pour les concepteurs de manuels, pour les évaluateurs, pour les cadres de l’éducation et pour les instituts de formation des enseignants. 19 COMMENT SONT CONÇUS LES PROGRAMMES ? Le point de départ des programmes est le profil de sortie de l’enseignement secondaire, qui regroupe les compétences que tout élève doit avoir acquises à la fin de la 13e année de la scolarité. Le programme de chaque discipline est conçu en fonction de ce profil. – Il est d’abord précisé pourquoi la discipline est enseignée et comment elle contribue à la maîtrise des compétences attendues. – En un second temps, sont présentées les compétences spécifiques visées dans la discipline. Pour chacune, sont définis ce qui est attendu de l’élève à la fin du secondaire, la stratégie mise en œuvre pour cela et les modalités d’évaluation. – Puis, sont détaillées, dans un ensemble de tableaux, les étapes (« unités d’apprentissage ») qui vont permettre à l’élève de progresser dans la maîtrise de ces compétences. Pour chaque étape, sont indiquées les connaissances, aptitudes et attitudes que l’élève doit acquérir, les situations auxquelles il doit être confronté ainsi que les modalités d’évaluation à mettre en place. La répartition des unités d’apprentissage au cours des quatre années du secondaire et en fonction des séries est présentée dans un tableau. Les programmes sont élaborés de manière à aider les enseignants à construire et à préparer les activités de leur classe en centrant leur attention sur les apprentissages effectivement accomplis par tous les élèves : quelles sont les compétences que chaque élève doit développer ? Que doit-il apprendre pour cela ? Quelles situations mettre en place ? Comment évaluer sa progression ? LES DOMAINES – LES DISCIPLINES Les compétences visées au cours du secondaire sont développées dans le cadre de 14 disciplines ou groupes de disciplines qui concourent à l’éducation de tous les jeunes haïtiens. Elles sont réunies dans cinq grands domaines :  Les langues et la communication,  Le développement personnel,  Les sciences mathématiques et expérimentales,  Les sciences sociales,  La technologie et l’informatique. 20 5 DOMAINES ÉDUCATION FONDAMENTALE Langage et communication Créole 10 DISCIPLINES (OU GROUPES DE DISCIPLINES) Français Anglais Espagnol (OU GROUPES DE DISCIPLINES) Sciences mathématiques et expérimentales Sciences sociales Sciences expérimentales Histoire et géographie Technologie et informatique Éducation Esthétique artistique Mathématiques Éducation Physique et Sportive ETAP : Éducation à la technologie et aux activités productives Éducation à la citoyenneté Créole Arts Physique Français Éducation Physique et Sportive Chimie Histoire et géographie 14 DISCIPLINES ÉDUCATION SECONDAIRE Développement personnel et social Anglais Espagnol Numérique et Informatique Mathématiques Philosophie Biologie Physiologie Géologie Éducation à la citoyenneté Économie Le rapprochement des disciplines d’un même domaine permet de mettre en cohérence le vocabulaire et les notions utilisées, d’harmoniser les progressions et les modalités d’évaluation et de répartir l’apprentissage de certains contenus communs. LES PARCOURS – LES HORAIRES En 1ère et 2e années, les élèves suivent les mêmes enseignements. Seule, la mise en place d’une option est possible en 2 e année pour préparer l’orientation choisie à partir de la 3e année, en particulier pour les élèves souhaitant s’engager dans la voie technologique. A partir de la 3e année, les enseignements sont organisés en fonction des séries mises en place. Outre les séries technologiques qui feront l’objet de programmes spécifiques, quatre séries générales sont ouvertes aux élèves : - La série « Mathématiques et physique ». - La série « Sciences de la vie et de la Terre ». - La série « Sciences économiques et sociales ». - La série « Lettres, langues et arts ». 21 Les séries ne constituent pas des filières fermées contraignant l’élève à une orientation précoce. Si elles contribuent à préparer ses choix à venir, elles doivent lui laisser un large champ de possibilités et ménager des passerelles à la fin de la 3 e année. De même, toutes les séries ont la même finalité : permettre à tous les élèves de développer toutes les compétences composant le profil de sortie. L’horaire total est de 30 heures par semaine pour tous les élèves du secondaire à l’exception de la 4e année de la série « Lettres, langues et arts ». La répartition des horaires officiels est précisée dans le tableau ci-dessous. 1 REPARTITION HORAIRE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES ère et 2 e 3e et 4e années (S3 et S4) années MP SVT SES LET/LA/AR S3 S4 S3 S4 S3 S4 S3 S4 Français/Philosophie 4 3 4 4 4 5 4 5 6 Créole 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 Anglais Espagnol 2 Histoire/géographie 3 2 2 2 2 3 3 3 3 Éducation à la citoyenneté 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sciences économiques et sociales 1 1 - 1 - 6 6 2 2 Mathématiques 5 7 8 5 6 5 5 2 2 Physique 2 4 4 3 2 3 3 3 3 Chimie 2 1 1 2 3 Physiologie/Biologie, géologie 3 3 2 5 5 Informatique 2 3 3 2 3 2 3 2 2 Éducation physique et sportive 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Arts 1 4 6 Horaire total 30 30 35 30 22 30 30 31 30 30 METTRE EN ŒUVRE LES PROGRAMMES Chaque enseignant doit lire l’intégralité des programmes de sa discipline sans se limiter au niveau où il exerce. Les programmes forment un tout et on ne peut isoler une étape d’un parcours d’apprentissage continu et cohérent. De même, il est souhaitable qu’il prenne connaissance des programmes des autres disciplines pour coopérer efficacement avec les autres enseignants. Il s’agit d’abord de lire les programmes de manière à pouvoir répondre clairement à cinq questions : – Quelle est l’utilité de la discipline au service de ce qui est attendu des élèves à la sortie de l’enseignement fondamental ? – Quelles sont les compétences que tous les élèves doivent maîtriser à la fin du secondaire ? – Pour chaque compétence, qu’est-ce qui est attendu précisément et que doit-on faire pour cela ? Quelle stratégie mettre en place ? – Comment évaluer que chaque élève progresse dans la maîtrise de ces compétences ? – Quelles sont les étapes fixées par le programme ? Quels sont les connaissances, les savoir-faire et les attitudes que l’élève doit acquérir à chaque étape et dont il faut vérifier l’acquisition ? C’est à partir des réponses à ces questions que l’enseignant va construire et préparer son travail, en planifiant la réalisation de la progression proposée en une succession de séquences6, en fixant précisément les résultats attendus de chaque séquence, en déterminant les modalités de leur évaluation et en prévoyant les situations à mettre en place et les supports nécessaires. Ces programmes imposent une conception de la classe centrée sur l’élève. – L’élève est le premier responsable de ses apprentissages : il doit savoir clairement ce qu’il apprend, pourquoi il l’apprend et ce dont il a besoin pour cela. Il réussira d’autant mieux qu’il comprendra ce qu’on attend de lui et le sens de son activité. Il doit être en mesure d’évaluer ses connaissances et ses savoir-faire, de suivre ses progrès ou encore d’identifier les difficultés rencontrées pour mieux les surmonter. Cela impose à l’enseignant de mettre les élèves en situation pour qu’ils assument effectivement la responsabilité de leurs apprentissages, de leur expliquer ce qui justifie l’activité et ce qu’on attend de leur travail ou encore de leur donner les moyens d’évaluer par eux-mêmes la qualité et l’efficacité de ce travail. – Aucun élève ne doit être en échec : la mise en œuvre d’un enseignement centré sur l’élève conduit à adapter les interventions de l’enseignant, donc à différencier les activités, les rythmes d’apprentissage, les aides et les compléments apportés en fonction des situations et des besoins spécifiques des élèves. L’évaluation joue, sur ce point, un rôle essentiel. Elle permet de s’assurer de la progression de chacun et d’adapter, au jour le jour, les parcours d’apprentissage. 6 On rappellera qu’une séquence est un ensemble cohérent et continu de séances destiné à mettre en œuvre une partie du programme. 23 LA NÉCESSITÉ D’UNE COOPÉRATION ENTRE ENSEIGNANTS Toutes les disciplines contribuent au développement des grandes compétences qui composent le profil de sortie. De plus, certaines d’entre elles, tels que les mathématiques, fournissent des outils aux autres. Les programmes prennent en compte cette nécessaire articulation entre les disciplines. Ils proposent une répartition cohérente des contenus, ils soulignent les complémentarités entre les parcours d’apprentissage et s’attachent à harmoniser le vocabulaire utilisé, les choix pédagogiques et les modalités d’évaluation. La mise en œuvre des programmes impose la concertation et le travail commun des enseignants. Ils ont d’abord à s’informer mutuellement de leurs progressions, des situations mises en place, des méthodes choisies, des obstacles rencontrés et des difficultés repérées. Ils ont surtout à articuler leurs contributions au service des mêmes compétences, à faire converger leurs démarches, à se répartir certains contenus et à s’entendre sur les notions et les mots utilisés. Chaque enseignant doit pouvoir solliciter un collègue d’une autre discipline pour expliciter un concept, proposer un outil, aborder une connaissance, renforcer un savoir-faire. Ils peuvent aussi construire ensemble certaines séquences et se concerter pour travailler parallèlement autour d’un même thème ou à partir d’une même situation. Par exemple, l’environnement, la culture locale, la communication numérique ou la réaction aux crises sanitaires imposent la collaboration de plusieurs enseignants (voire de toute l’équipe pédagogique). Enfin, il est prioritaire de coordonner l’évaluation des compétences développées par les élèves en référence au profil de sortie du secondaire. Une réunion est indispensable dès le début de l’année pour organiser et planifier les modalités d’évaluation, puis à chaque fin de période pour évaluer la progression de chaque élève, pour prévoir les apprentissages à consolider et les aides à lui apporter. Les situations d’apprentissage et l’application des programmes ne sont pas limitées à l’espace et au temps de la classe. Les compétences attendues s’exercent à travers toutes les activités et tous les moments de la vie de l’école. La citoyenneté, la protection de l’environnement, la communication, la prévention des risques ou encore l’éducation physique et la pratique sportive impliquent, au quotidien, toute la communauté scolaire. Le directeur et tous les enseignants doivent s’impliquer pour faire de l’établissement scolaire un espace éducatif et aider chaque élève à progresser à travers la vie collective. Son comportement et son implication doivent être encouragés et évalués. La plupart des « savoir-être » attendus de l’élève ne peuvent être considérés comme acquis que s’ils sont mis en œuvre dans la cour de récréation et aux portes de l’école. De même la participation à la vie communautaire ou associative doit être suscitée et valorisée. Les situations qu’elle favorise peuvent être exploitées en classe et asseoir les apprentissages. 24 Domaine des mathématiques et des sciences expérimentales Mathématiques La discipline Entre toutes les sciences, les mathématiques sont sans doute, depuis des millénaires, la plus présente dans la conscience et l’inconscient humains. Elles sont à la fois mystérieuses et familières, peuvent apparaître comme un jeu abstrait mais donnent lieu à des applications très concrètes : certaines théories inaccessibles au commun des mortels ont des applications dans sa vie courante, qu’il utilise souvent d’instinct, sans même en avoir conscience. Les mathématiques sont apparues très tôt dans l’histoire de l’humanité, et dans des civilisations différentes, comme en témoignent les fouilles de Mohenjo-daro, ville de la vallée de l’Indus datant du troisième millénaire avant JC, le papyrus égyptien Rhind datant de 1640 avant JC ou les connaissances astronomiques des Olmèques. Pour les Grecs de l’Antiquité, elles constituaient la connaissance par excellence, le mot mathématique, du grec mathêma, désignant de façon générale un objet de connaissance. Au XVIIe siècle fleurissent beaucoup des domaines qui constituent les mathématiques d’aujourd’hui : l’algèbre avec la résolution d’équations complexes, ou les probabilités qui tentent de quantifier le hasard lui-même. Les mathématiques sont utilisées pour décrire et expliquer les phénomènes physiques, comme en atteste la citation due à Galilée selon laquelle « le grand livre de la Nature est écrit dans la langue des mathématiques ». Dans les siècles qui ont suivi, l’essor vertigineux de l’analyse a permis d’accomplir des progrès considérables dans les domaines de l’astronomie et de la mécanique tandis que les progrès de la géométrie et de l’algèbre ont trouvé des champs d’application dans tous les domaines des mathématiques. Aujourd’hui, le champ d’intervention des mathématiques s’est étendu d’un côté aux sciences de la société, particulièrement l’économie, la gestion ou la sociologie, de l’autre, de façon massive, aux sciences de l’information : informatique, réseaux, codage, traitement des images, et bien-sûr intelligence artificielle. Les mathématiques s’enrichissent de ces nouveaux champs d’intervention auxquels elles permettent en retour des développements spectaculaires. L’omniprésence (quoique souvent invisible) des mathématiques dans la vie quotidienne (professionnelle et sociale) rend aujourd’hui nécessaire, pour tout individu, de disposer de savoirs et de savoir-faire mathématiques lui permettant de comprendre et d’agir sur le monde. Par ailleurs, la pratique effective des mathématiques permet de développer des attitudes attendues de tout citoyen éclairé du XXIe siècle, comme l’esprit critique, la créativité, l’envie d’entreprendre ou l’engagement dans un projet collectif. 25 C’est la raison de la présence, dans les programmes, d’un socle de savoirs, de savoir-faire et d’attitudes commun à tous les élèves du secondaire, quelle que soit la filière qu’ils choisissent dans les deux dernières années du cycle secondaire. S’adjoignent à ce socle commun des notions spécifiques aux différentes séries, les théories et les outils mathématiques variant selon leur contexte d’utilisation. Les mathématiques sont en premier lieu un langage avec lequel les sciences de la nature et de la société décrivent les phénomènes auxquelles elles s’intéressent. Pour expliquer des phénomènes réels complexes, et en particulier saisir leur évolution, les mathématiques fabriquent des modèles (représentations simplifiées du réel), accessibles aux outils numériques qui sont alors capables de les simuler à partir de données d’expériences et d’observations. La simulation informatique peut porter sur des sujets d’origine physique, biologique, économique ou sociale aussi variés que la résistance d’une plateforme pétrolière à la houle, la fatigue d’un matériau sous sollicitation vibratoire, l'usure d’un roulement à billes, l’évolution du cours d’une valeur boursière, d’un réseau social ou du climat, le comportement d’une foule en état de panique, le comportement du cerveau, etc. Les simulations permettent de prévoir l’état final d’un système à partir de son état initial tout en évitant le coût d'une série d'épreuves réelles (comme des essais de véhicules). Les liens entre les mathématiques et l’informatique revêtent aujourd’hui une telle importance et sont amenés à connaître de tels développements qu’il est impossible d’envisager aujourd’hui un programme de mathématiques qui n’accorderait pas de place à l’informatique. Cette place s’opère de deux manières. Tout d’abord, les programmes favorisent l’utilisation d’outils numériques (calculatrice, logiciels de géométrie dynamique, logiciels de programmation). Mais l’informatique ne se résume pas à l’utilisation d’outils numériques capables de faire des calculs complexes ou de traiter et de représenter des données massives. C’est un mode de pensée – la pensée informatique – qui permet d’envisager les problèmes pour permettre à des machines de les résoudre. Il s’agit d’abord de structurer une démarche de résolution sous la forme d’un algorithme puis de traduire cet algorithme dans un langage compréhensible par une machine (programmation, ou codage). De nombreux problèmes mathématiques peuvent être abordés et résolus de cette manière. C’est pourquoi tous les programmes de mathématiques du secondaire comportent une unité d’apprentissage intitulée « Algorithmique et programmation » qui vise à développer chez les élèves la pensée informatique à travers la conception d’algorithmes et l’apprentissage d’un langage de programmation. Ces apprentissages complètent ceux qui font partie des programmes de la discipline « informatique ». L’utilisation régulière des outils informatiques peut intervenir selon trois modalités : 26 par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective adapté ; - par les élèves, en classe, à l’occasion de séances de travaux pratiques sur machines ; - dans le cadre du travail personnel des élèves hors du temps scolaire (par exemple à la bibliothèque du lycée). Contrairement au modèle des sciences de la nature, où l’arbitre ultime de vérité est la confrontation au réel selon la méthode expérimentale, ce qui fonde la vérité en mathématiques est la démonstration, à partir d’un nombre limité d’hypothèses de départ, qu’on appelle axiomes. Le raisonnement mathématique, qui se fonde sur la logique, a une portée qui dépasse le champ strict de la discipline. Acquérir des bases de logique et développer des aptitudes à raisonner dans le contexte des mathématiques constituent une formation de l’esprit qui se transfère utilement à d’autres situations. C’est la raison pour laquelle tous les programmes du secondaire comportent une unité d’apprentissage intitulée « Langage, raisonnement, logique ». Mais pour autant, la pratique des mathématiques ne se limite pas à faire des démonstrations, et c’est tout autant vrai dans l’enseignement des mathématiques que dans la recherche. En mathématiques, on observe des formes géométriques, on effectue des calculs algébriques ou numériques, à partir de quoi on peut formuler des conjectures, c’est-à-dire énoncer des propriétés dont on pense qu’elles peuvent être universellement vraies. La méthode inductive qui, à partir d’un cas particulier vise à atteindre une propriété générale a une large place dans la pratique mathématique. Sollicitant la créativité, l’inventivité et la prise de risque, cette démarche est également extrêmement importante pour la formation des élèves d’aujourd’hui. À travers de nombreux allers-retours entre expérience, observation, raisonnement et démonstration, les élèves sont sensibilisés à la diversité de l’activité mathématique. Il est à noter que l’utilisation d’outils numériques favorise les possibilités d’expérimentation et de simulation, et par là-même les interactions entre observation et démonstration, entre démarche inductive et raisonnement déductif. Les mathématiques ne sont pas seulement un outil privilégié des sciences de la nature et des sciences humaines et sociales, ainsi que des techniques avancées ; elles sont aussi indispensables à l’exercice d’une vie personnelle, sociale et professionnelle réussie et une citoyenneté éclairée et responsable. C’est pourquoi l’enseignement des mathématiques s’adresse à tous les élèves de l’enseignement secondaire, quelle que soit la série suivie en S3 et S4. Il importe de lutter contre l’opinion répandue selon laquelle les mathématiques ne seraient accessibles qu’à une minorité d’élèves, ceux qui ont la « bosse des maths ». Comme dans les autres disciplines, tout élève qui s’en donne les moyens est capable de réussir en mathématiques. En particulier, beaucoup de jeunes filles estiment qu’elles ne sont pas douées pour les mathématiques, et bien souvent leur entourage familial les conforte dans cette idée. Le rôle des enseignants est de lutter jour après jour contre ce préjugé, qui exclut des millions de jeunes filles de l’accès à des métiers, de plus en plus nombreux et variés, nécessitant des bases solides en mathématiques. Les progrès en mathématiques, que ce soit pour les élèves, pour les étudiants, ou pour les chercheurs, supposent qu’ils aient une attitude positive par rapport à la résolution des questions mathématiques qui leur sont posées. À tous les niveaux, les uns et les autres sont confrontés à des problèmes, c’est-à-dire à des situations nouvelles dont ils ne connaissent pas la réponse, dont ils ne savent même pas comment les aborder. Pas toujours, mais bien souvent, ils relèvent le défi et surmontent la difficulté. Dans le langage 27 courant, dans les situations courantes de la vie, un problème est souvent perçu comme un obstacle difficile à surmonter, voir même insurmontable. À l’école, les élèves apprennent à relever les défis, et cet état d’esprit qu’une difficulté se surmonte relève des compétences définies dans le Cadre d’orientation curriculaire, notamment « Concevoir, planifier et réaliser un projet innovant ». En mathématiques, le travail sur les problèmes permet aux élèves de constater que des problèmes ayant pu apparaître initialement insurmontables peuvent en fait être résolus si l’on sait faire preuve de créativité, de rigueur et de persévérance. Comme le coach qui encourage les sportifs qu’il entraîne, les motive et leur fait répéter un geste jusqu’à ce qu’il soit maîtrisé, l’enseignant doit accompagner tous ses élèves, et les encourager jusqu’à la réussite. Pour cela, il varie ses approches, alterne des moments plus détendus et des moments de travail très concentré, montre à quoi servent les mathématiques, et fait découvrir leur beauté. Les sous-domaines des mathématiques Classiquement, les mathématiques se divisent en sous-domaines, dont six sont pertinents au niveau de l’enseignement secondaire : – l’algèbre, qui étudie la structure, les opérations et les propriétés des nombres et des ensembles et introduit les outils permettant la manipulation et la résolution des équations ; elle est étudiée dans les programmes dans deux unités d’apprentissages : « Nombres et calculs », et « Calcul algébrique » ; – L’analyse, qui étudie la manière dont des quantités varient en fonction d’autres quantités, leurs ordres de grandeur, leurs variations (ce qui croît et ce qui décroît, ce qui s’allonge ou rétrécit, ce qui est volumineux ou non) ; elle est étudiée dans l’unité « Fonctions » ; – la géométrie, qui étudie les formes des objets et les transformations du plan et de l’espace ; dans le Secondaire, elle s’appuie sur l’algèbre ; – Les probabilités qui permettent de quantifier le hasard ; – La statistique qui organise et traite des données de manière à pouvoir les interpréter ; – L’algorithmique et la programmation qui sont deux composantes de la pensée informatique. Le raisonnement et la logique sous-tendent toute activité mathématique et fondent la notion de preuve mathématique sur la démonstration. Ces sous-domaines ne sont pas indépendants les uns des autres, mais très interdépendants. La base de l’algèbre est l’étude des différents types de nombres, de leurs propriétés, et le calcul (les quatre opérations) avec ces nombres. Les jeunes enfants se familiarisent très tôt avec les nombres entiers naturels (les recherches récentes en neuropsychologie permettent même de penser que les petits nombres entiers naturels sont compris par les bébés bien avant qu’ils aient accès au langage), et progressivement ils ont accès à des nombres différents, plus compliqués : les fractions, les nombres décimaux, les 28 nombres entiers relatifs, et, de manière implicite car leur définition n’est pas accessible avant l’université, les nombres réels. Calculer avec ces différents types de nombres est une nécessité de la vie courante, une condition nécessaire pour l’exercice de la citoyenneté. C’est aussi une condition de base pour faire des mathématiques plus avancées, des sciences de la nature, des sciences humaines et sociales. Une deuxième étape est entamée avec la résolution de problèmes liés aux nombres ; beaucoup d’entre eux reposent sur la résolution d’équations, et donc l’utilisation langage algébrique, où les nombres sont représentés par des lettres. La pratique du calcul numérique et du calcul algébrique est aussi l’occasion pour les élèves de rencontrer les premiers algorithmes, ce qui a une grande importance, tant la pensée algorithmique irrigue aujourd’hui beaucoup de secteurs. Le concept central de l’analyseest celui de fonction (au sens spécifique des mathématiques). Une fonction d’une ou de plusieurs variables décrit la dépendance d’une quantité par rapport à d’autres quantités. Par exemple, la température en fonction de l’heure de la journée, le volume d’une boule en fonction de son rayon, le prix d’un plat de griot en fonction du prix du porc, du riz et du charbon et de la main-d’œuvre. Au niveau de l’enseignement secondaire, les élèves découvrent de nouvelles fonctions ainsi que des outils spécifiques de l’analyse (dérivées, intégrales, équations différentielles). La géométrie est d’abord l’étude des formes : droites, triangles, quadrilatères, cercles… dans le cas de formes planes, cubes, sphères, cônes, pyramides, dans le cas des solides de l’espace. Toutes ces formes étant présentes dans le monde environnant, leur compréhension est améliorée par la formalisation mathématique. La géométrie est le domaine des mathématiques par excellence dans lequel on peut pratiquer le raisonnement hypothético-déductif formalisé sous forme de démonstrations. Il s’agit de dépasser l’observation d’une figure, qui peut être mal réalisée, ou représenter un cas très particulier, pour démontrer une propriété générale, valable dans toutes les configurations possibles. Une avancée décisive a été accomplie en géométrie avec l’introduction par Descartes des méthodes de l’algèbre, en repérant des points par des coordonnées et en décrivant des courbes à l’aide d’équations. L’étude de ce type de méthodes, relevant de la « géométrie analytique », occupe une place importante dans le programme du secondaire. Historiquement, les domaines des probabilités et de la statistique sont plus récents, puisqu’ils n’ont pleinement pris leur essor qu’au XXe siècle. Mais ils sont aujourd’hui centraux dans à peu près tous les domaines des sciences naturelles, des sciences de l’ingénieur, des sciences sociales et des sciences humaines. Être capable de quantifier le hasard et de raisonner sur des phénomènes aléatoires est une dimension essentielle de la formation de l’esprit. On ne peut évidemment pas prévoir si la pièce de monnaie que l’on lance une fois va tomber sur le côté pile ou sur le côté face. En revanche, on peut, grâce à la théorie des probabilités et à la loi des grands nombres, estimer le nombre de piles et le nombre de de faces que l’on peut observer sur des centaines et des centaines de lancers. Être formé à l’étude de la statistique et des probabilités est une dimension essentielle pour comprendre le monde d’aujourd’hui et mieux prévoir celui de demain. Enfin, l’étude de l’ajustement d’un nuage de points par des méthodes statistiques est une première approche des algorithmes à la base de l’apprentissage automatique, qui est l’une des composantes de l’intelligence artificielle. L’algorithmique est la science des algorithmes, un algorithme étant une méthode permettant de résoudre un problème de manière systématique en un nombre fini et ordonné d’étapes. Dans la vie quotidienne, chacun est amené à exécuter, parfois sans le savoir, des algorithmes : suivre une recette de cuisine, réaliser une maquette à partir d’un mode d’emploi. Mais surtout, derrière les réponses 29 fournies par un moteur de recherche, un réseau social ou un GPS, se cachent de très nombreux algorithmes, sans évoquer ceux qui régissent l’intelligence artificielle. Les mathématiques sont un terrain particulièrement favorable à la compréhension, la création et la mise en œuvre d’algorithmes de nature et de difficultés très variées, qu’ils concernent les calculs, la construction de figures géométriques, ou la recherche de solutions approchées d’un problème complexe. La programmation permet le codage des algorithmes de manière à les rendre compréhensibles par une machine. Deux types de logiciels ont été retenus : un logiciel de programmation par blocs (Scratch) en S1 et un logiciel de programmation textuelle (Python) à partir de l’année de S2. Le choix de ces logiciels répond à la fois à leur intérêt pédagogique et didactique, en adéquation avec le niveau et la maturité des élèves, leur facilité d’utilisation et leur grande utilisation dans le monde entier, y compris pour Python dans le monde professionnel. La logique mathématique est née à la fin du XIXe siècle, en lien étroit avec la philosophie. Il s’agissait de comprendre et de formaliser le raisonnement, en particulier le raisonnement déductif qui est central en mathématiques et d’approfondir l’architecture des mathématiques, basée depuis Euclide sur une fondation axiomatique. Intrinsèquement liée à toute activité mathématique, le raisonnement est une aptitude intellectuelle. Il est intéressant de noter que le travail sur les fondations des mathématiques, au début du XXème siècle, a fourni, dans les années 1930 et 1940, les bases théoriques de l’informatique. Les contributions des mathématiques au profil de sortie de l’enseignement secondaire général Comme l'indique le COC, « à la sortie du secondaire, le jeune Haïtien et la jeune Haïtienne doivent pouvoir soit suivre avec succès une formation supérieure académique ou professionnelle, soit s’insérer, sans difficulté, dans le monde du travail. L’éducation secondaire doit donc les préparer à accomplir ce choix et à disposer des compétences nécessaires pour réussir dans la voie choisie. Les deux premières années du secondaire, proposent un enseignement de tronc commun en mathématiques, destiné à faire réussir tous les élèves en leur donnant les bases nécessaires pour la poursuite d’étude dans les différentes séries des deux dernières années. Les programmes permettent aux élèves de consolider les connaissances et savoir-faire acquis dans le fondamental, présentent de nouvelles connaissances, font acquérir aux élèves de nouveaux savoir-faire, dans le cadre du développement des compétences nécessaire à une bonne insertion dans la société. Le profil de sortie. Il est associé à 7 grandes compétences, qui concernent les mathématiques à des degrés divers. Nous les présentons dans l’ordre du COC, en indiquant à chaque fois de quelles manières les mathématiques y contribuent. Communiquer de manière efficace dans toutes les situations de sa formation, de sa vie sociale et de l’exercice de son métier. Au sein de cette compétence, les mathématiques contribuent de manière forte à la capacité d’exprimer sa pensée et développer un raisonnement construit et argumenté et développe l’usage des outils numériques. 30 S’approprier les méthodes et outils nécessaires pour penser, apprendre et travailler de manière autonome. Les mathématiques y sont omniprésentes : elles préparent en effet les élèves à traiter des problèmes complexes dans des situations nouvelles, à disposer des outils mathématiques nécessaires pour traiter les données, construire son raisonnement, représenter les faits et les objets, modéliser les solutions, à connaître les principes de l’informatique et de la programmation et choisir et utiliser efficacement les applications qui lui sont nécessaires. Exercer activement sa citoyenneté en s’appuyant sur une connaissance et une compréhension de la société ouverte au monde et à son histoire. Outre le développement de leurs capacités générales de raisonnement, qui sont tellement importantes, les mathématiques aident les élèvent à développer les outils nécessaires à la compréhension de la situation géographique et économique d’Haïti, et, notamment via la maîtrise d’outils développés en statistique, à évaluer les défis que sont la dégradation de l’environnement, les fléaux sanitaires, les trafics de drogue… Étendre ses connaissances scientifiques et les mettre au service de son engagement pour un développement durable. Les mathématiques, langage commun des sciences, aident les élèves à « relier et exploiter les connaissances construites dans chaque discipline pour comprendre, avec une approche scientifique, l’environnement et les enjeux du développement durable », et à leur montrer comment « utiliser les outils numériques pour répondre à leurs interrogations, explorer des nouveaux champs de connaissance, remettre en cause leurs modèles et leurs préjugés ». Concevoir, planifier et réaliser un projet innovant. Dans le cadre de ses études de mathématiques, l’élève aura été confronté à de nombreux problèmes de mathématiques qu’il s’agissait de résoudre. Cela se produit beaucoup dans le cadre des cours dans lesquels le professeur montre comment les mathématiciens ont, au cours de l’histoire, développé des connaissances permettant de résoudre des problèmes qui paraissaient jusque-là inaccessibles. Ainsi, on assimile la trigonométrie, qui permet de calculer les longueurs des côtés d’un triangle rectangle, le calcul symbolique, géométrie analytique qui permet d’utiliser la puissance de l’algèbre pour résoudre des problèmes de géométrie, les probabilités qui permettent de faire des prévisions en moyenne, etc. Et cela se produit aussi dans le cadre des exercices et problèmes proposés de manière très régulière aux élèves, dans lesquels ils appliquent les savoir-faire acquis dans des contextes variés, et où il faut « innover », faire preuve de « créativité », persévérer pour « surmonter les obstacles » et parvenir à la solution. 31 Affirmer toutes les dimensions de sa personnalité. Comme l’ensemble des disciplines scolaires, les mathématiques contribuent à la construction de la personnalité des élèves. Elles permettent l’apprentissage de la discussion des idées dans le cadre de l’évaluation de la justesse d’une démonstration mathématique. Préparer et engager les orientations de sa formation et sa vie professionnelle. Les compétences acquises en mathématiques sont très importantes pour une poursuite d’études dans de nombreux domaines, y compris ceux qui en sont très éloignés, car en mathématiques, outrer l’acquisition de savoir-faire spécifiques, le développement de la capacité de raisonnement et de la rigueur sont centraux. C’est pourquoi l’apprentissage des mathématiques est un atout qui permet d’envisager de manière sereine des études ultérieures dans à peu près tous les domaines. L’interdisciplinarité Les mathématiques se sont souvent développées, au cours de leur histoire plurimillénaire, suivant leur logique propre, mais plus souvent en interaction avec les autres sciences, et c’est probablement là que réside leur importance. Par ailleurs, la manière dont elles ont évolué en tant que champ du savoir a des incidences sur leur enseignement et donc sur les programmes scolaires. Historiquement, les mathématiques se sont considérablement inspirées des sciences physiques, et les ont influencées, au point qu’avant le XVIIIe siècle il était difficile de faire une distinction systématique entre mathématiciens et physiciens. Les interactions entre mathématiques et sciences physiques sont donc innombrables et anciennes. Dans la période plus récente, au fur et à mesure de l’évolution de la biologie et des sciences de la Terre accordant une plus grande place aux aspects quantitatifs, les mathématiques y jouent un rôle croissant, et ceci est aussi vrai aujourd’hui des sciences sociales, tout particulièrement la sociologie et l’économie. Dans ce qui suit, on se limite aux connaissances et savoir-faire au niveau de l’enseignement secondaire, sans prendre en compte ce qui relève du niveau du fondamental, et qui a été décrit dans les programmes du fondamental. a. Mathématiques et sciences sociales. En sciences sociales, le traitement des données, et en particulier la statistique, jouent un rôle central. En sciences économiques, pour résoudre des problèmes d’optimisation, l’étude des fonctions est un outil d’une grande pertinence, comme l’est la résolution des systèmes d’équations et d’inéquations linéaires et les matrices. La théorie des graphes, introduite dans les années S3 et S4 dans les trois séries MP, SVT et SES, est devenu dans le domaine des sciences sociales un outil efficace de modélisation des interactions entre individus ou groupes sociaux. b. Mathématiques et informatique. L’informatique, qui a maintenant le statut d’une science autonome et est enseignée en tant que telle au lycée, fait également l’objet d’un enseignement spécifique dans le cadre de l’enseignement des mathématiques. En prenant appui sur l’apprentissage des bases de l’informatique et sur des contextes mathématiques appropriés, les élèves pourront approfondir leur 32 compréhension de cette discipline en mettant en œuvre des algorithmes mathématiques et en les programmant dans le langage de référence. c. Mathématiques et art. Aujourd’hui, les outils numériques ont profondément pénétré la production artistique, que ce soit en musique ou dans la production et le traitement des images. Dans le programme de mathématiques de la série LLA, le traitement numérique des images fait l’objet d’un enseignement spécifique dans le cadre de l’unité d’apprentissage Géométrie. Y est également abordée la perspective, en tant qu’outil mathématique de représentation du monde. d. Mathématiques et sciences physiques. Comme il a été dit plus haut, les mathématiques sont intimement liées à la physique. Au niveau de l’enseignement secondaire, il serait difficile d’identifier un seul des thèmes abordés dans les sciences physiques dont la mathématisation est absente. Les fonctions, leurs dérivées et leurs intégrales, le calcul algébrique, les vecteurs et les transformations sont présents dans l’étude du mouvement et de l’énergie, en électricité et en magnétisme, en optique et plus généralement dans l’étude des ondes. E. Mathématiques et sciences de la vie et de la terre. Quoique moins présentes dans ces domaines que dans celui des sciences physiques, les mathématiques y jouent un rôle croissant. Sans les bases mathématiques étudiées dans le tronc commun (S1 et S2), on ne disposerait pas du langage mathématique nécessaire à la biologie et à la géologie. À un niveau plus avancé, les probabilités (en génétique), la statistique (notamment pour évaluer la validité d’un ensemble d’expériences, les matrices et la théorie des graphes fournissent des outils puissants, dont certains sont pertinents dès les dernières années du secondaire, et dont d’autres le seront dans le cadre des études supérieures. Quelques principes de didactique des mathématiques dans le Secondaire Les mathématiques représentent un enjeu très important dans la réussite scolaire, et non moins important dans l’imaginaire des élèves et de leurs familles. Plusieurs mythes sans fondement rendent difficile l’accès aux mathématiques. Le premier est qu’avoir la « bosse des mathématiques » serait un caractère inné réservée à un petit nombre de personnes, les autres étant vouées à ne pas avoir accès à la matière. Une autre, liée à la première, serait que les filles seraient encore moins nombreuses que les garçons à avoir la bosse des mathématiques ; également, les mathématiques, et les sciences en général, ne seraient pas une matière « féminine ». Pour toutes ces raisons, la matière mathématiques ne serait pas pour elles. En sortant du cycle fondamental, les élèves ont acquis une certaine maîtrise des nombres et du calcul numérique, de la géométrie plane, savoir-faire qui sont indispensables dans le Secondaire. L’enseignant de 1ère année du Secondaire veillera à les consolider. Les élèves ont déjà abordé le calcul algébrique, les équations, le traitement des données, les probabilités, qui sont au centre de l’enseignement des mathématiques du Secondaire. Durant les deux années du tronc commun (S1 et S2), les professeurs enseignent à des élèves dont l’intérêt pour les mathématiques est très différencié. À tous, ils doivent permettre la réussite dans l’assimilation des notions nouvelles du programme, quelle que soit leur 33 orientation future. Même pour les plus littéraires parmi les élèves, les mathématiques ont un rôle formateur, et le programme de la série LLA reflète cette ambition, tout en étant très adapté à son public. L’un des rôles des enseignants, et en particulier de celui de mathématiques, est d'aider les élèves à faire le meilleur choix de série à la sortie de S2, qu’il s’agisse d’élèves ayant déjà une idée assez claire de la série à laquelle ils se destinent et éventuellement des études qu’ils voudraient poursuivre, mais aussi des très nombreux indécis. Chaque série offre des perspectives de réussite, les professeurs doivent s’efforcer d’aider les élèves à choisir celle qui est la mieux adaptée à leurs goûts et à leurs chances de réussite. Le professeur de mathématiques a une responsabilité particulière, car il doit tenir compte de ce qu’un certain nombre d’élèves, dont, comme cela a été dit plus haut, un nombre important de filles, estiment ne pas être capables de suivre des études où les mathématiques ont un rôle important, voire prépondérant alors qu’en réalité, ils ont des capacités tout à fait suffisantes. Au-delà de ces considérations générales, voici maintenant un certain nombre de principes didactiques qui doivent guider les enseignants. Le premier principe guidant l’enseignement des mathématiques au niveau du tronc commun du Secondaire est qu’il s’adresse à tous les élèves, filles et garçons, et qu’il doit permettre à tous de réussir. L’enseignant doit régulièrement revenir sur les notions et les savoir-faire précédemment étudiés afin d’en consolider la maîtrise et d’assurer la bonne acquisition de nouveaux apprentissages. Le deuxième principe est le principe de bienveillance vis-à-vis des élèves, et de la reconnaissance du rôle formateur des erreurs qui ne doivent pas être assimilées à des fautes (au sens moral du terme). Bien entendu, il ne s’agit pas d’encourager les erreurs ! Mais d’une part, faire des erreurs est inévitable ; d’autre part, leur compréhension est un facteur de progrès dans l’acquisition des savoirs et des savoir-faire. L’objectif est d’aider les élèves à comprendre l’origine des erreurs : une mauvaise compréhension de l’énoncé ou du résultat mathématique qu’on veut appliquer, une erreur de calcul due à l’étourderie, etc. et de les rectifier. Commettre une erreur, s’en rendre compte, comprendre pourquoi on l’a faite, recommencer… tout cela est porteur de progrès, tant sur le plan strictement mathématique que sur l’apprentissage de la persévérance. Le troisième principe est que l’introduction des concepts mathématiques, abstraits par nature, doit s’appuyer sur des exemples concrets permettant aux élèves de s’en emparer, de « jouer » avec eux afin qu’ils deviennent familiers. Le quatrième principe est que l’enseignement des mathématiques vise à développer des compétences générales de raisonnement et de compréhension de l’espace physique et social environnant (détaillées ci-dessous). Ces compétences s’appuient sur la compréhension globale des concepts et la mémorisation d’un petit nombre de résultats indispensables en évitant d’imposer la mémorisation d’une multitude de règles imposées qui, si elles n’ont pas été démontrées, n’ont aucun sens pour les apprenants. Les programmes sont rédigés en sorte de minimiser le nombre de résultats ou de formules à mémoriser : il est inutile de mémoriser des formules b, c, d… si elles sont des conséquences immédiates de la formule-clé a ! Le cinquième principe repose sur l’acquisition d’automatismes, en particulier d’automatismes de calcul, permettant de diminuer la surcharge cognitive quand on mène des raisonnements mathématiques lors de la résolution de problèmes. Le professeur doit 34 développer ces automatismes en organisant de manière régulière et fréquente de courtes séances de calcul (mental ou posé) ne relevant pas nécessairement de la leçon en cours. Le sixième principe est que les mathématiques sont reliées aux autres domaines du savoir, et que les connaissances et les savoir-faire développés en mathématiques doivent être effectivement utilisés dans les autres disciplines. Les programmes indiquent de nombreuses pistes d’application aux autres disciplines. L’enseignant devra s’efforcer de les valoriser, soit lui-même dans son cours, soit en relation avec ses collègues enseignant les autres matières. Faire de l’élève un acteur de sa formation Les programmes de mathématiques du cycle Secondaire sont, par nécessité, assez denses. L’enseignant est confronté à la tentation de sacrifier le temps d’assimilation pour couvrir tout le programme. Pour y remédier, la première recommandation est de se centrer sur les notions et les savoir-faire essentiels, en évitant la dispersion : cela permet d’une part de limiter le temps d’enseignement, et d’autre part de réduire la quantité de contenus que les élèves doivent apprendre. Si la part d’enseignement magistral doit être plus importante qu’au cycle Fondamental, il ne faut pas pour autant que les notions nouvelles apparaissent comme « tombant du ciel ». La deuxième recommandation est donc de prévoir de manière régulière (pas à chaque séance, mais lorsqu’une notion nouvelle est introduite) des phases introductives pendant lesquelles les élèves découvrent peu à peu la notion nouvelle et se familiarisent avec elle, avant qu’elle ne soit formalisée par le professeur. Des séances d’exercices d’entraînement et d’application, et des problèmes à chercher à la maison, doivent compléter le dispositif. Des formes d’évaluation diversifiées En mathématiques, il y a une dimension de « performance » : on a compris, ou pas ; on a le bon résultat, ou pas. Même si les choses sont plus nuancées, l’alternative réussite/échec est une réalité ressentie par les élèves et leurs familles, ce qui engendre un phénomène maintenant bien décrit par les spécialistes : l’anxiété mathématique. C’est pourquoi il est particulièrement important de distinguer évaluation formative, qui permet à chaque élève (ainsi qu’à l’enseignant) de savoir où il en est de ses apprentissages, et l’évaluation sommative. L’évaluation formative a lieu lors des séances d’exercices, où, avec l’aide l’enseignant, l’élève se rend compte de son degré d’assimilation d’une connaissance ou d’un savoir-faire. Cette évaluation ne doit pas être perçue comme une sanction mais comme une aide. En fin de séquence, une évaluation sommative, sous forme d’un contrôle en temps limité, permet de faire le point, et éventuellement de recommander à l’élève un travail supplémentaire de remise à niveau. 35 Les compétences visées Les trois grandes compétences visées par l’enseignement des mathématiques Les grandes compétences M1, M2, M3 décrites ici sont les mêmes que celles qui ont été identifiées pour le Fondamental, mais les sous-compétences sont bien évidemment plus avancées.    M1. Maîtriser les objets et le langage des mathématiques M2. Appréhender la démarche mathématique basée sur la résolution de problèmes et sur le raisonnement M3. Se situer et agir en citoyen responsable, dans un souci d’enrichissement, de préservation et de protection de la vie sociale et de l’environnement Description détaillée des compétences M1, M2, M3 M1. Maîtriser les objets et le langage des mathématiques Au niveau du Secondaire, les objets mathématiques sont plus nombreux et plus complexes. Outre les nombres et le calcul sur les nombres, le calcul algébrique, la notion de fonction, l’utilisation de l’algèbre en géométrie, les concepts probabilistes, les outils statistiques de traitement des données, l’algorithmique ont maintenant une place centrale. Plus spécifiquement, on attend que les élèves : – M1a. comprennent les nombres, leurs représentations visuelles, la représentation symbolique des nombres, le calcul numérique et algébrique, et qu’ils associent à ces représentations symboliques des images mentales pertinentes ; – M1b. sachent utiliser le langage de l’algèbre (coordonnées, vecteurs) pour décrire et représenter les objets géométriques ; – M1c. aient une compréhension de la nature incertaine des phénomènes, et sachent utiliser les concepts des probabilités et de la statistique pour les interpréter. M2. Appréhender la démarche mathématique basée sur la résolution de problèmes et sur le raisonnement La pratique des mathématiques met en jeu de manière centrale le raisonnement déductif, et développe la capacité à résoudre des problèmes. Les élèves devront – M2a. avoir une maîtrise du raisonnement logique, et être capables de mener à bien des démonstrations mathématiques ; appliquer le raisonnement logique dans les sciences et les sciences sociales, et dans l’exercice de la citoyenneté ; 36 – M2b. savoir utiliser les équations/inéquations et leur résolution comme un outil de résolution de problèmes ; – M2c. savoir utiliser la notion de fonction mathématique et leur étude pour modéliser et représenter des phénomènes ; – M2d. mettre en œuvre des algorithmes et des programmes informatiques pour résoudre des problèmes ; – M2e. résoudre des problèmes mathématiques, et des problèmes issus des autres sciences et de la technologie. M3. Se situer et agir en citoyen responsable, dans un souci d’enrichissement, de préservation et de protection de la vie sociale et de l’environnement La jeune femme et le jeune homme, à l’issue de l’enseignement secondaire, sont prêts à jouer un rôle-moteur dans la société haïtienne, en ayant la capacité d’agir et de contribuer au développement social, économique et humain d’Haïti et du monde. Ils : – M3a. savent interpréter, représenter et traiter des données en utilisant notamment la statistique ; – M3b. utilisent les outils des mathématiques en lien avec les sciences expérimentales, les sciences sociales et la technologie pour répondre aux enjeux de la société ; – M3c. utilisent le langage des mathématiques pour communiquer, former, informer, comprendre et se faire comprendre ; – M3d. décident en connaissance de cause d’entrer dans la vie active ou de s’engager dans des études supérieures qui les amèneront à exercer des professions de haut niveau. Correspondance entre les compétences du COC et les compétences du programme de mathématiques Compétences du COC Compétences du programme de mathématiques Communiquer de manière efficace dans M2d. Mettre en œuvre des outils numériques, des algorithmes et des programmes toutes les situations de sa formation, de sa informatiques pour représenter des situations et résoudre des problèmes ; vie sociale et de l’exercice de son métier M3c. Utiliser le langage des mathématiques pour communiquer, former, informer, comprendre et se faire comprendre ; S’approprier les méthodes et outils M1. Maîtriser les objets et le langage des mathématiques; nécessaires pour penser, apprendre et M2. Appréhender la démarche mathématique basée sur la résolution de problèmes et travailler de manière autonome sur le raisonnement. 37 Exercer activement sa citoyenneté en s’appuyant sur une connaissance et une compréhension de la société ouverte au monde et à son histoire M1c. Avoir une compréhension de la nature incertaine des phénomènes, et savoir utiliser les concepts des probabilités et de la statistique pour les interpréter. Étendre ses connaissances scientifiques et les mettre au service de son engagement pour un développement durable M2d. Mettre en œuvre des outils numériques, des algorithmes et des programmes informatiques pour représenter des situations et résoudre des problèmes ; M2a. Avoir une maîtrise du raisonnement logique, et être capables de mener à bien des démonstrations mathématiques ; appliquer le raisonnement logique dans les sciences et les sciences sociales, et dans l’exercice de la citoyenneté. M2e. Résoudre des problèmes mathématiques, et des problèmes issus des autres sciences et de la technologie. M3a. Savoir interpréter, représenter et traiter des données en utilisant notamment la statistique ; M3b. Utiliser les outils des mathématiques en lien avec les sciences expérimentales, les sciences sociales et la technologie pour répondre aux enjeux de la société ; Concevoir, planifier et réaliser un projet innovant M3c. Utiliser le langage des mathématiques pour communiquer, former, informer, comprendre et se faire comprendre ; M2b. Savoir utiliser les équations/inéquations et leur résolution comme un outil de résolution de problèmes ; M2c. Savoir utiliser la notion de fonction mathématique et leur étude pour modéliser et représenter des phénomènes ; M2d. Mettre en œuvre des outils numériques, des algorithmes et des programmes informatiques pour représenter des situations et résoudre des problèmes ; M2e. Résoudre des problèmes mathématiques, et des problèmes issus des autres sciences et de la technologie. Affirmer toutes les dimensions de sa personnalité M2a. Avoir une maîtrise du raisonnement logique, et être capable de mener à bien des démonstrations mathématiques ; appliquer le raisonnement logique dans les sciences et les sciences sociales, et dans l’exercice de la citoyenneté. Préparer et engager les orientations de sa formation et sa vie professionnelle M3d. Décider en connaissance de cause d’entrer dans la vie active ou de s’engager dans des études supérieures qui l’amèneront à exercer des professions de haut niveau. 38 Évaluation des compétences La maîtrise des savoir-faire mathématiques, appuyés sur un corpus important de connaissances, est un objectif primordial de leur enseignement, et constitue donc une part très importante des trois formes d’évaluation (formative, sommative et certificative). Comme cela a été dit plus haut, il est particulièrement important que l’évaluation formative joue pleinement son rôle, d’accompagnement des élèves dans l’acquisition des connaissances et des savoir-faire. On veillera à ce que, progressivement, les élèves soient confrontés à des tâches de plus en plus complexes, où il ne s’agit pas de résoudre un exercice correspondant à un savoir-faire bien délimité (par exemple, résoudre l’équation ), mais de traiter une situation faisant appel à des connaissances relevant de parties différentes du programme, demandant une étape de modélisation, exigeant une prise d’initiative, etc. Pour évaluer ses élèves, l’enseignant s’appuiera à la fois sur l’observation en classe et sur des contrôles classiques en temps limité. Dans la mesure du possible, on demandera aux élèves de réaliser des projets de manière collective, soit dans le seul cadre de l’enseignement des mathématiques, soit en lien avec d’autres matières. Mode d’emploi des programmes Le programme est divisé en neuf unités d’apprentissage,          Nombres et calculs [NC] Calcul algébrique [CA] Fonctions [F] Géométrie [G] Probabilités [P] Statistique [S] Algorithmique et programmation [AP] Logique, raisonnement [LR] Matrices et graphes [MG]. Il y a bien évidemment de nombreux liens entre les connaissances et savoir-faire de ces différentes unités d’apprentissage, en particulier entre « Nombres et calculs », « Calcul algébrique » et « Fonctions ». Les unités d’apprentissage ne doivent donc pas être enseignées l’une à la suite de l’autre, mais dans le cadre d’une progression réfléchie. De plus, les deux unités, 39 « Algorithmique et programmation » et « Logique, raisonnement » sont transversales aux autres unités. Elles ne doivent pas faire l’objet de séances spécifiques ; leurs contenus correspondent à la récapitulation des savoirs et des activités en lien avec leur titre, mais qui auront été traités tout au long de l’année dans le contexte des autres unités d’apprentissage. Ces unités d’apprentissage sont présentes la plupart des années et la plupart des séries selon le tableau suivant, mais avec des contenus adaptés à chaque série. NC CA F G P S AP LR S1 X X X X X X X X S2 X X X X X X X X S3 MP X X X X X X X X X S3 SVT X X X X X X X X X S3 SES X X X X X X X X X S3 LLA X X X X X X X X S4 MP X X X X X X X X S4 SVT X X X X X X X S4 SES X X X X X X X S4 LLA X X X X X X 40 MG Chaque programme est présenté en trois colonnes : Savoirs Savoir-faire Connaissances/savoirs exigibles, qui doivent être présentés aux élèves et que ceux-ci doivent connaître. Les connaissances de cette colonne, en particulier les formules indiquées, sont en nombre limité ; celles qui s’en déduisent immédiatement ne sont pas indiquées, et ne sont pas à mémoriser. Savoir-faire exigibles, en général présentés par des phrases verbales (produire, tester, substituer…). Attention : les savoir-faire qui résultent directement des Exemple : dans le programme de l’UA Calcul connaissances de la colonne de algébrique de l’année 2, on trouve dans la colonne de gauche ne sont pas répétés. gauche : Compatibilité des inégalités avec l’addition : pour tout Exemple : dans le programme de l’UA Logique, raisonnement , si et seulement si de l’année 2, le raisonnement par l’absurde est dans la Il n’est pas indiqué la compatibilité avec la colonne de gauche, rien n’est soustraction, car ce n’est pas une propriété spécifié dans la colonne du supplémentaire, différente, mais la même propriété milieu, car il est clair que l’enseignant doit proposer des formulée différemment : exemples de raisonnement par l’absurde, et poser des équivaut à exercices dans lesquels les élèves doivent utiliser un tel raisonnement. Il ne faut pas multiplier le nombre de formules à retenir, mais permettre aux élèves de comprendre comment trouver d’autres formules à partir de l’une d’elles. 41 Suggestions d’activités Ici sont indiquées des activités possibles, qui illustrent les contenus des deux colonnes de gauche, ou qui permettent d’aller plus loin. Les connaissances et les savoir-faire proposés dans cette colonne ne sont en aucun cas exigibles. Le professeur a loisir d’en choisir d’autres qu’il jugerait plus adaptées aux besoins et au niveau de ses élèves. Les unités d’apprentissage Année 1 UA Nombres et calculs Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Nombres entiers naturels Calcul numérique Appliquer les critères de divisibilité Modéliser et résoudre des problèmes par 2, 3, et 5 pour dresser la liste des numériques mobilisant les notions de Notions de diviseur et de multiple. multiple, de diviseur, de PGCD, de diviseurs d’un nombre entier. PPCM. Plus grand commun diviseur (PGCD). Sur des exemples numériques, calculer Algorithme d’Euclide. le quotient et le reste dans une Utiliser un tableur pour dresser la liste division euclidienne. Faire le lien avec des multiples communs à deux Plus petit commun multiple (PPCM). nombres entiers de grande taille et en la division posée. Division euclidienne d’un entier déduire leur PPCM. Appliquer l’algorithme d’Euclide pour naturel par entier naturel non nul. déterminer le PGCD de deux nombres Exemples d’exercices utilisant le Nombres premiers : définition, crible entiers. PPCM et le PGCD : d’Eratosthène. Vérifier que le produit du PGCD par 1. Une personne possède entre 400 et 450 livres. Elle décide de les le PPCM de deux nombres est égal à revendre sur internet pour en leur produit. Décomposition d’un nombre entier en acheter d’autres. Elle observe qu’elle peut regrouper ses livres par facteurs premiers (résultat admis). Utiliser le crible d’Eratosthène pour paquets de 3, de 5, ou de 7 livres. dresser la liste des nombres premiers Combien de livres cette personne inférieurs ou égaux à 100. possède-t-elle exactement ? 42 Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers. 2. Dans une salle de bains, on veut recouvrir un mur de 210 cm de haut et de 135 cm de large avec un nombre entier de carreaux de forme carrée dont la mesure du côté est un nombre entier de centimètres. Afin d’acheter le moins de carreaux possibles, on cherche les carreaux de taille maximale. Déterminer le côté de chaque carreau et le nombre de carreaux à acheter. Calcul littéral Démontrer que la somme de deux Écrire un algorithme pour déterminer nombres pairs (ou de deux nombres tous les multiples d’un nombre qui Écritures littérales d’un nombre pair, impairs) est un nombre pair. sont inférieurs ou égaux à un nombre d’un nombre impair. . Démontrer que le produit de deux Écriture littérale du fait qu’un nombre nombres impairs est un nombre Coder cet algorithme en Python. a est un multiple d’un nombre b non impair. nul. Écrire l’algorithme de la division Sur une demi-droite, représenter les euclidienne par soustractions Expression littérale de la division multiples de le quotient et le successives. euclidienne : reste avec . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les notions figurant dans ce bloc ont déjà été étudiées au cycle Fondamental. Néanmoins, les revoir est nécessaire, à la fois sous l’angle numérique et littéral. Il importe que les élèves comprennent que l’usage d’une lettre pour désigner n’importe quelle valeur numérique permet d’énoncer et de démontrer des propriétés générales. L’utilisation des lettres dans le calcul littéral est à mettre en regard avec celle des variables en informatique. 43 BLOC 2 Fractions : calcul numérique Fractions d’entiers relatifs. Égalité de deux fractions. Simplifier une fraction pour la rendre Écrire une fraction comme la somme d’un entier et d’une fraction comprise irréductible. entre 0 et 1. Forme irréductible d’une fraction. Positionner une fraction (positive ou négative) sur un axe gradué. Démontrer qu’une fraction Fractions décimales, fractions non décimales. Additionner et soustraire des fractions. Multiplier deux fractions. Représentation d’une fraction Déterminer l’inverse d’une fraction. décimale par une écriture à virgule et inversement, exprimer un nombre Diviser une fraction par une fraction. décimal sous la forme d’une fraction décimale Opérations sur les fractions : addition, soustraction, multiplication. Inverse d’une fraction ; division d’une fraction par une fraction non nulle. Calcul littéral Conception d’une fraction comme un Manipuler des fractions données sous formes littérales. quotient : est le nombre qui, quand on le multiplie par donne . À partir de relations entre variables (par exemple ; V= ; exprimer l’une des 44 avec est un nombre décimal. Résoudre des problèmes mettant en jeu des fractions. Égalité de deux fractions : variables comme un quotient littéral. si et seulement si (égalité des produits en croix). Règles du calcul fractionnaire : ; ; Indications didactiques ou pédagogiques, remarques.La notion de fraction est essentielle en mathématique, mais délicate et sa présentation didactique doit être réfléchie. Il est indispensable de réactiver sa compréhension par différentes représentations graphiques, mais sans se limiter aux fractions inférieures à 1 et aux dessins des parts de pizzas. Il importe que les élèves dépassent la conception d’une fraction comme résultat d’un partage, pour accéder à sa conception en tant que quotient. Ainsi, la fraction , ne doit pas être seulement interprétée comme deux parts d’une pizza partagée en trois parts égales (conception « partage »), mais aussi comme le nombre qui, multiplié par (conception quotient). C’est un passage obligé avant la résolution d’équations du type , donne Le positionnement d’une fraction sur un axe aide à l’acquisition de la conception d’une fraction en tant que nombre rationnel. La maîtrise et la mémorisation des règles opératoires supposent que les élèves aient d’abord compris leur sens, au moins sur un exemple. Ainsi, l’addition et la soustraction des fractions (qui ne sont pas naturelles, et dont les règles diffèrent de celles de la multiplication) sont présentées de manière progressive, en commençant par le calcul numérique : 45 on débute par des fractions ayant le même dénominateur en verbalisant le résultat (deux cinquièmes + sept cinquièmes est égal à neuf cinquièmes) ; on poursuit par le cas où le dénominateur de l’une est un multiple du dénominateur de l’autre, car la réduction au même dénominateur est alorssimple. La forme ultime met en jeu le PPCM des deux dénominateurs. La compréhension du sens de la division par une fraction nécessite une approche progressive, présentée ici sur un exemple : - on commence par diviser un entier par une fraction, en sollicitant la conception « quotition » de la division: par exemple, pour diviser par , on ne cherche pas comment partager 4 pizzas entre « un tiers de personne », mais combien de tiers de pizza on peut mettre dans 4 pizzas. Un simple dessin suffit à trouver qu’il en faut On a bien multiplié 4 par l’inverse de - On étend ensuite à la division de , qui est le cinquième de la précédente division de par . : . On a bien multiplié par l’inverse de - On passe enfin à la division de par qui est le septième de la précédente division de par : . On a bien multiplié par l’inverse de Une fois ces justifications données, on peut présenter la « règle » sous forme littérale. Mais au lieu d’être « imposée par l’enseignant », elle acquiert du sens avant d’être mémorisée et utilisée de manière automatique. La mauvaise compréhension de l’origine d’une règle explique qu’elle soit mal appliquée, ou qu’elle soit étendue en dehors de son cadre de validité. Ainsi, un élève qui n’a pas compris d’où vient la règle de la multiplication des fractions va l’étendre de façon erronée à l’addition. BLOC 3 Puissances entières Calcul numérique Réduire des expressions numériques Mettre en évidence, sur des valeurs (produits, quotients) comportant des numériques de , et le fait qu’en Puissances d’un nombre réel puissances positives ou négatives. général (d’exposant un entier positif) définies 46 comme des produits itérés. Puissances d’exposants entiers Utiliser, pour des valeurs numériques négatifs d’un nombre réel non nul entières (positives et négatives) de Associer à des objets des ordres de définies à partir de l’inverse. et , des égalités du type : grandeurs (par exemple la taille d’un Opérations (uniquement sur des atome, d’une bactérie, d’une alvéole valeurs numériques) : produit, pulmonaire, la longueur de l’intestin, quotient. la capacité de stockage d’un disque dur, la vitesse du son et celle de la Cas particuliers des puissances de lumière, la population haïtienne et la population mondiale, la distance de la Préfixes liés aux puissances de 10 : Terre à la Lune et au Soleil, la distance déca, hecto, kilo, méga, giga, téra ; du Soleil à l’étoile la plus proche). déci, centi, milli, micro, nano, pico. Écriture scientifique d’un nombre. Ordre de grandeur des puissances de utilisées en informatique : et Calcul littéral Convention : pour Puissances positives définies comme produit itéré. Inverse : Exemples de calculs possibles : Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur du résultat d’un calcul. Effectuer des calculs et donner le résultat en notation scientifique. Utiliser les définitions pour démontrer les règles opératoires sur les puissances. Simplifier des expressions littérales (produits, quotients) en utilisant des puissances. 47 ; ). Puissances négatives définies à partir de pour entier naturel. Règles opératoires : Pour tous entiers relatifs BLOC 4 et : Racines carrées Calcul numérique Carrés parfaits. Racine carrée d’un nombre positif. Opérations : produit et quotient de racines carrées. Simplification de radicaux, du type En 1897, Edward Goodwin fit voter en première lecture à l’assemblée générale de l’Indiana que la « vraie » En utilisant les carrés parfaits, valeur de est . Avait-il raison ou encadrer une racine carrée par deux entiers naturels consécutifs (sans en tort ? chercher une valeur décimale Formats des feuilles de papier approchée). Connaître les carrés parfaits compris entre 1 et 144. Calculer l’hypoténuse d’un triangle rectangle ou la longueur de la diagonale d’un rectangle en fonction des longueurs des côtés. Deux rectangles ont la même forme lorsque les rapports de leur longueur sur leur largeur sont égaux. Les formats etc. des feuilles de papier ont été conçus pour que les feuilles de ces différents formats aient toutes la même forme. 48 Par ailleurs, une feuille de papier au format A0 a une aire de et lorsqu’on la coupe en deux au milieu de sa longueur, on obtient deux feuilles au format A1 ; lorsqu’on coupe une feuille A1 au milieu de sa longueur on obtient deux feuilles au format A2, etc. Calculer le rapport de la longueur sur la largeur pour les feuilles de tous ces formats. Calcul littéral Si désigne un nombre positif ou nul, Démontrer les règles sur le produit et À l’aide démontrer le quotient par élévation au carré. d’un contre-exemple, que l’égalité est en général est défini comme l’unique nombre Utiliser la définition de la racine carrée fausse. et les règles opératoires pour positif dont le carré est égal à simplifier des calculs du type : Déterminer les seules valeurs de et Opérations : de pour lesquelles elle est vraie. , en indiquant les Pour positifs ou nuls valeurs de pour lesquelles l’expression a un sens. ; (si est non nul). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La recherche de la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1m pose le problème de l’existence de la racine carrée de 49 Par encadrement, les élèves peuvent vérifier que la longueur cherchée est comprise entre entre et et , puis entre et , puis , etc. Il est possible de faire démontrer aux élèves qu’il n’existe nombre décimal dont le carré est égal à 2 (en raisonnant par l’absurde et en considérant le dernier chiffre non nul dans son écriture décimale). Il sera même démontré en S2 qu’il n’existe aucun nombre rationnel dont le carré est égal à . D’où la nécessité d’introduire un nouveau type de nombres, les nombres irrationnels qui seront étudiés plus en détail en S2. UA Calcul algébrique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Expressions littérales Usage d’une lettre en tant que variable Produire une expression littérale à une pour représenter un nombre ou plusieurs variables (périmètre et aire d’un carré, d’un rectangle, d’un quelconque. disque, volume d’une pyramide). Substituer une ou plusieurs valeurs Substitution d’une valeur numérique à numériques à des lettres dans une une lettre dans une expression expression littérale. littérale. Notion de programme de calcul. Exemple d’usage d’une lettre en tant que variable Le schéma ci-dessous présente un carrelage avec 3 carreaux sur le côté du carré central blanc et 5 carreaux sur le pourtour gris. Tester sur des valeurs numériques l’égalité de deux expressions littérales. Transformer un programme de calcul en une expression littérale. Démontrer Établir une expression littérale que deux programmes de calcul donnant le nombre de carreaux gris aboutissent au même résultat quels du pourtour en fonction du nombre de carreaux sur le côté du carré que soient les nombres d’entrée central blanc. 50 Calculer le nombre de carreaux gris lorsque le côté du carré blanc est composé de 100 carreaux. Exemples de programme de calcul Programme 1 : Choisir un nombre. Lui ajouter 3 Éleversa somme au carré. Soustraire le carré du nombre de départ. Écrire une expression littérale correspondant à ce programme de calcul. Programme 2 : Choisir un nombre. Le multiplier par 6 et ajouter 9 au résultat Écrire une expression littérale correspondant à ce programme de calcul. Vérifier que, quel que soit le nombre choisi en entrée, les deux programmes fournissent le même résultat en sortie. 51 Réduction d’une expression littérale à une variable en utilisant notamment : - les conventions d’écriture : , pour - la commutativité : - les puissances - la distributivité : - pour Substituer par et l’expression littérale par dans et comprendre pourquoi le résultat de la substitution n’est pas . - les propriétés : , ; ; ; , etc Conservation des égalités : Si alors et Règles de simplification : si si alors , et si Démontrer les règles de conservation des égalités par soustraction par un même nombre, et par division par un même nombre non nul à partir des règles similaires pour l’addition et la multiplication, à savoir : Si alors et, pour . , alors 52 Annulation d’un produit : si et seulement si ou . Distributivité simple : Double distributivité : Utiliser l’implication « Si ou sous la forme « Si et alors . Utiliser la distributivité simple dans Visualiser la distributivité simple par les deux sens : des aires de rectangles : - la transformation d’une somme en un produit (factorisation), notamment la réduction de sommes du type - la transformation d’un produit en somme (développement) ; Utiliser la distributivité simple de la multiplication par rapport à l’addition Visualiser la double distributivité par pour démontrer : des aires de rectangles : - la distributivité simple de la multiplication par rapport à la soustraction ; - la distributivité double. Substituer à et d’autres valeurs littérales : par exemple, développer des expressions du type . Calculs littéraux sur les fractions, les puissances et les racines carrées. Se reporter à l’UA « Nombres et calculs ». 53 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’usage de lettres pour représenter des nombres, ainsi que les règles du calcul algébrique ont déjà été étudiés au cycle Fondamental, mais il est extrêmement important de réactiver les savoirs et les savoir-faire algébriques tout au long du cycle secondaire, dans le cadre d’une progression réfléchie. En effet, le passage du domaine des nombres à celui des lettres présente une difficulté de nature conceptuelle, d’autant que le statut des lettres varie selon leur utilisation en algèbre : ce sont parfois des variables (pour énoncer ou démontrer une propriété valable pour toute une catégorie de nombres), parfois des inconnues (dans les équations), parfois des paramètres (également dans les équations). La compréhension de ces notions et l’acquisition d’automatismes permettant de les manipuler correctement et efficacement nécessite du temps, et surtout une pratique régulière. Seul le calcul littéral permet d’énoncer et de démontrer les propriétés générales des nombres. La présentation des contenus de cette UA doit donc être articulée à celle des savoirs et savoir-faire de l’UA « Nombres et calcul », où les notions relevant du calcul littéral sont clairement explicitées. La mémorisation des « règles » du calcul algébrique suppose plusieurs conditions : - d’être limitée à la connaissance d’un petit nombre de règles de base dont les autres se déduisent ; que le plus grand nombre de ces règles de base soient démontrées (par exemple celles du calcul fractionnaire) ou visualisées (par exemple celles de la distributivité), afin de ne pas apparaître comme des formules magiques imposées par l’enseignant ; - que la pratique du calcul algébrique ne soit pas limitée à la durée de la présentation de cette UA, mais fasse l’objet de séances courtes, fréquentes et régulières, organisées tout au long de l’année en suivant une progression didactique appropriée. La suppression du signe dans un produit nécessite de la vigilance : pour certains élèves, l’identification de comme - un produit s’avère délicate. La présence du signe sera alors maintenue aussi longtemps que nécessaire, sa suppression en vue de réduire l’écriture ne devant pas être une source de blocage. 54 BLOC 2 Identités remarquables Appliquer les identités remarquables Visualiser géométriquement dans les deux sens (pour développer identités remarquables. et pour factoriser des expressions littérales). les Développer des expressions du type Appliquer les identités remarquables en substituant aux variables des valeurs numériques ou littérales simples. . Factoriser des expressions du type . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques Le développement des identités remarquables n’est qu’une application de la double distributivité. Mais le passage dans l’autre sens (la factorisation) est plus délicat, car il repose uniquement sur la connaissance des trois identités. La reconnaissance de comme les débuts de carrés sera utilisée en S3 pour mettre un trinôme sous forme canonique. Il est donc important que les élèves mémorisent, dès à présent et dans les deux sens, les trois identités remarquables. Ils apprennent aussi à substituer à et des valeurs numériques ou littérales, ce qui étend le champ d’utilisation des identités remarquables. BLOC 3 Équation du premier degré Pour des valeurs numériques de et Relier la résolution de l’équation à la Pour les élèves en difficulté, on pourra de résolution d’une équation du recherche du nombre qui, multiplié commencer par résoudre « l’égalité à par donne et identifier la solution trou » type comme le quotient de par . 55 Résolution de l’équation à en faisant réapparaître le signe coefficients littéraux en discutant selon la nullité de Pour des valeurs numériques de a et b, Utiliser les propriétés de conservation des égalités pour justifier le passage résolution d’une équation du type de l’équation à l’équation Résoudre alors l’équation. Mise en équation d’un problème du premier degré. Modéliser un problème par une équation du type ou, plus généralement, Résoudre cette équation et interpréter la solution en fonction du contexte. 56 Exemples d’exercices nécessitant une mise en équation Trouver deux entiers consécutifs dont la somme vaut 73. Un père a 29 ans et son fils a 5 ans. Quand l’âge du fils sera-t-il égal au quart de l’âge de son père ? Alice et Bertrand disposent chacun d’une calculatrice. Ils affichent un même nombre sur leur calculatrice. Alice multiplie le nombre affiche par 3, puis ajoute 4 au résultat obtenu. Bertrand, lui, multiplie le nombre affiché par 2, puis ajoute 7 au résultat obtenu. Quand ils ont terminé, ils s’aperçoivent que leurs calculatrices affichent exactement le même résultat. Quel nombre ont-ils affiché au départ ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Même si elle figure au programme du cycle fondamental, la notion d’équation demeure délicate et la maitrise de son statut nécessite du temps. La lettre n’est pas ici une variable, mais une inconnue, de même qu’une équation n’est pas une égalité toujours vraie. Une manière de faciliter la compréhension de cette différence consiste à tester la validité de l’égalité pour différentes valeurs de l’inconnue UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Généralités sur les fonctions Notion de fonction Image, antécédent ; notations Identifier image et antécédent(s) à partir d’un tableau de valeurs d’une fonction. Identifier l’image d’un nombre par une fonction donnée par son expression symbolique. Représentation graphique (ou courbe Lire et interpréter la courbe représentative d’une fonction représentative) d’une fonction. Identifier des images et des antécédents à partir de la courbe représentative d’une fonction. 57 Relier une fonction à un programme de calcul. Exemple possible : représenter le niveau de la mer à Port-au-Prince en fonction de l’heure de la journée Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les fonctions sont des outils mathématiques permettant de modéliser des phénomènes évolutifs continus. Une fonction peut être donnée par une expression symbolique un tableau de valeurs ou une courbe : courbe de température, courbe de prix, courbe d’assimilation de l’alcool dans le sang, électrocardiogramme (ces exemples permettent de montrer qu’on peut interpréter une évolution uniquement à partir d’une courbe sans connaître explicitement la fonction sous-jacente. La lecture d’une courbe est une compétence de base pour tout futur citoyen. BLOC 2 Fonctions linéaires et fonctions affines Fonction linéaire. Déterminer l’expression algébrique Lien entre situation de d’une fonction linéaire à partir de la donnée d’un nombre nonnul et de son proportionnalité et fonction linéaire. image. Représentation d’une fonction linéaire par une droite passant par l’origine. Transformer une augmentation de 5% (à titre d’exemple) en la multiplication par 1,05 et faire la correspondance avec la fonction . En particulier, lien entre la pente (ou Modéliser une situation de Transformation similaire pour une coefficient directeur) de la droite et le proportionnalité par une fonction diminution. linéaire. Utiliser cette fonction pour coefficient de proportionnalité. calculer des valeurs non fournies. Tracer la courbe représentative d’une fonction linéaire donnée par son expression algébrique. Lire sur la représentation graphique d’une fonction linéaire le coefficient de proportionnalité qui lui correspond. Trouver l’expression algébrique d’une 58 fonction linéaire à partir de sa courbe représentative. Fonction affine. Coefficient directeur et ordonnée à l’origine. Tracer la courbe représentative d’une Caractériser les fonctions affines par la fonction affine donnée par son proportionnalité entre l’accroissement de et l’accroissement de . expression symbolique. Lien entre droite et fonction affine. Déterminer l’expression symbolique d’une fonction affine à partir de la donnée de deux nombres et de leurs images, ou du coefficient directeur et d’un nombre et de son image. Modéliser des situations concrètes par des fonctions affines. Étudier des exemples de fonctions affines par morceaux. Fournir aux élèves plusieurs courbes et plusieurs expressions symboliques de fonctions (affines ou non) et leur demander d’associer l’expression symbolique à la courbe qui la représente. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il est important que les élèves comprennent qu’une fonction linéaire est une fonction affine particulière. Le professeur met en garde les élèves sur le fait que la courbe représentative d’une fonction affine est une droite, ce qui ne correspond pas à l’usage courant du mot « courbe ». UA Géométrie Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Connaître et utiliser des configurations géométriques planes Consolidation de la caractérisation des quadrilatères par les longueurs, les Résoudre des problèmes mettant en jeu des triangles et des quadrilatères. 59 Suggestions d’activités angles et les diagonales. Les trois cas d’égalité des triangles. Démontrer que deux triangles sont égaux, homothétiques ou semblables. Triangles homothétiques. Utiliser la caractérisation des triangles semblables pour résoudre des problèmes du type de celui-ci : Sur la figure ci-dessous : - le point appartient au segment [ Triangles semblables définis par la proportionnalité des longueurs de leurs côtés ]; =3; Caractérisation de la similitude de triangles par l’égalité de leurs angles. = 7,5 ; = 5,4 et - les droites ( ) et ( ) sont parallèles ; - les droites ( ) et ( ) sont =9; parallèles. Démontrer que les angles : et ont la même mesure. Démontrer que les triangles ACE et sont semblables. En déduire les longueurs des côtés du 60 triangle . Théorème de Thalès et sa réciproque Résoudre des problèmes mettant en Utiliser les configurations de Thalès et (configuration des triangles emboîtés jeu le théorème de Thalès. de Pythagore pour mettre en place des raisonnements, par exemple : et configuration du papillon). - utiliser le théorème de Thalès pour calculer des longueurs ; Résoudre des problèmes mettant en - utiliser la réciproque du théorème Théorème de Pythagore et sa jeu le théorème de Pythagore. de Thalès pour démontrer que deux réciproque. droites sont parallèles ; - utiliser la contraposée du théorème de Thalès pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles ; - utiliser le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs dans un triangle rectangle ; - utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer que deux segments sont perpendiculaires ; - utiliser la contraposée du théorème de Pythagore pour démontrer que deux segments ne sont pas perpendiculaires. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont sensibilisés au fait que deux triangles semblables ont la même forme, mais pas nécessairement la même taille ni la même orientation. Ils se déduisent l’un de l’autre par un agrandissement ou une réduction. Sur les figures et les configurationsdéjà connues des élèves, l’objectif est double : - mettre l’accent sur les raisonnements et les démonstrations ; - utiliser les théorèmes au programmepour résoudre des problèmes. 61 BLOC 2 Comprendre et utiliser des transformations géométriques du plan Définition et transformations suivantes : propriétés des Réaliser à la main, à l’aide d’un (isométries) logiciel de géométrique ou d’une application de programmation par blocs des frises, des rosaces et des - symétries axiales et centrales ; pavages du plan. - rotations ; - translations ; ainsi que des homothéties de rapport positif. Effet d’uneisométrie (symétrie centrale ou axiale, rotation, translation et leurs composées) et d’un agrandissement ou d’une réduction sur les longueurs, les angles, les aires. Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour réaliser la figure cidessous, sachant que le grand quadrilatère se déduit du quadrilatère ABCD dans l’homothétie de rapport 3: Donner la nature du grand quadrilatère ainsi que les longueurs de ses côtés et son aire. L’enseignant pourra attirer l’attention des élèves sur une différence entre les 62 déplacements (c’est-à-dire les rotations, translations symétries centrales et leurs composés) et les symétries axiales : une figure qui se déduit d’une autre par un déplacement est superposable à la première, alors que ça n’est pas en général le cas pour une symétrie axiale. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est de revoir les transformations géométriques du plan déjà étudiées au cycle fondamental. Il importe que les élèves connaissent leur définition ponctuelle, ainsi que leurs effets (conservation ou non) sur les grandeurs géométriques. L’utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique (par exemple le logiciel GeoGebra, libre et gratuit) complète les constructions à la main : il permet en effet de faire bouger des points pour identifier des invariants et de tester des conjectures. Sa prise en main est très aisée. BLOC 3 Se repérer dans le plan, dans l’espace, sur une sphère Coordonnées cartésiennes du plan : Se repérer : Positionner un point dans le plan abscisse et ordonnée. muni d’un repère cartésien. - sur une droite graduée ; - dans le plan muni d’un repère Lire les coordonnées d’un point du orthogonal. plan muni d’un repère cartésien. Coordonnées cartésiennes de l’espace : Se repérer dans l’espace muni d’un Positionner un point de l’espace muni repère orthogonal ou dans un d’un repère cartésien. abscisse, ordonnée, altitude. parallélépipède rectangle. Lire les coordonnées d’un point de 63 l’espace muni d’un repère cartésien. Coordonnées géographiques sur une sphère : latitude et longitude Se repérer sur une sphère. Positionner un point sur la sphère terrestre à partir de sa latitude et sa longitude. Lire les coordonnées géographiques d’un point de la sphère terrestre. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves ont étudié les systèmes de coordonnées du plan au cycle fondamental, et ont manipulé les coordonnées sur la sphère. Les revoir ici est néanmoins utile, mais l’accent doit être mis sur l’introduction des coordonnées cartésiennes dans l’espace. Les connaissances et les savoir-faire de ce bloc sont utiles non seulement en mathématiques, mais dans de nombreux autres domaines, en particulier la physique, la chimie, les sciences de la vie et de la Terre, la géographie, l’économie, sans oublier la vie quotidienne. UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Connaître et utiliser le formalisme de base des probabilités sur un ensemble fini Expérience épreuve aléatoire à une seule Identifier l’univers correspondant à Les élèves seront amenés à traiter des situations familières dont les résultats une expérience aléatoire. dépendent du hasard et à positionner Éléments de base du langage des Identifier les issues constitutives d’un sur une échelle de probabilité (entre 0 et 1) des événements très probables, probabilités : expérience aléatoire, événement. moyennement probables, peu univers (noté ), issue, évènement, Faire le lien entre le langage des probables, impossible. évènement certain, évènement ensembles et celui des probabilités. 64 impossible, évènement élémentaire. Événement contraire d’un événement ; notation . Intersection et réunion de deux événements Événements incompatibles. Correspondances entre : - univers et ensemble ; - élément et issue ; - événement et sous-ensemble, en particulier événement impossible et ensemble vide ; - connecteur « ou » entre deux événements et réunion de sousensembles ; - connecteur « et » entre deux événements et intersection de sousensembles. Identifier le contraire d’un événement. Définition d’une probabilité comme Calculer, dans des situations simples : L’enseignant pourra faire démontrer aux élèves, à partir des axiomes de l’association, à tout événement d’un - la probabilité d’un événement à Kolmogorov que : nombre vérifiant les 3 axiomes partir de celle de son événement (dits axiomes de Kolmogorov) : contraire ; - la probabilité de la réunion ou de • l’intersection de deux événements. •P • si Probabilité de la réunion de deux événements quelconques : La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le constituent. 65 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 1° L’enseignant introduira le langage des probabilités de manière progressive, en commençant par définir, sur des exemples, ce qu’est une expérience aléatoire, puis une issue (tirer 6 aux dés, pile à pile-ou-face, etc.), puis l’univers (comme ensemble de toutes les issues possibles), puis un événement correspondant à une ou plusieurs issues (tirer un nombre pair, ou un nombre supérieur à 5 aux dés, etc.). 2° Le dictionnaire entre langage des probabilités et langage ensembliste ne va pas de soi pour les élèves. Il faut y passer du temps, sur la base d’exemples. Ainsi l’incompatibilité de deux événements « les deux événements ne peuvent pas se produire en même temps » se traduit par « l’intersection est vide ». 3° L’enseignant prendra appui sur le fait que la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le constituent. BLOC 2 Reconnaître et traiter une situation d’équiprobabilité Modèle de l’équiprobabilité. Égalité . Calculer des probabilités dans des Jeu de pile ou face (pièce nonsituations simples relevant de truquée). l’équiprobabilité sur un univers fini. Lancer d’un ou de deux dés. Tirage avec ou sans remise dans une Exprimer les probabilités sous urne. différentes formes (fractionnaire, Roue d’une loterie à plusieurs secteurs. décimale, pourcentage). Jeux de cartes. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il importe que l’enseignant indique qu’il y existe aussi des situations de non-équiprobabilité (par exemple, si on tire une boule dans une urne où il y a deux fois plus de boules rouges que de boules blanches, ou si on lance un dé est pipé). 66 UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Série statistique associée à un caractère discret Tableau d’effectifs. Tableau de fréquences Lire et produire un tableau d’effectifs L’enseignant proposera des données à une seule entrée correspondant à un brutes que les élèves devront consigner dans des tableaux d’effectifs caractère discret. et de fréquences. Lire et produire un tableau fréquences à une seule entrée. Il pourra être demandé aux élèves de de compléter un effectif manquant à partir de l’effectif total, ou de compléter une fréquence manquante. Les fréquences seront exprimées sous Calculer et interpréter des effectifs et forme de nombres décimaux ou de pourcentages. des fréquences cumulées. Série statistique associée à un caractère continu Lire et produire un tableau d’effectifs correspondant à des données réparties Tableau d’effectifs correspondant à en classes. des données réparties en classes. Classes de données. Tableau de fréquences. Lire et produire un tableau de fréquences à une seule entrée. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il est possible de regrouper par classes des données discrètes. 67 On se limite à des classes de même amplitude. BLOC 2 Lire et produire des représentations graphiques de données Diagrammes en bâton pour produire un histogramme. Histogrammes Diagrammes circulaires et demicirculaires BLOC 3 Les élèves seront amenés à lire et à produire des représentations de données, mais aussi à choisir, parmi plusieurs représentations, celle qui est la mieux adaptée pour rendre compte des spécificités des données. Calculer et interpréter des indicateurs d’une série statistique discrète Indicateurs de position : moyenne, À partir d’un tableau de données les élèves calculent la moyenne de deux médiane. manières suivantes - quotient de la somme des valeurs par l’effectif total ; Premiers indicateurs de dispersion : - moyenne des valeurs pondérées par leurs effectifs. étendue, quartiles, intervalle interquartile. Ils savent déterminer une valeur médiane. Pour de petits effectifs, les élèves devront savoir calculer une moyenne à la main, par la procédure de leur choix. Pour des effectifs plus grands, ils utiliseront une calculatrice ou un tableur. Les élèves seront amenés à interpréter des indicateurs statistiques, notamment les premier et troisième quartiles et l’intervalle interquartile. Sur des exemples bien choisis, l’enseignant sensibilisera les élèves à bien différencier moyenne et médiane. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’attention des élèves est attirée sur le fait qu’on parle d’une valeur médiane, car il peut y avoir plusieurs choix possibles de valeur médiane. Le même problème se pose pour les quartiles. 68 UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notions d’algorithme et de programme Algorithme, algorithme. instructions d’un Réaliser des activités d’algorithmique Analyser des algorithmes issus de la vie quotidienne : débranchée. - recette de cuisine ; - instructions de déplacement d’un robot ; Écrire un algorithme dans le langage Analyser des algorithmes naturel. mathématiques : - algorithme de l’addition de deux entiers naturels à trois chiffres ; - algorithmes donnant la liste des diviseurs d’un nombre entier ; - algorithme de la division euclidienne par soustractions successives. Écrire dans le langage naturel un algorithme permettant d’effectuer un déplacement ou un calcul. Exécuter différents programmes déjà écrits en Scratch : Programme. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Un algorithme est défini comme une méthode permettant de résoudre un problème de manière systématique en un nombre fini et ordonné d’étapes. Un programme est le résultat du codage d’un algorithme dans un langage compréhensible par une machine. 69 BLOC 2 Utiliser une application de programmation par blocs (Scratch) pour découvrir les premières notions d’informatique Boucles. Tests. Mettre en ordre et compléter des blocs Identifier, parmi plusieurs pour construire un programme simple programmes fournis, celui qui permet sur une application de programmation d’obtenir une figure donnée. par blocs. En utilisant une instruction de déplacement et une boucle bornée, écrire un programme qui permet de Écrire un script de déplacement ou de dessiner un triangle équilatéral, un construction géométrique utilisant des carré, un rectangle. instructions conditionnelles (tests) et des boucles bornées. Écrire un programme qui permet d’obtenir une figure plus complexe, par exemple : Simuler une expérience aléatoire. Écrire un programme qui permet de dessiner une frise géométrique. Écrire un programme qui renvoie 100 nombres aléatoires égaux à 0 ou à 1, et qui compte le nombre de 1 obtenus. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Scratch est l’outil idéal pour initier les jeunes enfants à la programmation et au code informatique. Publié sous licence Open Source, c’est un logiciel entièrement gratuit qui ne comporte aucune publicité. Il a été développé pour permettre aux enfants (dès l’âge de sept ou huit ans) d’appréhender de manière intuitive et ludique les techniques nécessaires à la 70 programmation, sans avoir à écrire eux-mêmes le code informatique. Le logiciel propose en effet une série de blocs d’instructions déjà écrits relatifs à des actions de natures variées effectuées par un ou plusieurs personnages appelés « lutins ». L’utilisateur doit choisir, déplacer et ordonner ceux qui correspondent à la suite d’actions qu’il souhaite faire effectuer aux lutins. Il peut ensuite exécuter le programme assemblé et observer ses effets. L’interface visuelle du logiciel est très ludique et sa prise en main est très intuitive. Scratch permet de développer l’esprit créatif des jeunes à travers la réalisation de projets variés, notamment des jeux. UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent toutes les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui lui serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, fonctions, nombres et calculs, calcul algébrique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de S1. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Utiliser une lettre pour énoncer ou démontrer une propriété générale Rôle de la lettre pour énoncer une Utiliser une lettre pour écrire une propriété générale. propriété mathématique. Passer du langage naturel au langage mathématique et vice versa Démontrer une propriété mathématique énoncée avec une ou plusieurs lettres. Traduire en langage mathématique que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. Démontrer que deux fractions et sont égales si et seulement si Démontrer 71 que , pour toutes fractions dénominateur. Démontrer que et de même pour toutes fractions et Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves n’utilisent pas les notations des quantificateurs existentiel et universel, mais énoncent et écrivent en langage naturel « pour tout … » et « « il existe… ». BLOC 2 Comprendre et mobiliser des raisonnements mathématiques Raisonnement déductif. Comprendre l’articulation entre les Avant de produire eux-mêmes des différentes étapes d’un raisonnement démonstrations complètes, les élèves déductif. sont amenés à : Dans le cadre de la résolution de problèmes, mobiliser des raisonnements et les rédiger sous la forme de démonstrations. - mettre dans l’ordre différentes étapes d’un raisonnement ; - compléter une démonstration partiellement rédigée. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à reconnaître des analogies et des particularités entre un problème à résoudre et une situation déjà connue. En géométrie, les élèves doivent comprendre que, si l’observation d’une figure est un support au raisonnement, elle ne peut en aucune manière s’y substituer. Dans une démarche inductive, à la suite d’essais sur des cas particuliers, les élèves sont amenés à émettre des conjectures qu’ils devront ensuite prouver à l’aide d’une démonstration ou infirmer en produisant un contre-exemple. 72 Année 2 UA Nombres et calculs Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Ensembles de nombres Nombres décimaux (positifs ou Pour un nombre décimal, passer de Présenter la découverte de l’existence négatifs) l’écriture à virgule à l’écriture grandeurs « incommensurables » (grandeurs Un nombre est un nombre fractionnaire et vice-versa. dont le rapport est irrationnel) par les Pythagoriciens. décimal s’il existe deux entiers relatifs et tels que Sur des exemples, observer que le Nombres rationnels développement décimal d’un Démontrer que Un nombre est un nombre nombre rationnel non décimal est décimal. rationnel s’il existe un entier relatif illimité et périodique à partir d’un et un entier naturel tels que certain nombre de décimales. . Démontrer que Existence de nombres irrationnels : Donner une valeur approchée (par excès ou par défaut), ou un Nombres réels ; représentation par encadrement, à près, d’un la droite graduée. nombre réel. Inclusions par exemple et . Encadrement d’un nombre réel à près par deux nombres décimaux. Développement décimal d’un nombre réel. Positionner un nombre réel sur une droite graduée, de manière exacte ou illimité approchée. 73 n’est pas un nombre est irrationnel. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Aucune présentation rigoureuse d’un développement décimal illimité ne peut être faite à ce niveau, car elle suppose la connaissance des séries. Les élèves peuvent observer la périodicité du développement décimal d’un nombre rationnel en effectuant la division du numérateur par le dénominateur. Ils doivent par ailleurs savoir que les résultats décimaux fournis par une calculatrice sont en général tronqués. Aucune définition des nombres réels ne peut être donnée à ce niveau. Les élèves connaissent les nombres rationnels et savent qu’il existe des nombres qui n’en sont pas. La droite graduée est une représentation géométrique de l’ensemble des nombres réels. Il importe que les élèves sachent y positionner des nombres, de manière exacte ou approchée. La compréhension du sens des nombres repose sur cette représentation et sur la maîtrise d’automatismes de calcul qui ne peuvent s’acquérir que par une pratique régulière et fréquente. Les professeurs sont encouragés à organiser, au début de chaque cours, des activités de calcul sur un créneau court (5 à 10 minutes) mettant en jeu des nombres entiers positifs ou négatifs, des nombres décimaux positifs ou négatifs, des fractions, des puissances, des racines carrées. BLOC 2 Inégalités, intervalles valeur absolue Interpréter l’ordre de manière géométrique et numérique : si et seulement si a est à droite Ordre dans Symboles d’inégalités :>, ≥, <, ≤. Compatibilité avec les opérations : pour tout nombre réel , si et seulement si de b sur l’axe orienté si et seulement si Relier la position de à la règle des signes. ; si et , alors 74 par rapport à Manipuler des inégalités. si et , alors Intervalles bornés, ouverts, fermés, Représenter des intervalles sur une Étudier l’intersection et la réunion de deux semi-ouverts. droite graduée. intervalles. Notations . Intervalles non Interpréter l’appartenance d’un réel à un intervalle par une ou deux inégalités. bornés. Valeur absolue. Définition ; notation . Pour un nombre positif donné, Démontrer que l‘inégalité résoudre l’équation et les n’est pas toujours vraie. Déterminer les valeurs de et pour lesquelles elle l’est. inéquations et Interprétation en termes de distance Représenter les solutions sur une droite graduée. à 0. Égalité Démontrer l’inégalité triangulaire en discutant selon que et sont ou . Démontrer la double inégalité à partir de Distance entre deux nombres non de même signe et en s’appuyant l’inégalité triangulaire dans laquelle on définie par la valeur absolue de leur sur une représentation des nombres remplace et par des valeurs adéquates. différence. , et sur la droite graduée. Pour tout nombre réel nombre réel et tout Démontrer que positif , et seulement si si ou représentation de l’intervalle sur la droite graduée et caractérisation de l’appartenance de à cet intervalle par l’inégalité ou la double inégalité 75 . Inégalité triangulaire . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La valeur absolue est une notion délicate, qu’il convient de présenter sous différents angles : sa valeur selon le signe du nombre , son interprétation géométrique en tant que de distance à 0, sa caractérisation comme Certaines égalités ou inégalités comportant des valeurs absolues peuvent être démontrées par disjonction de cas selon le signe, ou par élévation au carré. BLOC 3 Racine -ième Racine -ième d’un nombre réel Si désigne le taux moyen Calculer le taux d’évolution mensuel qui %. positif définie comme l’unique d’évolution, sur périodes, équivaut à un taux annuel de nombre positif dont la puissance - correspondant au taux global Une publicité d’un organisme bancaire annonce : ième est d’évolution , démontrer la formule « Pour le placement d’un capital de 1000$, la banque accorde, sur les deux premiers mois, et l’utiliser sur des Notation . un taux mensuel correspondant à un taux exemples concrets. annuel de %, puis, sur les dix derniers mois Extension des propriétés vues pour un taux mensuel correspondant au taux la racine carrée. annuel de % ». Déterminer, sous ces conditions, le taux d’évolution du capital sur un an. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour tout nombre réel positif , on admet l’existence et l’unicité d’un nombre positif dont la puissance -ième est égale à . 76 UA Calcul algébrique Savoirs Savoir-faire Suggestions d’activités Expressions littérales Aucun savoir nouveau par rapport à ce qui a été étudié en S1. Développer, factoriser, réduire des expressions littérales à une ou plusieurs variables. Développer . Factoriser Factoriser Développer et réduire les expressions BLOC 1 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Dans les expressions littérales, on pourra complexifier progressivement la nature des coefficients numériques : d’abord des entiers positifs et négatifs, puis des décimaux non entiers, puis des fractions, et enfin des racines carrées Équations se ramenant à des équations du premier degré Équations produits Pour des valeurs numériques des paramètres résoudre une équation BLOC 2 Équations quotients du type en utilisant la caractérisation de la nullité d’un produit. Pour des valeurs numériques des paramètres résoudre une équation du type 77 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il importe que les élèves comprennent les méthodes de résolution, qui devront toujours être justifiées. Dans le cadre d’une progression didactique, on commence par résoudre des équations dont les coefficients ont des valeurs numériques simples (des entiers positifs ou négatifs). Des exercices techniques plus complexes (coefficients décimaux, fractionnaires, ou sous forme de radicaux) ne seront proposés qu’aux élèves les plus avancés et se destinant à la série SMP, les difficultés techniques ne devant pas être une source de blocage pour les autres élèves. Inégalités Règle des signes Rappels sur les symboles Ordre entre nombres réels. Comparer deux nombres en étudiant le signe de leur différence. BLOC 3 Compatibilité des inégalités avec l’addition : Pour tout , si et seulement si Comparer deux nombres strictement positifs en étudiant la position de leur quotient par rapport à Visualiser sur la droite graduée l’ordre entre deux nombres. Retenir qu’on ne change pas une inégalité en ajoutant un même nombre à chacun de ses membres. Propriétés similaires pour les inégalités Compatibilité des inégalités avec la multiplication : Si et ; Démontrer qu’on ne change pas une Faire le lien avec les homothéties de inégalité en multipliant chacun de rapports positifs ou négatifs. ses membres par un même nombre strictement positif. Démontrer qu’on change le sens 78 Si et d’une inégalité en multipliant chacun de ses membres par un même nombre strictement négatif. Démontrer que si deux nombres Passage à l’inverse : Un nombre est de même signe que son inverse. Si , alors Si , alors . et Lire les inégalités sur la courbe sont de même signe, alors ils sont représentative de la fonction inverse. rangés dans l’autre contraire à celui de leurs inverses. Étudier la situation où les deux nombres sont de signes contraires. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La visualisation sur la droite graduée et le lien entre une inégalité et un signe sont deux approches permettant la compréhension des règles de compatibilité. Les élèves ont, depuis le cycle fondamental, l’habitude de manipuler des inégalités entre nombres, mais la difficulté provient ici de l’utilisation de lettres. L’accent est mis sur le fait que ne représente pas toujours un nombre positif, et surtout que ne représente pas toujours un nombre négatif. Inéquations Pour des valeurs numériques des paramètres et , résolution d’une BLOC 4 inéquation du type ax > b. Résolution littérale en discutant selon le signe de Représenter les solutions en terme d’inégalité et d’appartenance à un intervalle. Justifier la résolution par la compatibilité des inégalités avec la multiplication par un nombre positif. 79 Pour des valeurs numériques des paramètres , résolution Proposer aux élèves les plus avancés (et à eux seuls), des inéquations dont la résolution nécessite plusieurs manipulations algébriques. d’une inéquation du type Par exemple : Pour des valeurs numériques des paramètres résolution d’inéquations du type . Dresser un tableau de signes et l’utiliser pour résoudre une inéquation produit. Exemples d’exercice possible : Un touriste loue une voiture pour le weekend. Le prix de la location est de . La consommation moyenne du véhicule loué est de 6,5 litres de carburant pour km parcourus et le prix d'un litre de carburant est de . Quelle distance maximale pourra-t-il parcourir pendant le week-end avec un budget de 150$ ? Utilisation d’une inéquation pour modéliser une situation. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il importe d’insister sur le fait que, contrairement à l’équation , la résolution de l’inéquation dépend du signe de . Systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues BLOC 5 Résolution d’un système coefficients numériques par à Interpréter chaque ligne du système Proposer des systèmes avec paramètre et la comme l’équation d’une droite (en discuter l’existence et l’unicité de la solution 80 méthode de substitution. lien avec l’UA « Géométrie »). Résoudre un système Interprétation géométrique. selon les valeurs du paramètre. par la méthode de substitution et faire le lien avec l’intersection des deux droites. Lorsqu’elle existe et est unique, interpréter la solution comme couple des coordonnées du point d’intersection des deux droites. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Déjà étudiés au cycle fondamental, les systèmes de deux équations à deux inconnues sont ici interprétés en termes géométriques. Le lien entre les aspects numérique et géométrique est l’un des enjeux de la reprise en S2 de cette notion algébrique, à aborder en lien avec les équations de droites étudiées dans l’UA « Géométrie ». Les cas où les deux droites sont confondues ou sont parallèles permettent de comprendre qu’un système peut avoir une infinité de solutions ou aucune. UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Un répertoire de fonctions de référence Fonction carré, fonction inverse, Résoudre graphiquement fonction racine carrée, fonction algébriquement des équations cube : définition et courbe inéquations du type représentative. 81 et En utilisant un outil numérique (calculatrice et graphique, tableur, logiciel de géométrie dynamique) représenter ces fonctions dans un même repère. ; Parité de la fonction carré. , etc. Imparité des fonctions inverse et pour l’une des fonctions de référence cube. et interpréter les solutions. Positions relatives des courbes Étudier les positions relatives des On commence en comparant, sans courbes représentatives des calculatrice (ou avec si nécessaire) les valeurs représentatives de ces quatre fonctions pour fonctions : , puis . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La notion de fonction est encore relativement nouvelle pour les élèves. Sa maîtrise suppose un travail régulier, combinant usage de formules, de tableaux de valeurs, d’égalités et d’inégalités, de lecture des courbes représentatives. BLOC 2 Représentations algébriques et graphiques d’autres fonctions Équation de la courbe Identifier représentative de la fonction la courbe d’équation Dresser un tableau de valeurs d’une fonction comme l’ensemble des donnée par sa courbe représentative ou son expression algébrique points de coordonnées . Parité, imparité d’une fonction. Reconnaître coordonnées Interprétation géométrique. si un point de Lire et interpréter différents exemples de appartient ou non courbes : à la courbe représentative d’une • la courbe de croissance d’un enfant, fonction. • l’évolution du prix du pétrole, Résoudre graphiquement une 82 • l’évolution de la population d’Haïti depuis 1950, etc. Si f et g sont deux fonctions, résoudre graphiquement une équation ou une et interpréter les inéquation du type ; solutions de manière adaptée au contexte Interpréter les solutions par rapport au équation ou une inéquation du type contexte. Modélisation d’une situation réelle Compléter un nuage de points par Travailler à partir de données réelles (issues une courbe et l’utiliser pour faire des des sciences sociales, sciences physiques, par une fonction. interpolations ou des extrapolations. biologie, science de la Terre, etc.) À partir d’un tableau de valeurs, déterminer une fonction qui modélise au mieux la situation ; en particulier, selon la rapidité de la croissance des valeurs, choisir entre la fonction racine carrée, une fonction affine, la fonction carré, la fonction cube. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves doivent faire le lien entre la résolution graphique d’une inéquation du type et son interprétation par rapport au contexte. Exemple : dans le cas concret de la courbe représentant la population d’Haïti, la résolution de l’inéquation permet de déterminer l’année à partir de laquelle la population de Haïti a dépassé 10 millions. BLOC 3 Variation d’une fonction : approche par les inégalités Sens de variation des fonctions de Utiliser des inégalités pour étudier la croissance ou la décroissance d’une référence sur un intervalle. des fonctions de référence sur un intervalle. 83 Interpréter graphiquement le sens de variation des fonctions de référence. Sens de variation d’une fonction ne Relier la représentation graphique Exemple possible : déterminer un rectangle relevant pas des exemples d’une fonction et ses variations. de périmètre 4cm et d’aire maximale. précédents. À partir de sa représentation graphique, identifier des intervalles Tableau de variation. sur lesquels une fonction est Maximum, minimum. monotone. Parité, imparité d’une fonction. À partir de sa représentation graphique, identifier un maximum ou un minimum d’une fonction. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Si les élèves peuvent, dans une première phase de sensibilisation, utiliser des expressions familières du type « la fonction monte », ou « la fonction descend », il importe qu’ils apprennent rapidement à utiliser le vocabulaire adéquat sans perdre de vue le caractère concret de leurs observations ; la monotonie d’une fonction doit toujours être exprimée sur un certain intervalle. Ainsi, les fonctions et sont croissantes sur les intervalles et . La fonction est croissante sur et décroissante sur . Les élèves disposeront en S3 de la dérivée qui est l’outil privilégié pour l’étude des variations d’une fonction. UA Géométrie Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Maîtriser les vecteurs du plan Vecteur associé à la Représenter des vecteurs. translation qui transforme le point 84 Suggestions d’activités M en le point M’. Identifier des vecteurs égaux. Direction, sens et norme. Déterminer l’image d’un point par une translation de vecteur donné. Égalité de deux vecteurs. Vecteur nul. Somme de deux vecteurs en lien Construire géométriquement avec l’enchaînement de deux somme de deux vecteurs. translations. la Relation de Chasles. Produit d’un nombre réel. vecteur par un Définition vectorielle d’une Déterminer l’image d’un point par Utiliser un logiciel de géométrie dynamique homothétie (rapport non nul, une homothétie de rapport donné pour réaliser la figure suivante, sachant que le petit quadrilatère se déduit du quadrilatère positif ou négatif). (positif ou négatif). ABCD dans l’homothétie de rapport : Donner la nature du petit quadrilatère ainsi que les mesures de ses côtés et son aire. 85 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les translations ont été étudiées au cycle fondamental et revues en S1, ce qui a déjà permis une sensibilisation à la notion de vecteur, sans que le terme ait été explicité. BLOC 2 Maîtriser les notions de base de la géométrie analytique plane Base orthonormée. Coordonnées Représenter un vecteur dont on Utiliser les coordonnées dans une base d’un vecteur. connaît les coordonnées. orthonormée pour : Exprimer les coordonnées du Lire les coordonnées d’un vecteur. vecteur en fonction de celles des points A et B. Colinéarité de deux vecteurs. Calculer la norme d’un vecteur. Calculer points. la distance entre deux - calculer la somme de deux vecteurs ; - calculer le produit d’un vecteur par un nombre réel ; - établir la colinéarité de deux vecteurs ; - établir l’alignement de trois points. Calculer les coordonnées de l’image d’un point par une translation ou par une homothétie. Déterminant de deux vecteurs dans une base orthonormée. Critère de colinéarité de deux vecteurs : nullité de leur déterminant. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La notion de colinéarité de deux vecteurs, et son interprétation géométrique, sont premières. Parmi les méthodes de calcul pour déterminer si deux vecteurs sont colinéaires, la caractérisation par la nullité de leur déterminant est commode ; elle permet de travailler : 86 - le raisonnement par disjonction de cas ; - la notion de condition nécessaire et suffisante. Les élèves apprennent à utiliser des vecteurs pour résoudre des problèmes de géométrie et à en choisir la représentation la plus adaptée (géométrique ou par les coordonnées). BLOC 3 Maîtriser les droites du plan Vecteur directeur d’une droite. Équation d’une droite : équation cartésienne, équation réduitepour une droite non parallèle à l’axe des ordonnées. Pente (ou coefficient directeur) d’une droite non parallèle à l’axe des ordonnées. Déterminer une équation d’une droite à partir : - d’un point et d’un vecteur directeur ; - de deux points ; - d’un point et de la pente. Pour une droite non parallèle à l’axe des ordonnées, passer de l’équation cartésienne à l’équation réduite et réciproquement. Reconnaître, à partir de leurs équations, si deux droites sont parallèles ou sécantes ; Déterminer le point d’intersection de deux droites sécantes en résolvant un système de deux équations à deux inconnues ; Représenter des parties de plan décrites par des inéquations. Tracer une droite connaissant son équation cartésienne. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le passage entre équation cartésienne et équation réduite d’une droite est un point important. Les systèmes de deux équations à deux inconnues figurent dans l’UA Calcul algébrique. Leur interprétation géométrique en termes d’intersection de droites est importante. BLOC 4 Étendre les notions de trigonométrie dans le triangle rectangle Projeté orthogonal d’un point sur Relation trigonométrique une droite : lien avec le cosinus. à partir du théorème de Pythagore 87 Utiliser le théorème de Pythagore pour démontrer que le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le point de la dans un triangle rectangle dont droite l’hypoténuse vaut 1. le plus proche de . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. À ce niveau, la trigonométrie se limite au triangle rectangle (angles non orientés compris entre 0 et 90°). L’utilisation du cosinus dans la projection orthogonale est très utile en géométrie vectorielle, avec des applications aux forces en physique. L’étude des fonctions trigonométriques (avec des angles dont la mesure varie dans fera l’objet du programme de l’année S3. UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser la représentation d’une loi de probabilité par un tableau Distribution de probabilité associée Représenter une distribution de probabilité par un tableau à deux à une expérience aléatoire. lignes (les différentes issues et leurs probabilités). Calculer des probabilités d’événements en sommant les probabilités de ses issues. Épreuve de Bernoulli : épreuve à deux issues (échec, succès). 88 Les élèves sont confrontés à des expériences aléatoires variées (lancer d’un ou de deux dés, tirages de cartes, tirages de boules dans une urne, avec ou sans remise), et amenés à déterminer la distribution de probabilité correspondante. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Par rapport au S1, ce qui est nouveau est l’usage d’un tableau pour représenter une distribution de probabilité, ainsi que l’introduction d’épreuves de Bernoulli. Dans un premier temps, travaille sur de telles épreuves dont le paramètre a une valeur numérique. BLOC 2 Comprendre et utiliser les premières notions relatives aux variables aléatoires Variable variable aléatoire aléatoire finie : est une Si désigne une variable aléatoire Dans le cadre d’activités expérimentales, les une finie, interpréter en situation les élèves utilisent les fonctions random () et randint () du logiciel Python (bibliothèque application de l’univers fini dans écritures du type random) ou la fonction ALEA () du logiciel { }, { }, etc. Excel pour simuler une variable aléatoire On note ou finie. Calculer les probabilités l’événement formé de l’ensemble correspondantes notées des issues telles que Loi de probabilité d’une variable Calculer et interpréter l'espérance Calculer des espérances de gain ou de perte aléatoire sur un univers fini. d'une variable aléatoire finie. dans des jeux de hasard. Espérance d’une variable aléatoire : Loi de Bernoulli de paramètre notée , Reconnaître une situation aléatoire modélisée par une loi de Bernoulli. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves interprètent l'espérance d'une variable aléatoire finie comme une valeur moyenne. 89 . UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Séries statistiques Révision des notions étudiées en S1 : BLOC 2 Suggestions d’activités Dans le cas de variables continues, lorsque cela a du sens, on pourra proposer de répartir les effectifs par classes d’amplitudes différentes. - tableaux d’effectifs et de fréquences ; - représentations graphiques (diagramme en bâton, histogramme, diagramme circulaire) ; - moyenne, médiane, étendue. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques Il s’agit de réactiver les notions étudiées en S1, en vue notamment de les traiter à l’aide d’outils numériques. Variance et écart-type d’une série statistique discrète Variance et écart-type d’une série statistique Calculer la variance et l’écart-type Une série statistique étant donnée sous forme de liste, de tableau, ou par une représentation d’une série statistique. graphique, les élèves sont amenés Interpréter la variance et l’écart- à déterminer sa variance et son écart-type. type comme des indicateurs de Le travail sera mené en liaison avec les autres disciplines. dispersion. Ainsi, l’écart-type est présenté comme un nouvel indicateur de dispersion, à relier, sur des exemples, au problème posé par la Comparer la dispersion de deux disparité des mesures d’une grandeur, obtenues lors d’une activité expérimentale, séries statistiques. en particulier en physique-chimie ou en 90 sciences de la vie et de la Terre. Influence des valeurs extrêmes d’une série statistique sur les indicateurs de position et de dispersion Modifier les valeurs extrêmes d’une série statistique pour observer leur influence sur les différents indicateurs Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Un lien est fait entre les notions statistiques étudiées depuis la classe de S1 et les notions probabilistes analogues : souspopulation, fréquence, moyenne, écart type d’une part ; événement, probabilité, espérance, écart type d’autre part. BLOC 3 Utiliser un tableur pour traiter des données Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule dans une feuille de calcul. Utiliser un tableur pour calculer des indicateurs statistiques (moyenne, écart-type) Créer un graphique à partir des données d’une feuille de calcul L’utilisation d’un tableur ou d’une calculatrice permet de traiter des situations plus riches que celles qui peuvent être traitées à la main. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Ce bloc est ne contient aucune notion nouvelle, mais est consacré à l’usage d’un tableur pour représenter les données et effectuer les calculs. BLOC 4 Utiliser un script Python pour traiter des données statistiques Pour des données réelles, lire et Les données traitées peuvent être issues : écrire un script Python renvoyant la - de mesures expérimentales collectées dans d’autres disciplines ; moyenne et l’écart-type d’une - d’articles scientifiques, économiques ou 91 série et calculant la proportion d’éléments appartenant à l’intervalle [ sociologiques issus de la presse ou de sites spécialisés. ]. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le calcul de la proportion d’éléments appartenant à l’intervalle [ ] permet de quantifier la dispersion de la série autour de sa moyenne et de comprendre en quoi l’écart-type est un indicateur de dispersion. UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notion de variable informatique Variable informatique. Affectation d’une variable. Déterminer l’effet d’une Travailler sur des affectations du type X+1, verbalisée sous la forme « la affectation sur le contenu d’une ou X de plusieurs variables. variable X reçoit (le contenu de X) plus 1 ». Étudier de l’effet d’une suite d’instructions Coder en Python l’affectation sur le contenu d’une ou de plusieurs variables. Inversement, écrire une suite d’une valeur à une variable. d’instructions d’affectation dans le but de modifier le contenu d’une ou de plusieurs variables. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Dans un algorithme, l’affectation d’une variable sera écrite sous la forme-symbole et verbalisée sous la forme « La variable reçoit la valeur ». 92 Les élèves sont formés à distinguer les symboles Python d’affectation (=) et d’égalité (==). Leur attention est donc attirée sur la différence de signification du signe « = » en mathématiques et dans le langage Python. BLOC 2 Comprendre et utiliser les boucles bornées et non bornées La boucle bornée « Pour ». Écrire en bornée. Python une boucle Calculer : - la somme des 100 premiers entiers ; la somme de leurs carrés ou de leurs cubes ; la somme des 100 premiers entiers pairs ou impairs. Remplir un tableau indiquant les différentes valeurs d’une variable avant et après chaque passage dans une boucle (bornée ou non bornée). La boucle non bornée « Tant que ». Écrire en Python une boucle non Écrire des algorithmes et des scripts Python bornée. effectuant : - la division euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel non nul ; - le calcul du PGCD de deux entiers naturels ; - la recherche d’une valeur approchée à près d’une solution d’une équation simple par la méthode de dichotomie. 93 BLOC 3 Comprendre et utiliser les tests à un ou plusieurs cas Instruction conditionnelle « Si…, alors » Écrire en Python une instruction conditionnelle « Si…, alors ». Instruction conditionnelle « Si…, Écrire en Python une instruction conditionnelle « Si…, alors…, alors…, sinon ». sinon… ». Interpréter un algorithme ou un script Python comportant des affectations et des tests et donner la valeur finale d’une ou de plusieurs variables. Compléter, modifier, corriger, ou écrire des algorithmes et des scripts Python comportant à la fois des variables, des boucles et des tests. Écrire un script Python permettant de calculer les termes de la suite de Syracuse. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. À l’issue de l’étude de ces trois blocs, les élèves disposent des bases leur permettant d’écrire des programmes simples en Python. Ils sont également formés à acquérir de bonnes habitudes, en respectant les trois étapes suivantes, dans l’ordre : - conception del’algorithme ; - écriture du programme ; - vérification, contrôle du programme, notamment en procédant à des tests. 94 UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent toutes les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui lui serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, fonctions, nombres et calculs, calcul algébrique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de S2. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Connaître et utiliser le vocabulaire mathématique de base Notions d’ensemble, d’élément d’un ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance, d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire. Symboles mathématiques correspondants : ∈, ⊂, =, ⋂, ⋃, etc. Égalité entre deux ensembles. Diagramme de Venn. Écrire un ensemble en extension Activités mettant en jeu l’ensemble des (s’il est fini) ou en multiples et l’ensemble des diviseurs d’un compréhension. nombre entier donné. Démontrer l’égalité de deux Représenter sur un diagramme de Venn ensembles par double inclusion. l’ensemble des diviseurs communs à deux nombres entiers donnés. Utiliser les notions et les représentations ensemblistes sur des exemples non mathématiques. Par exemple : - Haïti fait partie des Caraïbes. Cela signifie-til tout pays appartenant aux Caraïbes est Haïti ? Représenter par des ensembles Haïti et les Caraïbes. - Un poisson vit dans l’eau. Tu vois un animal dans l’eau. Est-ce un poisson ? Représenter par des ensembles les animaux aquatiques et les poissons. Notation des ensembles de nombres Déterminer l’intersection et la et des intervalles de réunion de deux intervalles de 95 Exprimer sous la forme d’un produit cartésien l’univers correspondant à une expérience aléatoire à deux épreuves. Trouver la négation d’une propriété mathématique. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Produit cartésien de deux ensembles. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A d’un ensemble E, on utilise à la fois la notation des probabilités Ā, et la notation E \ A. BLOC 2 Lire et écrire des propositions mathématiques Proposition mathématique. Utiliser des variables pour écrire Les notions de logique sont introduites à des propositions mathématiques. partir de formulations dans le langage naturel. Connecteurs « et » et « ou ». Lire et écrire des propositions contenant les connecteurs « et » et « ou » et les relier à l’intersection et à la réunion de sousensembles. Quantificateur universel (symbole ) ; Pour faire comprendre le sens des Lire et écrire des propositions quantificateurs, on s’appuie des exemples quantificateurs existentiels (symboles contenant des quantificateurs. non-mathématiques. Par exemple : ). Formuler la négation d’une Activité visant à faciliter la compréhension proposition simple comportant du sens du quantificateur universel : un connecteur « et » ou « ou », Une réunion de cosmonautes du monde mais ne comportant pas entier a lieu à Paris. Tous les cosmonautes d’implication ni de américains portent une chemise rouge. quantificateur. À l’aéroport, on voit quelqu’un qui porte une Produire un contre-exemple pour chemise blanche. Est-ce un cosmonaute montrer qu'une proposition est américain ? À côté de la personne précédente, on voit fausse. 96 Implication. Équivalence. Symboles d’implication ( d’équivalence et . quelqu’un qui porte une chemise rouge. Estce un cosmonaute américain ? Le haut-parleur annonce l’arrivée d’un cosmonaute russe. Porte-t-il une chemise rouge ? Dans le hall, on voit un cosmonaute américain qui porte un manteau. Porte-t-il une chemise rouge ? Formuler une implication Les élèves travaillent ensuite les notions de Formuler la réciproque d’une logique sur des exemples mathématiques implication. comme les théorèmes de Thalès ou de Formuler la contraposée d’une Pythagore, ou les cas d’égalité des triangles. implication. Faire la différence entre Les élèves sont entraînés à passer du langage réciproque et contraposée. naturel à la formalisation mathématique et Formuler une équivalence vice-versa. logique. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les symboles logiques d’implication et d’équivalence ( sont très utiles pour relier clairement et de manière concise des propositions mathématiques. On ne les utilise jamais entre des phrases rédigées dans le langage naturel. On doit les utiliser uniquement entre des propositions qui ne comportent que des symboles mathématiques. Il en est de même des symboles , qui ne peuvent être utilisés qu’à l’intérieur de propositions mathématiques. BLOC 3 Comprendre, mobiliser et formaliser des raisonnements mathématiques Raisonnement par disjonction de cas Comprendre l’articulation entre Utiliser un raisonnement par disjonction de les différentes étapes d’un cas pour démontrer que, pour tout entier raisonnement naturel , est un entier. 97 Utiliser un raisonnement par disjonction de cas pour démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est toujours un multiple de 3. Utiliser un raisonnement par l’absurde pour Raisonnement par l’absurde démontrer que le nombre n’est pas un nombre décimal. Utiliser un raisonnement par l’absurde pour démontrer que le nombre est irrationnel. Dans le cadre de la résolution de problèmes, mobiliser ses connaissances et des raisonnements et les rédiger sous la forme de démonstrations. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à reconnaître des analogies et des particularités entre un problème à résoudre et une situation déjà connue. En géométrie, les élèves doivent comprendre que, si l’observation d’une figure est un support au raisonnement, elle ne peut en aucune manière s’y substituer. Dans une démarche inductive, à la suite d’essais sur des cas particuliers, les élèves sont amenés à émettre des conjectures qu’ils devront ensuite prouver à l’aide d’une démonstration ou infirmer en produisant un contre-exemple. Avant de produire eux-mêmes des démonstrations complètes, les élèves sont amenés à : - mettre dans l’ordre différentes étapes d’un raisonnement ; - compléter une démonstration partiellement rédigée. 98 Année 3 : série « Langues, littérature et arts » UA Nombres et calculs Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Suites de nombres réels Définition d’une suite comme une application de dans Notations : ou plus simplement Notion d’indice. Différents modes de génération d’une Représenter une suite donnée de manière Déterminer une relation explicite ou explicite par le nuage de points à une relation de récurrence pour une suite : partir de la représentation graphique de la suite de nombres correspondant à - de manière explicite : un motif géométrique. fonction . - par une relation du type Pour un entier d’indice donné, calculer le terme Exemple : d’une suite donnée par une A l’aide de jetons identiques, on relation explicite ou par une relation de construit des motifs évolutifs selon récurrence. la règle d’évolution décrite cidessous. 99 Donner le nombre de jetons à l’étape . Écrire un algorithme permettant de calculer les termes d’une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence. Coder cet algorithme en Python. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites sont des outils mathématiques permettant de modéliser les phénomènes évolutifs à évolution discrète (contrairement aux fonctions qui modélisent des évolutions continues). La notation , qui représente une suite permet de la distinguer de son terme général La distinction est la même qu’entre une fonction En début d’apprentissage, on peut accepter que les élèves parlent de la « suite BLOC 2 et sa valeur générique . », mais il importe que la distinction soit très claire pour eux concernant la nature des deux objets (une application d’un côté, un nombre réel de l’autre). Suites arithmétiques Définition, raison. Calcul du terme général. Calculer le terme général d’une suite Modéliser par une suite arithmétique en fonction de son premier arithmétique une suite d’évolutions terme et de sa raison. discrètes à accroissement constant. Monotonie. Exemple d’exercice possible Lien avec les fonctions affines. Un arbre mesure un mètre lors de sa plantation et sa taille augmente 100 chaque année de la même longueur. On sait que la hauteur de l’arbre a doublé en deux ans. On note la taille de l’arbre, en mètres au bout de Exprimer années. en fonction de . Au bout de combien d’années la taille de l’arbre dépassera-t-elle mètres ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites arithmétiques sont des modèles mathématiques permettant d’étudier des évolutions discrètes à accroissement constant. Elles sont à mettre en relation avec les fonctions affines, qui sont des modèles permettant d’étudier des évolutions continues à taux d’accroissement constant. BLOC 3 Suites géométriques de raison positive Définition, raison. Calcul du terme général. Monotonie. Calculer le terme général d’une suite On place un capital de $ à géométrique en fonction de son premier intérêts composés au taux mensuel terme et de sa raison. de %. Calculer la valeur acquise par un capital Quelle est la valeur acquise par ce placé à taux fixe (intérêts composés). capital au bout d’un mois ? Représenter graphiquement le nuage de Au bout de deux mois ? points en distinguant les cas et 101 Au bout de mois ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour une suite géométrique, la comparaison de et de est plus simple en comparant leur quotient à 1 que leur différence à 0. Les suites géométriques sont des modèles mathématiques permettant d’étudier des évolutions discrètes dont le taux d’évolution est constant. Les suites géométriques serviront en S4 à introduire les fonctions exponentielles dans l’unité d’apprentissage « Fonctions ». UA Calcul algébrique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Paraboles d’équation Orientation selon le signe de Déduire de la courbe représentative de la fonction « carré » celle de la fonction Intersection avec l’axe des abscisses. 0 est une l’équation L’expression racine « double » de (pour des valeurs numériques de s’annule une fois et, en dehors de la racine, elle garde Observer la différence d’allure des courbes selon les valeurs de « ». toujours le même signe. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le premier objectif est d’élargir la connaissance de la fonction carrée ( fonctions ) étudiée en S2 dans l’UA « Fonctions » aux L’observation de la courbe permet de relier la tangence de l’axe des abscisses à la parabole d’équation avec le fait que 0 est une racine double de d’équation 102 BLOC 2 Pour Pour des valeurs numériques de de telles que et Écrire l’expression : sous la forme et la factoriser. - factorisation de l’expression ; - détermination de ses racines, et de Dresser son tableau de signes. son signe. L’expression s’annule deux fois et change de signe aux racines. Représentation fonction graphique de la Déduire les variations de la fonction Présenter aux élèves plusieurs paraboles et plusieurs trinômes de la de celles de la fonction carré forme (avec ), et leur (pour des valeurs (en fonction du signe de ). demander de relier chaque numériques de et vérifiant expression algébrique à la parabole correspondante. Parabole représentative : - orientation selon le signe de a ; - intersection avec l’axe des abscisses ; - sommet de la parabole : position de l’abscisse du sommet par rapport aux racines de l’équation Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est ici de résoudre une équation du type lorsque d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses. 103 et de relier ses deux racines aux deux points BLOC 3 Équation parabole d’équation Pour des valeurs numériques de . et de - factorisation de l’expression - détermination de ses racines et de son signe. L’expression s’annule deux fois et change de signe aux racines. Représentation fonction graphique de la Utiliser un tableau de valeurs pour tracer la courbe. Parabole représentative : - orientation selon le signe de a ; - intersection avec l’axe des abscisses ; - sommet de la parabole : position de l’abscisse du sommet par rapport aux racines de l’équation Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est de factoriser l’expression et d’observer la similarité de la configuration avec le cas précédent : existence de deux racines de l’équation, en lien avec les deux points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses. BLOC 4 Pour L’équation n’a pas de racine et elle est toujours du signe de Écrire l’expression sous la forme et déterminer son signe. 104 Représentation fonction graphique de la Interpréter graphiquement le fait que En conclusion de l’étude, on pourra présenter aux élèves plusieurs l’équation paraboles et plusieurs trinômes de (pour des valeurs n’a pas de racine. l’une des formes étudiées et numériques de et vérifiant demander aux élèves de les apparier correctement. Parabole représentative : - orientation selon le signe de a ; - sommet de la parabole Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La résolution générale de l’équation avec le discriminant n’est pas au programme. L’objectif est de montrer aux élèves des exemples d’équations ayant 0, 1 ou 2 solutions, de déterminer ces racines par factorisation lorsqu’elles existent et d’interpréter graphiquement les résultats. Dans le cadre de cette UA qui relève de l’algèbre, le sens de variation des fonctions trinômes étudiées n’utilise pas le signe de la dérivée. Dans trois des cas étudiés, les variations se déduisent de celles de la fonction carrée. L’utilisation de la dérivée sera traitée dans l’UA « Fonctions », ce qui permettra de revoir les résultats obtenus ici. Il convient donc, en S3, de traiter l’UA « Calcul algébrique » avant l’UA « Fonctions ». UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Sens de variation d’une fonction Fonctions monotones, strictement Visualiser la monotonie d’une fonction sur Pour une fonction donnée par sa courbe représentative, identifier les monotones sur un intervalle. un intervalle. intervalles où elle est croissante ou décroissante. 105 Taux d’accroissement d’une fonction Dans le cas de fonctions modélisant des situations concrètes, interpréter un taux entre deux valeurs. d’accroissement : Interprétation géométrique : pente - comme une vitesse moyenne si d’une sécante à la courbe. l’évolution concerne une distance en Lien entre le signe du taux fonction du temps ; d’accroissement et les variations de la - une pente si l’évolution concerne une fonction. hauteur en fonction de la distance horizontale. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour les fonctions modélisant des situations concrètes, on utilisera à la place de la lettre nom de la grandeur qu’elle représente. Ainsi, le temps est désigné par la lettre lettre , l’intensité électrique par la lettre une lettre faisant référence au la distance par la lettre la hauteur par la etc. Il est important que les élèves aient une image mentale de la monotonie d’une fonction sur un intervalle. BLOC 3 Dérivée d’une fonction Tangente à la courbe représentative de la fonction au point Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour observer la position limite des sécantes en un point. définie comme position limite des sécantes en ce point. Le nombre dérivé de comme en est défini Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. le coefficient directeur de la tangente en . Construire la tangente en un point à partir du nombre dérivé. 106 Équation de la tangente en . Fonction dérivée. Interpréter comme une nouvelle fonction. Dérivées des fonctions affines, carré. Utiliser les formules de dérivation pour calculer la dérivée d’un trinôme. Opérations sur les fonctions dérivées : dérivées d’une somme, d’un produit. Lien entre le sens de variation d’une Déterminer, sur un intervalle donné, si fonction sur un intervalle et le signe de une fonction est croissante ou sa fonction dérivée. Interprétation décroissante. graphique (signe de la pente des tangentes). Tableau de variations d’une fonction. Résoudre des problèmes d’optimisation en déterminant les extremums d’un trinôme sur un intervalle donné. Étudier le signe de la dérivée d’un trinôme (à coefficients numériques) pour obtenir son sens de variation. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On n’attend pas des élèves de la série LLA qu’ils acquièrent un savoir-faire élaboré dans le calcul des dérivées. Ce qui est visé, c’est une compréhension du nombre dérivé comme coefficient directeur de la tangente et le lien entre les variations d’une fonction et le signe de sa dérivée. 107 UA Géométrie Le programme de géométrie de la série LLA est très différent de celui des autres séries. L’objectif est de faire découvrir aux élèves différents modes de représentations d’images. Savoirs Savoir-faire Suggestions d’activités BLOC 1 Comprendre et utiliser la perspective parallèle Dans l’espace à trois dimensions, Utiliser les propriétés de la projection Observer sur un mur l’ombre au projection sur un plan parallèlement à parallèle pour représenter en perspective soleil du squelette d’un cube pour conjecturer les propriétés d’une une droite non parallèle à ce plan. cavalière : projection parallèle. Cas particulier où l’une des faces de - un cube ; l’objet de l’espace est parallèle au plan - un tétraèdre ; Le mur correspond au plan de la - une pyramide à base carrée. projection et la direction des rayons de projection : perspective cavalière. solaires à celle de la droite de projection. Propriétés conservées par une Représenter en perspective parallèle projection parallèle : alignement, Utiliser les propriétés de la projection contact, parallélisme, milieux, rapports parallèle pour représenter en perspective une fenêtre rectangulaire située sur un mur vertical et l’ombre au soleil de longueurs. cavalière les sections planes d’un cube. de cette fenêtre sur un autre mur Propriétés non conservées (sauf pour vertical perpendiculaire au mur de des objets situés dans un plan parallèle la fenêtre et/ou sur le sol (en au plan de projection) : longueurs, fonction de l’obliquité des rayons angles. solaires). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est d’étudier une manière de représenter dans un plan un objet ayant trois dimensions. On n’aborde ici que la perspective parallèle. La perspective centrale sera étudiée en S4. 108 BLOC 2 Acquérir les notions de base sur les images numériques en noir et blanc Calculer le nombre de niveaux de gris Manipuler des formules et des fonctions dans un tableur pour créer disponibles pour un codage sur 8 bits. Tableau 2D des valeurs attribuées aux et modifier une image numérique en pixels d’une image. niveaux de gris : Pixel. Codage de ces valeurs en suites de 0 et Déterminer l’écriture binaire d’un nombre - éclaircir une image en appliquant de 1 (bits), le nombre de niveaux de entier compris entre 0 et 255. à chaque pixel la fonction gris disponibles dépendant du nombre ; de bits. une image en Inversement, donner la valeur entière - assombrir appliquant à chaque pixel la d’une suite de 8 bits. fonction - créer le négatif d’une image en appliquant à chaque pixel la fonction linéaire ; - appliquer à une image une transformation simple, par exemple la symétrie par rapport à une diagonale. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques L’objectif est ici de faire comprendre aux élèves les principes de base des images numériques. Les images en couleur seront étudiées en S4. 109 UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser la notion de probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle d’un événement sachant un événement de probabilité non nulle. Notation Calculer des probabilités conditionnelles lorsque les événements sont présentés sous la forme d’un tableau croisé d’effectifs. . Formule des probabilités composées : Construire un arbre de probabilités pour représenter une expérience aléatoire. Utiliser cet arbre pour calculer des probabilités. Indépendance de deux événements. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements indépendants. Appliquer des raisonnements aux tests médicaux. Si désigne l’événement « La personne est malade » et l’événement « Le test est positif » : utiliser un tableau croisé d’effectifs issu d’un diagnostic sur échantillon pour calculer des probabilités de faux positifs ( , de faux négatifs ( , de vrais positifs ( , de vrais négatifs ( Utiliser cette démarche dans d’autres contextes de classification (reconnaissance d’images, détection de messages non sollicités envoyés en masse, etc.). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On évitera la notation qui laisse croire que est un événement.L’enseignant pourra présenter l’indépendance de deux événements de la manière suivante : pour un événement A de probabilité non nulle, B est indépendant de A si , ce qui traduit que la réalisation de A n ‘a pas d’incidence sur celle de B. Les élèves sont sensibilisés au fait que la propriété d’indépendance est symétrique lorsque les probabilités de A et de B sont toutes deux non nulles. 110 UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser les tableaux statistiques à double entrée Tableau croisé d’effectifs mettant en Calculer des fréquences conditionnelles et Les élèves sont amenés à travailler des fréquences marginales à partir de la sur des variables catégorielles de jeu deux variables catégorielles. natures diverses : des variables donnée d’un tableau croisé d’effectifs. qualitatives (profession, espèce, département de résidence, marque, Fréquence conditionnelle ; fréquence etc.), quantitatives discrètes (niveau Compléter un tableau croisé d’effectifs à d’étude, degré de satisfaction de la marginale. partir des fréquences conditionnelles ou clientèle) ou continues (tranches d’âge ou de durée de transport). marginales. Ils utilisent des données réelles relatives à des domaines variés (sécurité routière, démographie, économie, agronomie, climatologie, etc.). Ces données réelles peuvent notamment provenir de l’institut haïtien de statistique et d’informatiqueISHI(https://ihsi.gouv.ht/),de l’Unesco (http://data.uis.unesco.org/?lang=f r), de l’Organisation mondiale de la santé : https://data.who.int/fr, de l’Unicef (https://www.unicef.org/fr/th%C3 %A8mes/donn%C3%A9es-etrapports), ou de la Communauté caribéenne-CARICOM 111 (https://statistics.caricom.org). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le domaine de la statistique est celui qui est le plus susceptible de donner lieu à des interactions avec les autres domaines d’enseignement (sciences physiques, sciences de la vie et de la Terre, sciences sociales), et à des mises en situation concrètes. Il est donc recommandé de mettre à profit ces interactions possibles. UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notion de liste Définition d’une liste : une liste est une Générer une liste (en extension, par ajouts On pourra proposer aux élèves suite finie modifiable d’objets successifs ou en compréhension). d’écrire les scripts Python numérotés à partir de . permettant de : - générer (en compréhension ou à Écriture d’une liste entre crochets ; liste Manipuler des éléments d’une liste (ajouts, l’aide d’une boucle for) la liste des vide. suppressions) et leurs indices. 100 premiers nombres pairs ; Parcourir une liste. - échanger deux éléments d'une liste donnée ; - étant donnée une liste d'entiers, donner la somme de ses éléments. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le lien est fait entre les listes informatiques et les suites étudiées en mathématiques. 112 BLOC 2 Utiliser un outil numérique pour tracer des graphiques Utiliser un tableur ou un langage de Représenter des données statistiques programmation pour représenter : et des courbes de fonctions. - un nuage de points ; - un histogramme ; - la courbe représentative d’une fonction. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Aucun savoir spécifique de la syntaxe du tableur ou du logiciel Python relatif à ces tracés n’est attendu des élèves. En cas de besoin, ils se réfèrent à l’aide en ligne du tableur ou du logiciel de programmation. UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui leur serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, calcul algébrique, arithmétique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de 3e année. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Connaître et utiliser le langage mathématique de base Consolidation des notions sur les Représenter par un tableau ou un arbre Écrire en extension l’univers ensembles étudiées en S2 l’univers correspondant à une expérience correspondant à deux lancers aléatoire à deux épreuves. successifs d’une pièce de monnaie. Produit cartésien de deux ensembles Exprimer l’univers sous la forme d’un Écrire en extension l’univers produit cartésien. correspondant à deux tirages avec remise dans une urne contenant trois boules rouges et deux boules blanches. 113 BLOC 2 Comprendre des propositions logiques exprimées dans le langage naturel ou dans le langage mathématique Proposition mathématique. Montrer par des exemples qu’une proposition mathématique peut être vraie (exemple : tout carré d’un nombre est positif ou nul) ou fausse (exemple : tout nombre entier naturel est pair). Utiliser correctement les logiques « et » et « ou ». Quantificateurs universel (symbole ) et existentiels (symboles ) Les notions de logique sont introduites à partir de formulations dans le langage naturel avant d’être mobilisées dans des activités mathématiques relevant de la géométrie, des nombres, du calcul. connecteurs Activité visant à faciliter la compréhension de l’importance de la place des quantificateurs : Comparer des propositions du type Formuler en langage naturel une « Quel que soit le poisson, il existe proposition contenant un ou deux un hameçon qui permet de quantificateurs. l’attraper » et « Il existe un hameçon qui, quel que soit le poisson, permet Montrer que la négation de la de l’attraper ». proposition : « tout nombre réel est un Écrire en fonction de nombre rationnel » est « il existe un nombre impair. nombre réel irrationnel ». le -ième Les propositions suivantes sont-elles Utiliser une lettre pour énoncer une justes ou fausses ? propriété à caractère général. Rôle de la lettre pour énoncer ou démontrer une propriété générale. Utiliser un contre-exemple pour infirmer « Tout nombre entier dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3 ». une proposition universelle Rôle d’un contre-exemple pour infirmer une proposition universelle. « Le carré de tout nombre pair est un nombre pair ». 114 BLOC 3 Comprendre, mobiliser et formaliser des raisonnements mathématiques Raisonnement par disjonction de cas. Utiliser un raisonnement par disjonction de cas pour démontrer qu’un nombre entier et son carré ont toujours la même parité. Raisonnement par l’absurde. Utiliser un raisonnement par l’absurde pour démontrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à passer du langage naturel au langage mathématique et vice-versa. Le raisonnement par récurrence en tant que tel ne figure pas dans ce programme pour les raisons suivantes : il n’est ni essentiel pour les poursuites d’études des élèves de la filière LLA, ni utile dans la vie courante ; son approche est délicate et sa maîtrise par les élèves nécessiterait trop de temps pour pouvoir abordée efficacement dans la filière LLA. Il vaut mieux se concentrer sur les raisonnements par disjonction de cas et par l’absurde, déjà abordés dans les années antérieures et plus proches de la logique courante. En revanche, le programme de S4 accordera une place au principe d’itération sur la base de motifs géométriques (en anglais patterns). - 115 Année 3 : série « Mathématiques et physique » UA Nombres et calculs Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Suites de nombres réels Définition d’une suite application de dans Notations : comme une ou plus simplement Notion d’indice. Différents modes de génération d’une Représenter une suite donnée de manière 1. Déterminer une relation explicite ou une relation de explicite par le nuage de points à suite : récurrence pour une suite de partir de la représentation graphique de nombres correspondant à un - de manière explicite : la fonction . motif géométrique. - par des motifs géométriques évolutifs (patterns) ; - par son premier terme et une relation de Exemple : le problème des récurrence Pour un entier donné, calculer le terme allumettes d’indice d’une suite donnée par une relation explicite ou par une relation de Avec des allumettes, on construit une succession de maisons : au récurrence. rang 1, la construction comporte Substituer à une autre valeur littérale ; une seule maison, au rang 2, elle par exemple, calculer le terme d’indice comporte deux maisons accolées, dans la suite etc. 116 Combien faut-il d’allumettes au rang ? 2. Écrire un algorithme permettant de calculer les termes d’une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence. Coder cet algorithme en Python. 3. Écrire un algorithme permettant de calculer les premiers termes de la suite de Fibonacci ou de la suite de Syracuse. Monotonie d’une suite. Suite croissante, suite décroissante. Étudier les variations d’une suite quelconque à l’aide du signe de Relier les variations d’une suite à termes strictement positifs à la position de 117 4. Problème des tours de Hanoï. 1. Pour une suite à termes strictement positifs, choisir la méthode la plus adaptée entre l’étude du signe de et la position de par rapport à . par rapport à . 2. Proposer des exemples suites non monotones : , etc. de Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites sont des outils, mathématiques permettant de modéliser les phénomènes évolutifs à évolution discrète (contrairement aux fonctions qui modélisent des évolutions continues). La notation , qui représente une suite permet de la distinguer de son terme général La distinction est la même qu’entre une fonction En début d’apprentissage, on peut accepter que les élèves parlent de la « suite et sa valeur générique . », mais il importe que la distinction soit très claire pour eux concernant la nature des deux objets (une application d’un côté, un nombre réel de l’autre). Dans certains cas, une suite peut n’être définie que sur un sous-ensemble de et la suite BLOC 2 par exemple, la suite n’est définie que sur , n’est définie que pour La notion de limite d’une suite sera abordée en S4, en lien avec celle de limite d’une fonction, dans l’UA « Fonctions ». Suites arithmétiques Définition, raison. Calcul du terme général. Exemple de motif géométrique Calculer le terme général d’une 1. évolutif : suite arithmétique en fonction de son premier terme et de sa raison. Monotonie. Lien avec les fonctions affines. Calculer Somme de termes consécutifs. Déterminer le nombre de jetons à l’étape n. 2. Modéliser 118 par une suite arithmétique une suite d’évolutions discrètes à accroissement constant. Exemple : Un arbre mesure un mètre lors de sa plantation et sa taille augmente chaque année de lamême longueur. On sait que la hauteur de l’arbre a doublé en deux ans. On note la taille de l’arbre, en mètres au bout de années. Exprimer en fonction de . Au bout de combien d’années la taille de l’arbre dépassera-t-elle mètres ? BLOC 3 Suites géométriques Définition, raison. Calcul du terme général. Monotonie lorsque la raison est positive. Somme de termes consécutifs. Calculer le terme général d’une suite 1. Exemple de motif géométrique évolutif : le triangle de Sierpinski : géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison. Représenter nuage de graphiquement points le en distinguant les cas et q Calcul de discutant selon la valeur de 119 Calculer l’aire de la surface rouge à en l’étape 2. Modéliser par une suite géométrique le remboursement d’un emprunt à annuités constantes. 3. Comparer les croissances entre une suite arithmétique et une suite géométrique, Exemple d’exercice possible : Jules et Nelly décident d’acheter le même ordinateur portable. Ils ne disposent pas de la somme nécessaire pour régler immédiatement leur achat. Le vendeur leur propose plusieurs modalités de paiement. En incluant les intérêts, chacun devra verser un acompte et rembourser un total de 2 000$ (acompte compris) sur une durée de 12 mois selon des modalités à définir. Jules choisit de verser 80$ au moment de l’achat, puis il rembourse des mensualités fixes de 160$ chacun des 12 mois suivants. Nelly verse 125$ à l’achat, puis chacune de ses mensualités est supérieure de 3% à la mensualité précédente. Ainsi sa première 120 mensualité dépasse de 3% les 125$ versés à l’acompte. Le 12e mois, elle rembourse la différence entre les 2 000$ dus et la somme totale qu’elle a déjà remboursée. Quelle somme totale Nelly a-t-elle remboursée à la fin du 11e mois ? Quel est le montant de sa 12e mensualité ? À partir de quel mois les mensualités de Nelly deviennent-elles plus élevées que celles de Jules ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On insiste surtout sur les suites géométriques dont la raison et le premier terme sont positifs. Dans ce cas, la comparaison de et de est plus simple en comparant leur quotient à que leur différence à 0. Il est possible de présenter des suites arithmético-géométriques, mais sans exiger des élèves qu’ils en connaissent la méthode d’étude. UA Calcul algébrique Savoirs BLOC 1 Trinôme Savoir-faire Suggestions d’activités et équation du second degré Propriétés d’un trinôme donné sous Dresser un tableau de signes pour Recherche d’une racine forme factorisée : signe. déterminer le signe du trinôme donné « évidente », (notamment 0, 1, -1), sous forme factorisée. pour factoriser un trinôme. Expressions de la somme et du produit 121 des racines en fonction des coefficients , Déterminer tous les trinômes s’annulant et de la forme développée du trinôme. en deux nombres réels distincts. Factorisation d’un connaît une racine. trinôme dont on Forme canonique d’une fonction trinôme. Discriminant. Racines. Factorisation éventuelle. Mettre un trinôme sous forme canonique, Étude du texte historique d’Al d’abord sur des expressions numériques, Khwarizmi. puis dans le cas général, sur une expression littérale. Les élèves connaissent donnant le discriminant les formules et les racines quand elles existent : - cas : , - cas : racine double - cas : pas de racine réelle. Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme et leur produit à partir de la résolution de l’équation . 122 Déterminer les côtés d’un rectangle dont on connaît l’aire et le périmètre. Problèmes se ramenant à la résolution d’une équation du second degré, par exemple la résolution d’équations bicarrées. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il est indispensable de commencer par déterminer la forme canonique de trinômes à coefficients numériques, dans chacun des trois cas de la discussion, avant d’aborder l’étude générale. La connaissance des formules nécessite de la pratique, sur des exercices de difficulté très progressive, en commençant par transformer des trinômes dont les coefficients sont des entiers relatifs. Les élèves sont amenés à factoriser un trinôme en diversifiant les stratégies : recherche d’une racine évidente, détection des racines à partir des valeurs de leur somme et de leur produit, application des formules issues du discriminant. BLOC 2 Étude de la fonction (avec Parabole représentative. Sens de variation. Déduire de sa forme canonique le tableau de variation d’une fonction trinôme. Courbe représentative : parabole. Déterminer l’axe de symétrie et le sommet Présenter aux élèves plusieurs paraboles et plusieurs trinômes et d’une parabole. leur demander de relier chaque Relier le signe de à l’orientation de la expression algébrique à la parabole. parabole correspondante. Étudier l’intersection de la parabole d’équation avec l’axe des abscisses. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Dans le cadre de cette UA qui relève de l’algèbre, le sens de variation d’une fonction trinôme n’utilise pas le signe de la dérivée, mais la forme canonique du trinôme et la connaissance des variations de la fonction carré (étudiée en S2 dans l’UA « Fonctions »). L’utilisation de la dérivée sera traitée dans l’UA « Fonctions », ce qui permettra de revoir les résultats obtenus ici. Il convient donc, en S3, de traiter l’UA « Calcul algébrique » avant l’UA « Fonctions ». 123 BLOC 3 Factorisation de polynômes de degré supérieur à 2 Factorisation d’un polynôme du troisième degré dont on connaît une racine . Résolution de l’équation associée. Utiliser la méthode des coefficients indéterminés pour déterminer le trinôme en facteur de . Factorisation de de par , par Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La factorisation de par de par sont des approfondissements possibles uniquement destinés aux élèves les plus avancés, l’objectif de cette UA étant de faire acquérir à tous les élèves la maitrise de la résolution des équations du second degré. L’étude de la parabole associée permet d’interpréter géométriquement et de visualiser l’existence ou non des racines. UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Dérivation Taux d’accroissement entre deux valeurs. fonction Calculer des taux d’accroissement pour Calculer le taux d’accroissement d’une fonction simple autre que les fonctions définies par : les fonctions de référence. si la fonction est définie par ; Notation d’une . ; Interprétation géométrique : pente d’une sécante à la courbe. Déterminer les signes de ces taux et les 124 Lien entre le signe du taux d’accroissement et les variations de la fonction. relier au sens de variation de chaque fonction. Interpréter un taux d’accroissement : - comme une vitesse moyenne si la fonction représente une distance en fonction du temps ; - une pente si l’évolution la fonction représente la hauteur en fonction de la distance sur le sol. Tangente à la courbe représentative de la Calculer le coefficient directeur d’une Utiliser un logiciel de géométrie fonction au point définie sécante passant par et dynamique pour observer la position limite des sécantes en un comme position limite des sécantes en ce . point. point. Étudier sa limite quand . Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à partir du nombre dérivé. 125 Exemples de dérivables : fonctions non valeur absolue en , racine carrée en . Interprétation géométrique. Le nombre dérivé de en est défini comme le coefficient directeur de la tangente en . On admet que le coefficient directeur de la tangente est la limite du coefficient directeur des sécantes et on écrit : . Pour les fonctions affines, la fonction Principe de l’approximation carré et la fonction inverse, calculer le linéaire au voisinage d’un point : pour une fonction f donnée, nombre dérivé en un point. calculer une valeur approchée de pour une petite valeur de en utilisant le nombre dérivé. Démontrer que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0 et interpréter Comparer avec la valeur exacte géométriquement le résultat (tangente donnée par une calculatrice électronique. verticale). Équation de la tangente en . Meilleure approximation affine d’une fonction en un point : . Interprétation cinématique du nombre dérivé. Dans le cas où la fonction modélise l’évolution de la distance en fonction du temps dans un mouvement linéaire, interpréter un nombre dérivé comme une vitesse instantanée. 126 Exemple d’exercice : Une bille est lâchée verticalement du haut d’une tour. Elle met 3 secondes pour atteindre le sol. On admet que la distance (en mètres) entre la bille et le sol dépend du temps (en secondes) selon la relation . À l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur, calculer les vitesses moyennes de la bille : - entre 0 et 3 secondes ; - entre 2 et 3 secondes ; - entre 2,5 et 3 secondes ; - entre 2,9 et 3 secondes ; - entre 2,99 et 3 secondes. Calculer la vitesse instantanée de bille quand elle touche le sol. Différentes notations du nombre dérivé Faire les correspondances entre les notations de Lagrange et celles de en a. Leibniz. Si l’évolution d’une fonction d’une grandeur grandeur en est modélisée par une fonction Pour le taux d’accroissement en a : notation de Leibniz très utilisée en physique. Pour la dérivée en a : notations de 127 Fonction dérivée. Lagrange et de Leibniz Interpréter comme une nouvelle fonction : • notation de Lagrange : ; • notation de Leibnitz : • notation de Newton : . Dérivées des fonctions affines, carré, Connaître les dérivées des fonctions de cube, inverse, racine carrée. référence. Opérations sur les fonctions dérivées : Connaître et utiliser les formules : dérivées d’une somme, d’un produit, d’un quotient (sous réserve d’existence). Dérivée de la composée d’une fonction par une fonction affine. , ( = Si , 128 Appliquer les formules de dérivation pour calculer la dérivée d’une fonction se déduisant des fonctions de référence par opération ou par composition par une fonction affine. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 1° L’invention de la notion de dérivée, vers la fin du XVIIe siècle, par Newton et Leibniz, a été une avancée majeure pour toutes les sciences. Elle se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent de manière linéaire quand on leur applique de très petites variations. 2° Les dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée se ramènent toutes à la formule . 3° Pour les fonctions modélisant des situations concrètes, on utilisera à la place de la lettre nom de la grandeur qu’elle représente. Ainsi, le temps est désigné par la lettre lettre , l’intensité électrique par la lettre BLOC 2 une lettre faisant référence au la distance par la lettre la hauteur par la etc. 4°La maîtrise du calcul sur les dérivées suppose l’acquisition d’automatismes, à travers une pratique régulière et fréquente. Sens de variation d’une fonction Caractérisation des fonctions constantes Déterminer, sur un intervalle donné, si Démontrer que si une fonction est sur un intervalle. Interprétation une fonction est croissante ou constante sur un intervalle, alors sa dérivée est nulle. Démontrer graphique. décroissante que, si une fonction est croissante sur un intervalle, alors sa fonction Lien entre le sens de variation d’une Étudier le signe de la dérivée sur un dérivée est positive ou nulle. fonction dérivable sur un intervalle et le intervalle pour obtenir signe de sa fonction dérivée (résultat variation d’une fonction. admis). Interprétation graphique (signe de la pente des tangentes). 129 le sens de Reprendre l’étude des variations de la fonction trinôme à l’aide du Tableau de variations d’une fonction. Dresser des tableaux de variations de signe de sa dérivée. fonctions se ramenant aux fonctions de référence. Exploiter les variations d’une fonction pour établir une inégalité ou étudier la position relative de deux courbes. Utiliser l’exemple de la fonction cube en zéro pour mettre en évidence que la extremum. nullité du nombre dérivé n’est pas suffisante pour avoir un extremum local. Extremum local, extremum global. Nombre dérivé en un Interprétation géométrique. Résoudre des problèmes d’optimisation en déterminant les extremums d’une fonction sur un intervalle donné. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La réciproque de l’implication ( , qui repose sur le théorème des accroissements finis, ne peut pas être démontrée à ce niveau. Il en est de même pour la caractérisation d’une fonction monotone par le signe de la dérivée. La définition d’un extremum local est donnée de manière heuristique, et interprétée sur la courbe représentative ou le tableau de variation. BLOC 3 La fonction exponentielle Définition de la fonction exponentielle comme l’unique fonction qui vérifie l’équation Écrire un algorithme et un script Python pour construire de manière approchée la courbe représentative de la fonction exponentielle par la méthode d’Euler. et la condition 130 Toute fonction forme vérifiant où est de la est une constante (résultat admis). Propriétés de la fonction exponentielle : Calculer en fonction de exp(1) pour justifier la notation Pour tout nombre réel x, la suite (exp( Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction )) exponentielle. est géométrique. Notation Le nombre e. Courbe représentative. Tangente en 0. Croissance exponentielle Comparer, graphiquement et par le Modéliser une situation de calcul, les valeurs prises par et pour croissance ou de décroissance exponentielle (évolution d’un de grandes valeurs de . capital à taux fixe, décroissance radioactive, croissance d’une population de bactéries, modèle Admettre qu’il en est de même en démographique de Malthus). remplaçant par n’importe quelle puissance positive de 131 Sensibiliser les élèves à la rapidité d’une croissance ou d’une décroissance exponentielle. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On ne présente aucune théorie générale sur les équations différentielles, ni même d’étude d’autres équations différentielles. On admet l’existence et l’unicité de la solution du problème . L’enseignant peut faire remarquer qu’on a ainsi résolu une équation dont l’inconnue est une fonction. Les élèves doivent comprendre que l’exponentielle est une nouvelle fonction, non polynomiale ou rationnelle, qui vérifie , modélise des phénomènes nombreux, et qui a une évolution très rapide. BLOC 4 Fonctions trigonométriques Cercle trigonométrique. Longueur d’un arc. Calculer des longueurs d’arcs de cercles. Définition du radian comme la mesure d’un angle interceptant sur le cercle trigonométrique un arc de mesure 1. Correspondance radians-degrés. Définition des deux fonctions cosinus et Faire le lien avec le cosinus et le sinus Utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre des équations et sinus. dans le triangle rectangle. des inéquations du type Placer un point sur le cercle Périodicité. trigonométrique. ; ; Parité. Tracer les courbes des fonctions cosinus et Symétries. sinus. 132 Courbes représentatives. Utiliser le cercle trigonométrique pour trouver les valeurs des fonctions cosinus Modéliser un phénomène et sinus aux valeurs remarquables périodique (par exemple le suivantes : mouvement d’un pendule simple) et utiliser les symétries pour par une fonction trigonométrique. En lien avec la physique, les calculer en d’autres valeurs. introduire les notions d’amplitude, de pulsation, de phase. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Si la trigonométrie est, sans aucun doute, importante pour elle-même et par son utilité en mathématiques, en physique et dans de nombreuses applications, ce n’est pas par une accumulation de formules impossibles à mémoriser par les élèves. Puisque les formules d’addition ne sont pas au programme de S3, leur mémoire est ici uniquement sollicitée pour retenir l’image mentale du cercle trigonométrique, avec l’abscisse et l’ordonnée d’un point données par et , et la seule formule : qui traduit que le point appartient au cercle-unité. Ils sont entraînés à retrouver toutes les autres formules à partir de ces deux seuls éléments. Cette image mentale permet aussi de faire le lien avec le cosinus et le sinus dans le triangle rectangle. UA Géométrie Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Connaître et utiliser le produit scalaire dans le plan Définition géométrique du produit Calculer des produits scalaire de deux vecteurs à partir de la différentes manières : 133 scalaires de Développer d’Al Kashi) (Formule projection orthogonale. Formule avec le cosinus. Notation Norme d’un vecteur. Caractérisation de l’orthogonalité. - en projetant l’un des vecteurs sur la droite orientée dirigée par l’autre ; Théorème de la médiane. - en décomposant l’un des vecteurs comme une somme bien choisie et en utilisant la bilinéarité. Transformer l’expression Propriétés du produit scalaire : bilinéarité, Utiliser le produit scalaire pour : symétrie. - démontrer l’orthogonalité de droites ; - calculer un angle ; - calculer une longueur. Dans une base orthonormée, expressions du produit scalaire, de la norme, de la distance entre deux points. en utilisant le milieu de , puis déterminer l’ensemble des deux points tels que Calculer des produits scalaires et des normes à l’aide des coordonnées des vecteurs. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le produit scalaire est un nouvel outil qui permet de traduire une propriété géométrique comme l’orthogonalité par une égalité numérique. BLOC 2 Géométrie analytique plane Vecteur normal à la droite d’équation Déterminer une équation cartésienne Recherche de l’ensemble des d’une droite à partir de la donnée d’un points équidistants d’une droite et point et d’un vecteur normal. d’un point. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite. 134 Représentation paramétrique d’une droite. Donner la représentation paramétrique Trouver une représentation d’une droite définie par un point et un paramétrique d’une droite donnée vecteur directeur. par son équation cartésienne. Déterminer un point et un vecteur Réciproquement, déterminer une directeur d’une droite à partir d’une équation cartésienne d’une droite donnée par une représentation représentation paramétrique. paramétrique. Équation d’un cercle de centre et de rayon Reconnaître une équation de cercle, en donnés. déterminer le centre et le rayon. - détermination de l’intersection d’un cercle et d’une droite ; détermination de l’intersection de deux cercles ; détermination de l’intersection d’une parabole avec une droite. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour traiter analytiquement un problème géométrique, le choix d’un repère adapté mérite une attention particulière. Selon le problème à résoudre, on choisit de représenter une droite par une équation cartésienne ou par une représentation paramétrique. Le passage d’une représentation paramétrique à une équation cartésienne est délicat, car il s’agit d’éliminer le paramètre entre les équations traduisant sur chacune des coordonnées l’égalité vectorielle Le passage inverse suppose de déterminer un point et un vecteur directeur de la droite d’équation . Un vecteur directeur est le vecteur orthogonal au vecteur normal fournit les coordonnées d’un point de la droite. BLOC 3 Géométrie vectorielle dans l’espace à trois dimensions Calcul vectoriel dans l’espace : extension des opérations entre vecteurs du plan. 135 Toute solution de l’équation BLOC 4 Vecteurs colinéaires. Étudier si deux vecteurs sont colinéaires Vecteurs coplanaires Étudier si trois vecteurs sont coplanaires. Traiter géométriquement des problèmes de configurations dans l’espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité). Connaître et utiliser les barycentres dans le plan et dans l’espace Système de points pondérés du plan ou Déterminer le barycentre d’un système de de l’espace. points pondérés du plan ou de l’espace. La fonction vectorielle de Leibniz Barycentre d’un système de points pondérés Associativité du barycentre Utiliser la notion de barycentre pour démontrer des alignements ou des concourances de droites. Par exemple, centres de gravité d’un triangle, d’un tétraèdre. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La notion de barycentre, utilisée en physique et en statistique illustre l’efficacité du calcul vectoriel UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Comprendre et utiliser la notion de probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle d’un Calculer des probabilités conditionnelles événement B sachant un événement A de lorsque les événements sont présentés probabilité non nulle. sous la forme d’un tableau croisé d’effectifs. 136 Suggestions d’activités Notation . Formule des probabilités composées : Construire un arbre de probabilités pour représenter une expérience aléatoire. Utiliser cet arbre pour calculer des probabilités. Partition de l’univers : système complet Faire le lien entre l’utilisation de l’arbre et la formule des probabilités totales. d’événements. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes : Appliquer des raisonnements de type bayésien aux tests médicaux. . Si M désigne l’événement « Être malade » et T l’événement « Réagir positivement au test » : Extension à un système complet de événements. - à partir d’un tableau de données issu d’un diagnostic médical sur une sous-population, calculer les fréquences de « Vrais positifs », et « Faux positifs » pour estimer et Indépendance de deux événements. - connaissant (appelée prévalence de la maladie), appliquer la formule de Bayes 137 pour calculer et - Comparer la fiabilité de deux tests médicaux. Appliquer une démarche de type bayésien dans d’autres contextes de classification (reconnaissance d’images, détection de messages non sollicités envoyés en masse, etc.). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On évite la notation P qui laisse croire que est un événement. La formule de Bayes a longtemps été appelée formule de probabilité des causes car elle permet de « remonter le temps », c'est-à-dire de calculer la probabilité d'une cause (la maladie) à partir de celles de ses conséquences (la positivité ou la négativité d’un test). L’indépendance de deux événements peut être présentée de la manière suivante : pour un événement de probabilité non nulle, est indépendant de si P , ce qui traduit que la réalisation de n ‘a pas d’incidence sur celle de . Les élèves démontrent que la propriété d’indépendance est symétrique lorsque les probabilités de et de sont toutes BLOC 2 deux non nulles. Modéliser une expérience aléatoire à plusieurs épreuves Expérience aléatoire à épreuves : Représenter une expérience aléatoire à deux épreuves (indépendantes ou non) représentation d’une issue par un -uple. par un arbre de probabilité à deux branches ou par un tableau à deux entrées. 138 Calculer des probabilités dans le cadre d’une succession de tirages dans une urne, avec et sans remise. Représenter une expérience aléatoire à épreuves (indépendantes ou non) par un arbre de probabilités à branches. Répétition de épreuves de Bernoulli Reconnaître une loi binomiale dans une situation concrète. identiques et indépendantes de paramètre : schéma de Bernoulli. Exprimer les probabilités à l’aide des coefficients binomiaux. Lancers successifs d’un dé. Tirages avec remise dans une urne comportant des boules de deux couleurs. La probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités des composantes . Représentation par un arbre de probabilités. Nombre de bijections d’un ensemble à À l’aide des expressions avec les factorielles, démontrer que éléments dans lui-même : notation . ; Convention Triangle de Pascal : Coefficient binomial défini comme le nombre de sous-ensembles à éléments 139 Démonstration, par récurrence, de la formule du binôme. d’un ensemble à éléments. Expression de à l’aide des factorielles. et de , utiliser ces formules pour calculer des coefficients binomiaux de proche en proche. Formule du binôme. Loi binomiale, notée Pour des valeurs numériques de définie comme la loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Démontrer que, dans un schéma de Bernoulli, le nombre de chemins de l’arbre correspondant à succès est égal à . Si est une variable aléatoire suivant une loi binomiale, les élèves seront amenés à : - calculer numériquement des probabilités du type Reconnaître une loi binomiale dans une situation concrète. Exprimer les probabilités à l’aide des coefficients binomiaux. - déterminer (éventuellement avec l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de programmation) le plus petit entier naturel k tel que P( Représenter une loi binomiale par un diagramme en bâtons. 140 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On désigne oralement le symbole par la locution « parmi ». Les cœfficients binomiaux sont introduits dans cette UA en raison de leur lien étroit avec la loi binomiale, mais ils interviennent aussi de manière importante en calcul algébrique, comme on le voit avec la formule du binôme, qui permet de démontrer que la somme des valeurs prises par la loi binomiale est bien égale à 1. UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser les tableaux statistiques à double entrée Tableau croisé d’effectifs mettant en jeu deux variables catégorielles. Fréquence conditionnelle ; fréquence marginale. Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales à partir de la donnée d’un tableau croisé d’effectifs. Compléter un tableau croisé d’effectifs à partir des fréquences conditionnelles ou marginales. Interpréter des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales. 141 Créer un tableau croisé d’effectifs à partir de données brutes. Les élèves sont amenés à travailler sur des variables catégorielles de natures diverses : des variables qualitatives (profession, espèce, département de résidence, marque, etc.), quantitatives discrètes (niveau d’étude, degré de satisfaction de la clientèle) ou continues (tranches d’âge ou de durée de transport). Ils utilisent des données réelles relatives à des domaines variés (sécurité routière, démographie, économie, agronomie, climatologie, etc.). Ces données peuvent provenir, notamment, de l’institut haïtien de statistique et d’informatique (ISHI : https://ihsi.gouv.ht/), de l’Unesco (http://data.uis.unesco.org/?lang =fr, de l’Organisation mondiale de la santé (https://data.who.int/fr), de l’Unicef (https://www.unicef.org/fr/th% C3%A8mes/donn%C3%A9es-etrapports), de la Communauté caribéenne (CARICOM) https://statistics.caricom.org/. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le domaine de la statistique est celui qui est le plus susceptible de donner lieu à des interactions avec les autres domaines d’enseignement (sciences physiques, sciences de la vie et de la Terre), et à des mises en situation concrètes. Il est donc recommandé de mettre à profit ces interactions possibles. UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notion de fonction informatique Fonction informatique sans paramètre. Fonction informatique à un ou plusieurs paramètres. Écrire en Python une fonction avec ou Écrire des fonctions renvoyant l’aire d’une figure plane (carré, sans paramètre. rectangle, triangle) ou le volume d’un solide (pyramide, cylindre) 142 en fonction de leurs mesures. Écrire des fonctions conversions d’unités. de Utiliser une ou plusieurs fonctions pour simplifier le corps principal d’un programme. BLOC 2 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La création d’une fonction permet de donner un nom à un ensemble d’instructions et de simplifier le corps principal d’un programme, en dissimulant un algorithme secondaire sous une commande unique, possédant le nom de la fonction. Une fonction est donc un sous-programme. Le mot « fonction » a donc un sens différent en mathématiques et en informatique. Autres précisions de vocabulaire : - un paramètre est une variable qui permet de faire varier le résultat d’une fonction selon les valeurs qui lui seront attribuées lors des différents appels de la fonction ; - un argument est une valeur passée à la place d’un paramètre lors de l’appel de la fonction. Notion de liste Définition d’une liste :une liste est une Générer une liste (en extension, par ajouts suite finie modifiable d’objets numérotés successifs ou en compréhension). à partir de . Manipuler des éléments d’une liste Écriture d’une liste entre crochets ; liste (ajouts, suppressions) et leurs indices. vide. Parcourir une liste. Itérer sur les éléments d’une liste. 143 On pourra proposer aux élèves d’écrire les scripts Python permettant de : - générer (en compréhension ou à l’aide d’une boucle for) la liste des 100 premiers nombres pairs ; - échanger deux éléments d'une liste donnée ; - étant donnée une liste d'entiers, donner la somme de ses éléments ; - donner la liste des diviseurs d'un entier donné ; - générer une variable aléatoire finie et qui calcule son espérance et son écart-type. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le lien est fait entre les listes informatiques et les suites étudiées en mathématiques. BLOC 3 Utiliser un outil numérique pour tracer des graphiques Utiliser un tableur ou le langage Python Représenter des données pour représenter : statistiques et des courbes de - un nuage de points ; fonctions. - un histogramme ; - la courbe représentative d’une fonction. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Aucun savoir spécifique sur la syntaxe du tableur ou du logiciel Python relatif à ces tracés n’est attendu des élèves. En cas de besoin, ils se réfèrent à l’aide en ligne du tableur ou du logiciel de programmation. UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui leur serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, calcul algébrique, arithmétique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de 3ème année. 144 Savoirs BLOC 1 Suggestions d’activités Connaître et utiliser le langage mathématique de base Consolidation des notions ensembles étudiées en S2 Produit cartésien de BLOC 2 Savoir-faire ensembles sur les En s’appuyant sur un diagramme, relier Écrire en extension l’univers le complémentaire d’une réunion et correspondant à 2 tirages avec l’intersection des complémentaires. remise dans une urne contenant 3 boules rouges et deux boules En s’appuyant sur un diagramme, relier vertes. le complémentaire d’une intersection et la réunion des complémentaires. Exprimer à l’aide d’un produit cartésien l’univers correspondant à une expérience aléatoire à n épreuves. Comprendre des propositions logiques exprimées dans le langage naturel ou dans le langage mathématique Proposition mathématique. Montrer par des exemples qu’une proposition mathématique peut être vraie (exemple : tout carré d’un nombre est positif ou nul) ou fausse (exemple : tout nombre entier naturel est pair). Identifier, dans une proposition mathématique, le statut de l’égalité en distinguant égalité (exemples : , Les notions de logique sont introduites à partir de formulations dans le langage naturel avant d’être mobilisées dans des activités mathématiques relevant de la géométrie, des nombres, du calcul. ), identité (exemples , 145 Activité visant à faciliter la compréhension de l’importance de la place des quantificateurs : ) et équation Comparer des propositions du type « Quel que soit le poisson, il (exemple : ). existe un hameçon qui permet de l’attraper » et « Il existe un hameçon qui, quel que soit le Identifier, dans une proposition mathématique, le statut des lettres en poisson, permet de l’attraper ». distinguant inconnue, variable, Activité visant à faciliter la paramètre. compréhension d’une Formuler (en langage naturel et en implication : langage mathématique) la négation de propositions telles que : • , où considère est un sous- On suivante : ensemble de • S’il y a un arc-en-ciel, alors il y a un rayon de soleil. . ) Est-elle vraie ou fausse ? La réciproque de cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Quantificateurs universel (symbole ) et existentiels (symboles l’implication Identifier la condition nécessaire et la Énoncer la contraposée de cette condition suffisante d’une implication : implication. : est une condition nécessaire de : est une condition suffisante de : est une condition nécessaire et « Pour tout entier naturel 146 Écrire en langage mathématique les propositions suivantes : , si Conditions nécessaire, suffisante, nécessaire et suffisante ;lien avec les symboles : , suffisante de . est un multiple de 6, alors c’est un multiple de 2 et de 3 ». Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la réciproque « Il existe un multiple de 6 qui n’est pas un multiple de 3 ». d’une implication. Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la contraposée d’une implication. Faire la différence entre réciproque et contraposée. BLOC 3 Formuler une équivalence logique. Comprendre, mobiliser et formaliser des raisonnements mathématiques Démontrer les assertions suivantes par disjonction de cas : Raisonnement par disjonction de cas. - le nombre réel a étant donné, montrer que - pour tout nombre entier naturel , est un nombre entier. 147 Raisonnement par l’absurde. Faire le lien entre le raisonnement par l’absurde et la contraposée d’une implication. On rappelle que est un nombre irrationnel. En déduire, en raisonnant par l’absurde que, si et sont deux entiers relatifs tels que alors Raisonnement par récurrence. Les élèves maîtrisent les trois étapes d’un raisonnement par récurrence : - formulation de la proposition à démontrer pour tout entier naturel ; - initialisation : on démontre que Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel est vraie ; - hérédité : on démontre que si vraie, alors est vraie. est Démontrer par récurrence que, si , alors, pour tout entier naturel : Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul . 148 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à passer du langage naturel au langage mathématique et vice-versa. Le raisonnement par l’absurde et le raisonnement par récurrence sont délicats. Leur maîtrise suppose que les élèves y soient confrontés fréquemment, et que la structure du raisonnement leur soit systématiquement explicitée. UA Matrices et graphes Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Théorie des graphes Graphe non orienté : sommets, arêtes, Identifier, sur un graphe donné, Modéliser un réseau simple par un graphe les éléments qui le constituent : (réseau de communication, réseau social, boucles. sommets (et leurs degrés), arêtes réseau routier). Degré d’un sommet. ou arcs, boucles. Reconnaître si Sommets adjacents ; exemple du graphe un graphe est complet. Créer un graphe non-orienté ou orienté représentant des relations entre des élèves, Vérifier, sur des exemples, que la et discuter la signification du degré en somme des degrés des sommets termes de relations sociales. Graphe orienté : sommets, arcs, boucles. d’un graphe non orienté ne Degré entrant et degré sortant d’un comportant pas de boucle est égal sommet. au double du nombre de ses Étudier l’exemple historique des sept arêtes. ponts de Königsberg. complet. Modéliser une situation Exemples d’exercices possibles : d’interactions par un graphe, a. 1. Sept amis passent une soirée ensemble orienté ou non. et organisent une série de jeux engageant 149 chacun deux joueurs. Au cours de la soirée, ils doivent tous participer au même nombre de jeux, et ne doivent pas affronter plusieurs fois le même adversaire. b. a. Dans un premier temps, ils décident de choisir et effectuent un tirage au sort pour déterminer toutes les doublettes qui s’affronteront au cours de la soirée. Le résultat du tirage au sort est représenté par le graphe ci-dessous. Interpréter ce graphe en termes de doublettes d’adversaires. b. Est-il possible de choisir n=3 ? c. Déterminer les différentes valeurs possibles pour le nombre de jeux. 2. Un tournoi de foot se joue entre cinq équipes A, B, C, D, E. 150 Chaque équipe rencontre une et une seule fois chacune des autres. Les résultats sont les suivants : A A B A B B C C D B E C D D A E A bat tu Dans un graphe non orienté, identifier des chaines, des chaines fermées, des cycles (les définitions en sont données). Représenter ces résultats à l’aide d’un graphe. Pour les graphes ci-dessous, étudier : - Dans un graphe orienté, identifier des chemins, des chemins fermés, des cycles (les définitions en sont données). la possibilité de les parcourir sans lever le crayon et en passant une fois et une seule sur chaque arête ; la possibilité de tracer des chemins passant une fois et une seule par tous les sommets. Reconnaître si un graphe est connexe (la définition de la connexité est donnée). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est de montrer l’intérêt des graphes pour modéliser des interactions. En dehors des termes « sommet, arête, arc », la connaissance du vocabulaire spécifique aux graphes n’est pas exigible. 151 BLOC 2 Matrices Matrice carrée (définie comme un tableau de 4 nombres). Matrices ligne ; matrice colonne Représenter par des schémas • la manière de calculer le terme i-j du produit de deux matrices carrées : . : Opérations : Sommede matrices de même dimension, produit d’une matrice par un nombre réel. Produit de deux matrices Produit d’une matrice matrice par une . Produit d’une matrice matrice . par une . 152 • la manière de calculer le produit d’une matrice carrée 2-2 par une matrice colonne 2-1 : • la manière de calculer le produit d’une matrice ligne 1-2 par une matrice carrée 22: 153 Identifier la j-ème colonne de la matrice comme le produit de la matrice par la j-ème colonne de . Identifier la i-ème ligne de la matrice comme le produit de la i-ème ligne de par la matrice . Représentation matricielle d’une Représenter une transformation Parmi les transformations géométrique du plan par une écriture possibles : transformation géométrique du plan. matricielle de la forme - les symétries orthogonales par rapport aux axes et aux , où et sont des matrices Lien entre le produit de deux matrices deux diagonales ; et une matrice . - la symétrie centrale de et la composée des transformations centre O ; géométriques associées. - les rotations de centre O. L’enseignant pourra proposer à des élèves plus avancés de calculer des matrices d’autres transformations. 154 Représentation matricielle d’un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues. Représenter un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues On note et . Résoudre le système par l’écriture matricielle et où Écrire la solution sous la forme . Vérifier l’égalité . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est d’introduire les matrices et , comme des tableaux de nombres permettant de représenter des transformations géométriques du plan et des systèmes linéaires. La formule donnant le coefficient i-j du produit de deux matrices n’est pas naturelle, mais est nécessaire pour que la matrice de la composée de deux transformations géométriques soit le produit des matrices de chacune. En S4, l’étude sera étendue aux matrices carrées de taille et à leur utilisation pour représenter des graphes et des chaînes de Markov. 155 Année 3 Série SES UA Nombres et calculs Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Suites de nombres réels Définition d’une suite comme une application de dans Notations : ou plus simplement Notion d’indice. Différents modes de génération d’une Représenter une suite donnée de manière explicite par le nuage de points suite : à partir de la représentation - de manière explicite : graphique de la fonction . - par des motifs géométriques évolutifs (patterns) ; Pour un entier donné, calculer le - par son premier terme et une relation terme d’indice d’une suite donnée par de récurrence une relation explicite ou par une relation de récurrence. Déterminer une relation explicite ou une relation de récurrence pour une suite de nombres correspondant à un motif géométrique. Exemple : Avec des allumettes, on construit une succession de maisons : au rang 1, la construction comporte une seule Substituer à une autre valeur littérale ; maison, au rang 2, elle comporte deux par exemple, calculer le terme d’indice maisons accolées, etc. dans la suite 156 Déterminer le nombre d’allumettes nécessaires à la construction à l’étape . Écrire un algorithme permettant de calculer les termes d’une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence. Coder cet algorithme en Python. Monotonie d’une suite. Suite croissante, suite décroissante. Étudier les variations d’une suite Proposer des exemples de suites non quelconque à l’aide du signe de monotones : , etc. Pour une suite à termes strictement positifs, relier ses variations à la position de par rapport à . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites sont des outils, mathématiques permettant de modéliser les phénomènes évolutifs à évolution discrète (contrairement aux fonctions qui modélisent des évolutions continues). La notation , qui représente une suite permet de la distinguer de son terme général La distinction est la même qu’entre une fonction et sa valeur générique . En début d’apprentissage, on peut accepter que les élèves parlent de la « suite 157 », mais il importe que la distinction soit très claire pour eux concernant la nature des deux objets (une application d’un côté, un nombre réel de l’autre). Dans certains cas, une suite peut n’être définie que sur un sous-ensemble de par exemple, la suite n’est définie que sur , et la suite n’est définie que pour La notion de limite d’une suite sera abordée en S4, en lien avec celle de limite d’une fonction, dans l’UA « Fonctions » BLOC 2 Suites arithmétiques Définition, raison. Calculer le terme général d’une suite arithmétique en fonction de son premier terme et de sa raison. Modéliser par une suite arithmétique une suite d’évolutions discrètes à accroissement constant. Calcul du terme général. Monotonie. 1. Exemple de motif géométrique évolutif Calculer Lien avec les fonctions affines. Somme de termes consécutifs. Déterminer le nombre de jetons à l’étape 2. Exemple d’exercice possible Un arbre mesure un mètre lors de sa plantation et sa taille augmente chaque année de la même longueur. 158 On sait que la hauteur de l’arbre a doublé en deux ans. On note la taille de l’arbre, en mètres au bout de années. Exprimer en fonction de . Au bout de combien d’années la taille de l’arbre dépassera-t-elle mètres ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites arithmétiques sont des modèles mathématiques permettant d’étudier des évolutions discrètes à accroissement constant. Elles sont à mettre en relation avec les fonctions affines, qui sont des modèles permettant d’étudier des évolutions continues à taux d’accroissement constant. BLOC 3 Suites géométriques de raison positive Définition, raison. Calcul du terme général. Monotonie lorsque la raison est positive. Calculer le terme général d’une suite 1. Modéliser par une suite géométrique le remboursement géométrique en fonction de son d’un emprunt à annuités constantes. premier terme et de sa raison. Représenter graphiquement le nuage 2. Comparer les croissances entre une de points en distinguant les cas suite arithmétique et une suite et géométrique, Calcul de selon la valeur de Somme de termes consécutifs. 159 en discutant Exemple d’exercice possible : Jules et Nelly décident d’acheter le même ordinateur portable. Ils ne disposent pas de la somme nécessaire pour régler immédiatement leur achat. Le vendeur leur propose des facilités de paiement. En incluant les intérêts, chacun devra verser un acompte et rembourser un total de 2 000$ (acompte compris) sur une durée de 12 mois selon des modalités à définir. Jules choisit de verser 80$ au moment de l’achat, puis il rembourse des mensualités fixes de 160$ chacun des 12 mois suivants. Nelly verse 125$ à l’achat, puis chacune de ses mensualités est supérieure de 3% à la mensualité précédente. Ainsi sa première mensualité dépasse de 3% les 125€ versés à l’acompte. Le 12e mois, elle rembourse la différence entre les 2 000$ dus et la somme totale qu’elle a déjà remboursée. Quelle somme totale Nelly a-t-elle remboursée à la fin du 11e mois ? Quel est le montant de sa 12e mensualité ? À partir de quel mois les mensualités de Nelly deviennent-elles plus élevées que celles de Jules ? 160 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour une suite géométrique, la comparaison de et de est plus simple en comparant leur quotient à 1 que leur différence à 0. Les suites géométriques sont des modèles mathématiques permettant d’étudier des évolutions discrètes dont le taux d’évolution est constant. Les suites géométriques servent à introduire les fonctions exponentielles dans l’unité d’apprentissage « Fonctions ». UA Calcul algébrique Savoirs BLOC 1 Trinôme Savoir-faire Suggestions d’activités et équation du second degré Propriétés d’un trinôme donné sous Dresser un tableau de signes pour forme factorisée : déterminer le signe d’un trinôme donné racines, signe. sous forme factorisée. Recherche d’une racine « évidente », (notamment 0, 1, -1), puis factorisation du trinôme. Expressions de la somme et du produit des racines en fonction des coefficients , et de la forme développée du trinôme. Factorisation d’un trinôme dont on connaît une racine. Forme canonique d’un trinôme. Mettre un trinôme sous forme Étude du texte canonique, d’abord sur des expressions Khwarizmi. numériques, puis dans le cas général, sur une expression littérale. 161 historique d’Al Discriminant. Racines. Factorisation éventuelle. Déterminer deux nombres réels connaissant leur somme et leur Connaître et appliquer les formules produit à partir de la résolution de donnant le discriminant l’équation . et les racines quand elles existent : - cas : deux racines - cas : une racine double - cas : pas de racine réelle. , Déterminer les côtés d’un rectangle dont on connaît l’aire et le périmètre. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il est indispensable de commencer par déterminer la forme canonique de trinômes à coefficients numériques, dans chacun des trois cas de la discussion, avant d’aborder l’étude générale. La connaissance des formules nécessite de la pratique, sur des exercices de difficulté très progressive, en commençant par transformer des trinômes dont les coefficients sont des entiers relatifs. Les élèves sont amenés à factoriser un trinôme en diversifiant les stratégies : recherche d’une racine évidente, détection des racines à partir des valeurs de leur somme et de leur produit, application des formules issues du discriminant. BLOC 2 Étude de la fonction Sens de variation. . Parabole représentative. Déduire de sa forme canonique le tableau de variation d’une fonction trinôme. 162 Courbe représentative : parabole. Déterminer l’axe de symétrie et le Présenter aux élèves plusieurs paraboles et plusieurs trinômes et sommet d’une parabole. leur demander de relier chaque Relier le signe de à l’orientation de la expression algébrique à la parabole parabole. correspondante. Étudier l’intersection de la parabole d’équation avec l’axe des abscisses. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Dans le cadre de cette UA qui relève de l’algèbre, le sens de variation d’une fonction trinôme n’utilise pas le signe de la dérivée, mais la forme canonique du trinôme et la connaissance des variations de la fonction carrée. L’utilisation de la dérivée sera traitée dans l’UA « Fonctions », ce qui permettra de revoir les résultats obtenus ici. Il convient donc de traiter l’UA « Calcul algébrique » avant l’UA « Fonctions ». UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Dérivation Taux d’accroissement d’une fonction Calculer des taux d’accroissement pour Calculer le taux d’accroissement d’une fonction simple autre que les entre deux valeurs. les fonctions définies par : fonctions de référence. Notation si la fonction est définie par ; . . Interprétation géométrique : pente Déterminer les signes de ces taux et les 163 relier au sens de variation de chaque fonction. d’une sécante à la courbe. Calculer le coefficient directeur d’une Lien entre le signe du taux sécante passant par et d’accroissement et les variations de la . fonction. Tangente à la courbe représentative de la fonction au point définie comme position limite des sécantes en ce point. Utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour observer la position limite des sécantes en un point. Exemples de fonctions non dérivables : Valeur absolue en , racine carrée en . Interprétation géométrique. Le nombre dérivé de en est défini Déterminer graphiquement un nombre 164 Principe de l’approximation linéaire comme le coefficient directeur de la dérivé par la pente de la tangente. tangente en . au voisinage d’un point : pour une fonction f donnée, calculer une valeur approchée de pour une petite valeur de en utilisant le nombre dérivé. Comparer avec la valeur exacte donnée par une calculatrice électronique. On admet que le coefficient directeur de la tangente est la limite du coefficient directeur des sécantes et on écrit : . Équation de la tangente en . Meilleure approximation affine d’une fonction en un point : . Différentes notations du nombre dérivé en a. Faire les correspondances entre les notations de Lagrange et celles de Leibniz. Si l’évolution d’une grandeur fonction d’une grandeur modélisée par une fonction Pour le taux d’accroissement en a : 165 en est • notation de Leibniz très utilisée en physique. • Pour la dérivée en a : notations de Lagrange et de Leibniz Fonction dérivée. Notations : si est Interpréter une grandeur qui varie en fonction fonction. d’une grandeur selon la relation • notation de Lagrange : comme une nouvelle ; • notation de Leibnitz : • notation de Newton : . Dérivées des fonctions affines, carré, Connaître les dérivées des fonctions cube, inverse, racine carrée. de référence. Opérations sur les fonctions dérivées : Connaître et utiliser les formules : dérivées d’une somme, d’un produit, d’un quotient (sous réserve d’existence). ,( = 166 Si , Appliquer les formules de dérivation pour calculer la dérivée d’une fonction se déduisant des fonctions de référence par opération ou par composition par une fonction affine. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 1° L’invention de la notion de dérivée, vers la fin du XVIIe siècle, par Newton et Leibniz, a été une avancée majeure pour toutes les sciences. Elle se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent de manière linéaire quand on leur applique de très petites variations. 2° Les dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée se ramènent toutes à la formule . 3° Pour les fonctions modélisant des situations concrètes, on utilisera à la place de la lettre une lettre faisant référence au nom de la grandeur qu’elle représente. Ainsi, le temps est désigné par la lettre la distance par la lettre la hauteur par la lettre , l’intensité électrique par la lettre etc. 4° La maîtrise du calcul sur les dérivées suppose l’acquisition d’automatismes, à travers une pratique régulière et fréquente. BLOC 2 Sens de variation d’une fonction Lien entre le sens de variation d’une Déterminer, sur un intervalle donné, si Reprendre l’étude des variations de la fonction dérivable sur un intervalle et une fonction est croissante ou fonction trinôme à l’aide du signe de le signe de sa fonction dérivée (résultat décroissante sa dérivée. admis). Interprétation graphique (signe de la pente des tangentes). Tableau de variations d’une fonction. Étudier le signe de la dérivée sur un Exploiter les variations d’une fonction intervalle pour obtenir le sens de pour établir une inégalité ou étudier variation d’une fonction. la position relative de deux courbes. 167 Dresser des tableaux de variations de fonctions se ramenant aux fonctions de référence. Extremum local, extremum global. Nombre dérivé en un extremum. Interprétation géométrique. Utiliser l’exemple de la fonction cube en zéro pour mettre en évidence que la nullité du nombre dérivé n’est pas suffisante pour avoir un extremum local. Résoudre des problèmes d’optimisation en déterminant les extremums d’une fonction sur un intervalle donné. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La définition d’un extremum local est donnée de manière heuristique, et interprétée sur la courbe représentative ou le tableau de variation. BLOC 3 Les fonctions exponentielles de base Pour tout réel strictement positif, Prolonger à main levée le nuage de définition de la fonction sur points comme prolongement à des valeurs positives non entières de la suite pour obtenir approximativement géométrique ; la courbe représentative sur de la fonction Extension à en posant, pour tout , . Pour une valeur numérique de donnée, utiliser une calculatrice pour obtenir différentes valeurs prises par la fonction afin d’en vérifier les propriétés. Utiliser une calculatrice graphique Utiliser une calculatrice pour dresser pour découvrir l’allure des courbes de un tableau de valeurs sur de la différentes fonctions exponentielles Sens de variations selon les valeurs de fonction selon les valeurs de . . afin de prolonger la courbe. Courbe représentative selon les valeurs . 168 Comparer l’image par une fonction exponentielle de la moyenne Représenter graphiquement la courbe arithmétique de deux nombres et la de la fonction , en discutant selon moyenne géométrique de leurs les valeurs de images. de . Représenter graphiquement les courbes des fonctions selon les valeurs de et de Utiliser les propriétés algébriques pour transformer des expressions numériques ou littérales. Propriétés algébriques : Pour tout entier relatif Cas particulier où fonction racine -ième. Croissance exponentielle Utiliser la racine -ième pour calculer Calculer un taux d’évolution mensuel un taux d’évolution moyen qui équivaut à un taux annuel donné. correspondant à évolutions successives. Lorsque , comparer, graphiquement et par le calcul les valeurs prises par et par pour de grandes valeurs de . Modéliser une situation de croissance ou de décroissance exponentielle (évolution d’un capital à taux fixe, décroissance radioactive, croissance d’une population de bactéries, Admettre qu’il en est de même en modèle démographique de Malthus). remplaçant par n’importe quelle puissance positive de 169 De même, lorsque , comparer les Sensibiliser les élèves à la rapidité d’une croissance ou d’une valeurs prises par et . décroissance exponentielle. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le choix a été fait de présenter en S3 aux élèves de la série SES les fonctions exponentielles de base sur comme versions continues des suites géométriques de raison . Les élèves sont sensibilisés au fait que ce sont de nouvelles fonctions, non polynomiales ou rationnelles. La comparaison des fonctions exponentielles et puissances permet de comprendre la rapidité de la croissance et de la décroissance exponentielles. La fonction exponentielle de base e sera présentée en S4 comme une fonction particulière. UA Géométrie Le programme de géométrie en série SES est très différent de celui des séries MP et SVT. Il est adapté aux objectifs de formation de la série. Savoirs Savoir-faire Suggestions d’activités BLOC 1 Résoudre des problèmes d’optimisation linéaire à deux variables Régionnement du plan. Caractériser analytiquement un demiplan. Résoudre graphiquement un système d’inéquations linéaires. Représenter graphiquement des parties de plan définies par des inéquations linéaires. Caractériser par un système d’inéquations linéaires une région polygonale convexe du plan. Programmation linéaire. Résoudre graphiquement un problème Exemple possible de problème de qui conduit à maximiser ou à minimiser programmation linéaire : 170 une expression du type sous plusieurs contraintes linéaires. Un menuisier fabrique des armoires et des buffets. Il dispose pour cela d’au maximum 40 heures par semaine et d’au maximum 25 lots de planches par semaine. Pour fabriquer une armoire, il lui faut 3 heures de travail et il utilise 3 lots de planches. Pour fabriquer un buffet, il lui faut 5 heures de travail et il utilise 2 lots de planches. Soit le nombre d’armoires fabriquées et le nombre de buffets fabriqués par semaine. Représenter graphiquement contraintes imposées à et les Le menuisier peut-il fabriquer 3 armoires et 6 buffets ? Si le menuisier fabrique 5 armoires, combien de buffets peut-il fabriquer au maximum ? Si une armoire est vendue 200€ et un buffet 280€, quel est le chiffre d’affaires maximum possible pour le menuisier ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 171 UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser la notion de probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle d’un Calculer des probabilités événement sachant un événement conditionnelles lorsque les de probabilité non nulle. événements sont présentés sous la forme d’un tableau croisé d’effectifs. Notation . Formule des probabilités composées : Construire un arbre de probabilités pour représenter une expérience aléatoire. Partition de l’univers : complet d’événements. Calculer des probabilités en sommant les système d’événements probabilités d’issues associées aux différents chemins de l’arbre. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes : Appliquer la formule de Bayes. . Extension à un système complet de événements. Calculer la probabilité de l’intersection de deux événements indépendants. 172 Appliquer des raisonnements de type bayésien aux tests médicaux. Si désigne l’événement « Être malade » et l’événement « Réagir positivement au test » : - à partir d’un tableau de données issu d’un diagnostic médical sur une sous-population, calculer les fréquences de « Vrais positifs », et « Faux positifs » pour estimer et Indépendance de deux événements. connaissant (appelée prévalence de la maladie), appliquer la formule de Bayes pour calculer et Comparer la fiabilité de deux tests médicaux. Appliquer une démarche de type bayésien dans d’autres contextes de classification (reconnaissance d’images, détection de messages non sollicités envoyés en masse, etc.). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On évitera la notation qui peut laisser croire que est un événement. La formule de Bayes a longtemps été appelée formule de probabilité des causes car elle permet de « remonter le temps », c'est-à-dire de calculer la probabilité d'une cause (la maladie) à partir de celles de ses conséquences (la positivité ou la négativité d’un test). L’enseignant pourra présenter l’indépendance de deux événements de la manière suivante : pour un événement A de probabilité non nulle, B est indépendant de A si , ce qui traduit que la réalisation de A n ‘a pas d’incidence sur celle de B. Il démontrera que la propriété d’indépendance est symétrique lorsque les probabilités de A et de B sont toutes deux non nulles. 173 BLOC 2 Modéliser une expérience aléatoire à plusieurs épreuves Expérience aléatoire à épreuves : représentation d’une issue par un uple. Représenter une expérience aléatoire à plusieurs épreuves (indépendantes ou non) par un arbre de probabilité. Représentation de l’expérience par un arbre. Dans le cadre d’une expérience aléatoire à plusieurs épreuves, calculer des probabilités d’événements en sommant les probabilités d’issues associées aux différents chemins de l’arbre. Répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre : schéma de Bernoulli. Lancers successifs d’une pièce de monnaie. Tirages successifs avec remise dans une urne contenant des boules de deux couleurs. La probabilité d’une issue est égale au produit des probabilités des composantes . Représentation par un arbre de probabilités à branches. Coefficient binomial, noté défini Vérifier sur des exemples numériques comme le nombre de chemins de et à l’aide d’un arbre que : l’arbre correspondant à k succès. ; Loi binomiale, notée définie comme la loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Si est une variable aléatoire suivant une loi binomiale, calculer numériquement des probabilités du type Représenter une loi binomiale par un diagramme en bâtons. 174 Pour des valeurs numériques de et de , utiliser ces formules pour calculer des coefficients binomiaux de proche en proche. Reconnaître une loi binomiale dans une situation concrète. Exprimer les probabilités à l’aide des coefficients binomiaux. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On désigne oralement le symbole par la locution « parmi ». Les coefficients binomiaux sont présentés dans l’UA Probabilités en raison de leur place dans la loi binomiale, mais ils interviennent aussi de manière importante en calcul algébrique. Les coefficients binomiaux sont définis à partir de l’arbre de probabilité modélisant un schéma de Bernoulli et non comme le nombre de sous-ensembles à éléments d’un ensemble à éléments. Les calculs de coefficients binomiaux peuvent être effectués à la main pour de petites valeurs de calculatrice. et de , ou à la UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser les tableaux statistiques à double entrée Tableau croisé d’effectifs mettant en jeu deux variables catégorielles. Calculer des fréquences conditionnelles et des fréquences marginales à partir de la donnée d’un tableau croisé d’effectifs. 175 Les élèves sont amenés à travailler sur des variables catégorielles de natures diverses : des variables qualitatives (profession, espèce, département de résidence, marque, etc.), quantitatives Fréquence conditionnelle ; Fréquence marginale. discrètes (niveau d’étude, degré de satisfaction de la clientèle) ou Compléter un tableau croisé d’effectifs continues (tranches d’âge ou de durée à partir des fréquences conditionnelles de transport). ou marginales. Ils utilisent des données réelles relatives à des domaines variés (sécurité routière, démographie, économie, agronomie, climatologie, etc.). Ces données peuvent provenir, notamment, de l’institut haïtien de statistique et d’informatique-ISHI : (https://ihsi.gouv.ht/https://ihsi.go uv.ht/), de l’Unesco (http://data.uis.unesco.org/ ?lang=fr), de l’Organisation mondiale de la santé (https://data.who.int/fr), de l’Unicef (https://www.unicef.org/fr/th%C3 %A8mes/donn%C3%A9es-etrapports), ou de la Communauté caribéenne-CARICOM (https://statistics.caricom.org/). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le domaine de la statistique est extrêmement important pour les sciences sociales. Il est susceptible de donner lieu à de nombreuses interactions avec elles, et à des mises en situation concrètes. Il est donc recommandé de les mettre à profit autant que possible. 176 UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notion de liste Définition d’une liste : une liste est une Générer une liste (en extension, par On pourra proposer aux élèves suite finie modifiable d’objets ajouts successifs ou en compréhension). d’écrire les scripts Python permettant numérotés à partir de . de : - générer (en compréhension ou à Manipuler des éléments d’une liste l’aide d’une boucle for) la liste des 100 Écriture d’une liste entre crochets ; liste (ajouts, suppressions) et leurs indices. premiers nombres pairs ; vide. - échanger deux éléments d'une liste donnée ; Parcourir une liste. Itérer sur les éléments d’une liste. - étant donnée une liste d'entiers, donner la somme de ses éléments ; - donner la liste des diviseurs d'un entier donné ; - générer une variable aléatoire finie et qui calcule son espérance et son écart-type. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le lien est fait entre les listes informatiques et les suites étudiées en mathématiques. 177 BLOC 2 Utiliser un outil numérique pour tracer des graphiques Utiliser un tableur ou le langage Python Représenter des données statistiques pour représenter : et des courbes de fonctions. - un nuage de points ; - un histogramme ; - la courbe représentative d’une fonction. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Aucun savoir spécifique sur la syntaxe du tableur ou du logiciel de programmation relatif à ces tracés n’est attendu des élèves. En cas de besoin, ils se réfèrent à l’aide en ligne du tableur ou du logiciel de programmation. UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui leur serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, calcul algébrique, arithmétique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de 3ème année. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Connaître et utiliser le langage mathématique de base Consolidation des notions sur les ensembles étudiées en S2. Produit cartésien de ensembles. En s’appuyant sur un diagramme, relier le complémentaire d’une réunion et l’intersection des complémentaires. En s’appuyant sur un diagramme, relier le complémentaire d’une 178 Écrire en extension l’univers correspondant à 2 tirages avec remise dans une urne contenant 3 boules rouges et deux boules vertes. intersection et la complémentaires. réunion des Exprimer à l’aide d’un produit cartésien l’univers correspondant à une expérience aléatoire à n épreuves. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques BLOC 2 Comprendre des propositions logiques exprimées dans le langage naturel ou dans le langage mathématique Proposition mathématique. Montrer par des exemples qu’une proposition mathématique peut être vraie (exemple : tout carré d’un nombre est positif ou nul) ou fausse (exemple : tout nombre entier naturel est pair). Identifier, dans une proposition mathématique, le statut de l’égalité en distinguant égalité (exemples : , ), identité (exemples , ) et équation (exemple : ). Les notions de logique sont introduites à partir de formulations dans le langage naturel avant d’être mobilisées dans des activités mathématiques relevant de la géométrie, des nombres, du calcul. Activité visant à faciliter la compréhension de l’importance de la place des quantificateurs : Comparer des propositions du type « Quel que soit le poisson, il existe un hameçon qui permet de l’attraper » et Identifier, dans une proposition mathématique, le statut des lettres en « Il existe un hameçon qui, quel que distinguant inconnue, variable, soit le poisson, permet de l’attraper ». paramètre. Activité visant à faciliter la Formuler (en langage naturel et en compréhension d’une implication : langage mathématique) la négation de 179 propositions telles que : • , où ensemble de • On considère l’implication suivante : est un sous- S’il y a un arc-en-ciel, alors il y a un rayon de soleil. . Est-elle vraie ou fausse ? Identifier la condition nécessaire et la La réciproque de cette proposition condition suffisante d’une implication est-elle vraie ou fausse ? : Énoncer la contraposée de cette : est une condition nécessaire de implication. Quantificateurs universel (symbole ) et existentiel (symboles ) : Conditions nécessaire, suffisante, nécessaire et suffisante ; lien avec les symboles , . est une condition suffisante de : est une condition nécessaire et suffisante de . Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la réciproque d’une implication. Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la contraposée d’une implication Faire la différence entre réciproque et contraposée. Formuler une équivalence logique. 180 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques BLOC 3 Comprendre, mobiliser et formaliser des raisonnements mathématiques Démontrer les assertions suivantes par disjonction de cas : Raisonnement par disjonction de cas. - pour tout nombre réel , - pour tout nombre entier naturel , est un nombre entier. Raisonnement par l’absurde. Faire le lien entre le raisonnement par l’absurde et la contraposée d’une implication. On rappelle que est un nombre irrationnel. En déduire, en raisonnant par l’absurde que, si et sont deux entiers relatifs tels que alors Raisonnement par récurrence. Les élèves maîtrisent les trois étapes Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel : d’un raisonnement par récurrence : . - formulation de la proposition à démontrer pour tout entier naturel ; . - initialisation : on démontre que est vraie ; - hérédité : on démontre que si vraie, alors est vraie. 181 est Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à passer du langage naturel au langage mathématique et vice-versa. Le raisonnement par l’absurde et le raisonnement par récurrence sont délicats. Leur maîtrise suppose que les élèves y soient confrontés fréquemment, et que la structure du raisonnement leur soit systématiquement explicitée. UA Matrices et graphes Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Identifier, sur un graphe donné, les éléments qui le constituent : sommets (et leurs degrés), arêtes ou arcs, boucles. Modéliser un réseau simple par un graphe (réseau de communication, réseau social, réseau routier). Théorie des graphes Graphe non orienté : sommets, arêtes. Degré d’un sommet. Sommets adjacents ; exemple du graphe complet. Modéliser une situation d’interactions par un graphe, orienté ou non. Graphe orienté : sommets, arcs. Degré entrant et degré sortant d’un sommet. 182 Étudier l’exemple historique des sept ponts de Königsberg. Exemples d’exercices possibles : c. 1. Sept amis passent une soirée ensemble et organisent une série de jeux engageant chacun deux joueurs. Au cours de la soirée, ils doivent tous participer au même nombre de jeux, et ne doivent pas affronter plusieurs fois le même adversaire. d. a. Dans un premier temps, ils décident de choisir et effectuent un tirage au sort pour déterminer toutes les doublettes qui s’affronteront au cours de la soirée. Le résultat du tirage au sort est représenté par le graphe cidessous. Interpréter ce graphe en termes de doublettes d’adversaires. b. Est-il possible de choisir ? e. c. Déterminer les différentes valeurs possibles pour le nombre de jeux. 2. Un tournoi de foot se joue entre cinq équipes A, B, C, D, E. Chaque équipe rencontre une et une seule fois chacune des autres. Les résultats sont les suivants : A A B A C B C B D B E C D D A E A E C E D bat tu Représenter ces résultats à l’aide d’un graphe. Dans un graphe non Pour les graphes ci-dessous, étudier : orienté fourni, identifier - la possibilité de les parcourir sans lever le des chaines, des chaines crayon et en passant une fois et une seule sur fermées, des cycles (les chaque arête ; définitions en sont - la possibilité de tracer des chemins passant une données). fois et une seule par tous les sommets. 183 Dans un graphe orienté donné, identifier des chemins, des chemins fermés, des cycles (les définitions en sont données). Reconnaître si un graphe est connexe (la définition de la connexité est donnée). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est de montrer l’intérêt des graphes pour modéliser des interactions. En dehors des termes « sommet, arête, arc », la connaissance du vocabulaire spécifique aux graphes n’est pas exigible. BLOC 2 Matrices Matrice carrée (définie comme un tableau de 4 nombres). Matrices ligne . ; matrice colonne Représenter par des schémas Exemples d’exercices possibles : • la manière de calculer le terme i-j du produit de deux matrices carrées : 1. On considère les matrices suivantes : et . : Calculer résultat. Opérations : Somme, produit d’une matrice par un nombre réel. Produit de 2 matrices Produit d’une matrice et et commenter le 2. On considère les matrices suivantes : . par une 184 matrice . Produit d’une matrice matrice . et par une . Peut-on calculer ? ? ? ? Dans l’affirmative, effectuer les calculs. 3. Lors d’un examen, les élèves ont passé deux épreuves de mathématiques : une épreuve écrite de coefficient 6 et une épreuve orale de coefficient 4. Voici les notes de deux élèves : • la manière de calculer le produit d’une matrice carrée par une matrice colonne : Épreuve écrite Épreuve orale Élève 1 13 15 Élève 2 12 17 Transformer matrice ce tableau en une Écrire la matrice colonne coefficients de chaque épreuve. des Interpréter les éléments de la matrice 185 • la manière de calculer le produit d’une matrice ligne par une matrice carrée 186 : Représentation matricielle d’un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues. Représenter un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues par une écriture matricielle de la forme Pour des valeurs numériques des paramètres, représenter un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues où et sont des matrices et une matrice . par l’écriture matricielle et où . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est d’introduire les matrices et comme des tableaux de nombres permettant de représenter des systèmes linéaires. La formule donnant le coefficient i-j du produit de deux matrices n’est pas naturelle. Même si la représentation matricielle des transformations géométriques planes ne figure pas au programme, il est important d’expliquer aux élèves que la formule est nécessaire pour que la matrice de la composée de deux transformations géométriques soit le produit des matrices de chacune. En S4, l’étude des matrices sera étendue aux matrices carrées de taille et à leur utilisation pour représenter des graphes et des chaînes de Markov. 187 Année 3 : série « Sciences de la vie et de la Terre » UA Nombres et calculs Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Suites de nombres réels Définition d’une suite comme une application de dans Notations : ou plus simplement Notion d’indice. Différents modes de génération d’une suite : - de manière explicite : - par des motifs géométriques évolutifs (patterns) ; - par son premier terme et une relation de récurrence Représenter une suite donnée de 1. Déterminer une relation explicite ou une relation de manière explicite par le nuage de points récurrence pour une suite de à partir de la représentation nombres correspondant à un graphique de la fonction . motif géométrique. Exemple : le problème des allumettes Pour un entier donné, calculer le terme Avec des allumettes, on construit d’une suite donnée par une une succession de maisons : au relation explicite ou par une relation de rang 1, la construction comporte récurrence. une seule maison, au rang 2, elle comporte deux maisons accolées, etc. Substituer à une autre valeur littérale ; d’indice par exemple, calculer le terme d’indice 188 dans la suite Déterminer le nombre d’allumettes nécessaires pour réaliser la construction à l’étape 2. Écrire un algorithme permettant de calculer les termes d’une suite définie par son premier terme et une relation de récurrence. Coder cet algorithme en Python. Monotonie d’une suite. Suite croissante, suite décroissante. Étudier les variations d’une suite 3. Proposer des suites non quelconque à l’aide du signe de ,( Relier les variations d’une suite à termes strictement positifs à la position de par rapport à . 189 exemples de monotones : , etc. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites sont des outils, mathématiques permettant de modéliser les phénomènes évolutifs à évolution discrète (contrairement aux fonctions qui modélisent des évolutions continues). La notation , qui représente une suite permet de la distinguer de son terme général générique La distinction est la même qu’entre une fonction et sa valeur . En début d’apprentissage, on peut accepter que les élèves parlent de la « suite », mais il importe que la distinction soit très claire pour eux concernant la nature des deux objets (une application d’un côté, un nombre réel de l’autre). Dans certains cas, une suite peut n’être définie que sur un sous-ensemble de que sur , et la suite par exemple, la suite n’est définie n’est définie que pour La notion de limite d’une suite sera abordée en S4, en lien avec celle de limite d’une fonction, dans l’UA « Fonctions ». BLOC 2 Suites arithmétiques Définition, raison. Calcul du terme général. Calculer le terme général d’une suite arithmétique en fonction de son premier terme et de sa raison. 1. Exemple de motif géométrique évolutif : Monotonie. Lien avec les fonctions affines. Calculer Somme de termes consécutifs. Déterminer le nombre de jetons à l’étape . 190 2. Modéliser par une suite arithmétique une suite d’évolutions discrètes à accroissement constant. Exemple d’exercice possible Un arbre mesure un mètre lors de sa plantation et sa taille augmente chaque année de lamême longueur. On sait que la hauteur de l’arbre a doublé en deux ans. On note la taille de l’arbre, en mètres au bout de Exprimer années. en fonction de . Au bout de combien d’années la taille de l’arbre dépassera-t-elle mètres ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites arithmétiques sont des modèles mathématiques permettant d’étudier des évolutions discrètes à accroissement constant. Elles sont à mettre en relation avec les fonctions affines, qui sont des modèles permettant d’étudier des évolutions continues à taux d’accroissement constant. 191 BLOC 3 Suites géométriques de raison positive Définition, raison. Calcul du terme général. Calculer le terme général d’une 1. Exemple de motif géométrique évolutif : triangle de Sierpinski suite géométrique en fonction de son premier terme et de sa raison. Monotonie. Somme de termes consécutifs. Représenter nuage de graphiquement points distinguant les cas le Calculer l’aire de la surface rouge à en l’étape 2. Modéliser par une suite géométrique le remboursement d’un emprunt à annuités constantes. et Calcul de discutant selon la valeur de en 3. Comparer les croissances entre une suite arithmétique et une suite géométrique, Exemple d’exercice possible : Jules et Nelly décident d’acheter le même ordinateur portable. Ils ne disposent pas de la somme nécessaire pour régler immédiatement leur achat. En incluant les intérêts, chacun devra verser un acompte etrembourser un total de 2 000$ (acompte compris) sur une durée de 12 mois, selon desmodalités à définir. 192 Jules choisit de verser 80$ au moment de l’achat, puis il rembourse des mensualitésfixes de 160$ chacun des 12 mois suivants. Nelly verse 125$ à l’achat, puis chacune de ses mensualités est supérieure de 3% à la mensualité précédente. Ainsi sa première mensualité dépasse de 3% les 125€ versés à l’acompte. Le 12e mois, elle rembourse la différence entre les 2 000$ dus et lasomme totale qu’elle a déjà remboursée. Quelle somme totale Nelly a-t-elle remboursée à la fin du 11e mois ? Quel est le montantde sa 12e mensualité ? À partir de quel mois les mensualités de Nellydeviennent-elles plus élevées que celles de Jules ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les suites géométriques sont des modèles mathématiques permettant d’étudier des évolutions discrètes dont le taux d’évolution est constant. Le modèle mathématique continu analogue est celui des fonctions exponentielles de base : . 193 UA Calcul algébrique Savoirs BLOC 1 Trinôme Savoir-faire Suggestions d’activités et équation du second degré Propriétés d’un trinôme donné sous Dresser un tableau de signes pour Recherche d’une racine forme factorisée : déterminer le signe d’un trinôme donné « évidente », (notamment 0, 1, sous forme factorisée. 1), puis factorisation du trinôme. racines, signe. Expressions de la somme et du produit des racines en fonction des coefficients , et de la forme développée du trinôme. Factorisation d’un trinôme dont on connaît une racine. Forme canonique d’un trinôme. Discriminant. Racines. Mettre un trinôme sous forme Étude des méthodes géométrique canonique, d’abord sur des expressions et algébrique d’Al Khwarizmi. numériques, puis dans le cas général, sur Déterminer deux nombres réels une expression littérale. connaissant leur somme et leur produit Factorisation éventuelle. Connaîtreet appliquer donnant le discriminant les formules et les racines quand elles existent : 194 à partir de la résolution de l’équation . Déterminer les côtés d’un rectangle dont on connaît l’aire et le périmètre. - cas : deux racines - cas : une racinedouble - cas : pas de racine réelle. , Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il est indispensable de commencer par déterminer la forme canonique de trinômes à coefficients numériques, dans chacun des trois cas de la discussion, avant d’aborder l’étude générale. La connaissance des formules nécessite de la pratique, sur des exercices de difficulté très progressive, en commençant par transformer des trinômes dont les coefficients sont des entiers relatifs. Les élèves sont amenés à factoriser un trinôme en diversifiant les stratégies : recherche d’une racine évidente, détection des racines à partir desvaleurs de leur somme et de leur produit, application des formules issues du discriminant. BLOC 2 Étude de la fonction . Parabole représentative. Sens de variation. Déduire de sa forme canonique le tableau de variation d’une fonction trinôme. Courbe représentative : parabole. Déterminer l’axe de symétrie et le Présenter aux élèves plusieurs paraboles et plusieurs trinômes sommet d’une parabole. et leur demander de relier Relier le signe de à l’orientation de la chaque expression algébrique à parabole. 195 Étudier l’intersection de la parabole la parabole correspondante. d’équation avec l’axe des abscisses. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Dans le cadre de cette UA qui relève de l’algèbre, le sens de variation d’une fonction trinôme n’utilise pas le signe de la dérivée, mais la forme canonique du trinôme et la connaissance des variations de la fonction carrée. L’utilisation de la dérivée sera traitée dans l’UA « Fonctions », ce qui permettra de revoir les résultats obtenus ici. Il convient donc de traiter l’UA « Calcul algébrique » avant l’UA « Fonctions ». UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Dérivation Taux d’accroissement d’une fonction Calculer des taux d’accroissement pour Calculer le taux d’accroissement d’une fonction simple autre que entre deux valeurs. les fonctions définies par : les fonctions de référence. Notation si la fonction est définie par ; . ; Interprétation géométrique : pente d’une Déterminer les signes de ces taux et les sécante à la courbe. relier au sens de variation de chaque fonction. 196 Lien entre le signe du taux Interpréter un taux d’accroissement : d’accroissement et les variations de la - comme une vitesse moyenne si la fonction. fonction représente une distance en fonction du temps ; - une pente si l’évolution la fonction représente la hauteur en fonction de la distance sur le sol. Tangente à la courbe représentative de la fonction au point définie comme position limite des sécantes en ce point. Calculer le coefficient directeur d’une Utiliser un logiciel de géométrie sécante passant par et dynamique pour observer la position limite des sécantes en un . point. Étudier sa limite quand . Déterminer graphiquement un nombre dérivé par la pente de la tangente. Construire la tangente en un point à partir du nombre dérivé. Exemples de dérivables : fonctions non valeur absolue en , racine carrée en . Interprétation géométrique. Le nombre dérivé de en est défini Pour les fonctions affines, la fonction Principe 197 de l’approximation comme le coefficient directeur de la carré et la fonction inverse, calculer le linéaire au voisinage d’un point : tangente en . pour une fonction f donnée, nombre dérivé en un point. calculer une valeur approchée de pour une petite valeur On admet que le coefficient directeur de Démontrer que la fonction racine carrée la tangente est la limite du coefficient n’est pas dérivable en 0 et interpréter géométriquement le résultat (tangente directeur des sécantes et on écrit : verticale). . de en utilisant le nombre dérivé. Comparer avec la valeur exacte donnée par une calculatrice électronique. Équation de la tangente en . Meilleure approximation affine d’une fonction en un point : . Interprétation cinématique du nombre dérivé. Dans le cas où la fonction modélise l’évolution de la distance en fonction du temps dans un mouvement linéaire, interpréter un nombre dérivé comme une vitesse instantanée. Exemple d’exercice : Une bille est lâchée verticalement du haut d’une tour. Elle met 3 secondes pour atteindre le sol. On admet que la distance (en mètres) entre la bille et le sol dépend du temps (en secondes) selon la relation . À l’aide d’une calculatrice ou 198 d’un tableur, calculer les vitesses moyennes de la bille : - entre 0 et 3 secondes ; - entre 2 et 3 secondes ; - entre 2,5 et 3 secondes ; - entre 2,9 et 3 secondes ; - entre 2,99 et 3 secondes. Calculer la vitesse instantanée de bille quand elle touche le sol. Différentes notations du nombre dérivé en a. Faire les correspondances entre les notations de Lagrange et celles de Leibniz. Si l’évolution d’une grandeur fonction d’une grandeur en est modélisée par une fonction Pour le taux d’accroissement en a : notation de Leibniz très utilisée en physique. Pour la dérivée en a : notations de Lagrange et de Leibniz 199 Fonction dérivée. Interpréter comme une nouvelle fonction : • notation de Lagrange : ; • notation de Leibnitz : • notation de Newton : . Dérivées des fonctions affines, carré, cube, inverse, racine carrée. Connaître les dérivées des fonctions de référence. Opérations sur les fonctions dérivées : dérivées d’une somme, d’un produit, d’un quotient (sous réserve d’existence). Connaître et utiliser les formules : Dérivée de la composée d’une fonction par une fonction affine. , ( = Si , 200 Appliquer les formules de dérivation pour calculer la dérivée d’une fonction se déduisant des fonctions de référence par opération ou par composition par une fonction affine. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 1° L’invention de la notion de dérivée, vers la fin du XVIIe siècle, par Newton et Leibniz, a été une avancée majeure pour toutes les sciences. Elle se fonde sur l’hypothèse que les phénomènes naturels évoluent de manière linéaire quand on leur applique de très petites variations. 2° Les dérivées des fonctions carré, cube, inverse, racine carrée se ramènent toutes à la formule 3° Pour les fonctions modélisant des situatins concrètes, on utilisera à la place de la lettre nom de la grandeur qu’elle représente. Ainsi, le temps est désigné par la lettre par la lettre , l’intensité électrique par la lettre BLOC 2 . une lettre faisant référence au la distance par la lettre la hauteur etc. 4°La maîtrise du calcul sur les dérivées suppose l’acquisition d’automatismes, à travers une pratique régulière et fréquente. Sens de variation d’une fonction Lien entre le sens de variation d’une Déterminer, sur un intervalle donné, si Reprendre l’étude des variations fonction dérivable sur un intervalle et le une fonction est croissante ou de la fonction trinôme à l’aide du signe de sa fonction dérivée (résultat décroissante signe de sa dérivée. admis). Interprétation graphique (signe de la pente des tangentes). Tableau de variations d’une fonction. Étudier le signe de la dérivée sur un Exploiter les variations d’une intervalle pour obtenir le sens de fonction pour établir une inégalité ou étudier la position variation d’une fonction. relative de deux courbes. 201 Dresser des tableaux de variations de fonctions se ramenant aux fonctions de référence. Extremum local, extremum global. Nombre dérivé en un extremum. Interprétation géométrique. Utiliser l’exemple de la fonction cube en zéro pour mettre en évidence que la nullité du nombre dérivé n’est pas suffisante pour avoir un extremum local. Résoudre des problèmes d’optimisation en déterminant les extremums d’une fonction sur un intervalle donné. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La définition d’un extremum local est donnée de manière heuristique, et interprétée sur la courbe représentative ou le tableau de variation. BLOC 3 La fonction exponentielle Définition de la fonction exponentielle comme l’unique fonction qui vérifie l’équation et la condition Toute fonction vérifiant forme où Écrire un algorithme et un script Python pour construire de manière approchée la courbe représentative de la fonction exponentielle par la méthode d’Euler. est de la est une constante (résultat admis). Propriétés de la fonction exponentielle : Calculer en fonction de exp(1) pour justifier la notation 202 Transformer une expression en utilisant les propriétés algébriques de la fonction exponentielle. Pour tout nombre réel x, la suite (exp( )) est géométrique. Notation Le nombre e. Courbe représentative. Tangente en 0. Croissance exponentielle Comparer, graphiquement et par le Modéliser une situation de calcul, les valeurs prises par et pour croissance ou de décroissance exponentielle (évolution d’un de grandes valeurs de . capital à taux fixe, décroissance radioactive, croissance d’une population de bactéries, modèle Admettre qu’il en est de même en démographique de Malthus). Sensibiliser les élèves à la remplaçant par n’importe quelle rapidité d’une croissance ou puissance positive de d’une décroissance exponentielle. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On ne présente aucune théorie générale sur les équations différentielles, ni même d’étude d’autres équations différentielles. On admet l’existence et l’unicité de la solution du problème . L’enseignant peut faire remarquer qu’on a ainsi résolu une équation dont l’inconnue est une fonction. Les élèves doivent comprendre que l’exponentielle est une nouvelle fonction, non polynomiale ou rationnelle, qui vérifie , modélise des phénomènes nombreux, et qui a une évolution très rapide. 203 BLOC 4 Fonctions trigonométriques Cercle trigonométrique. Calculer des longueurs d’arcs de cercles. Longueur d’un arc. Définition du radian comme la mesure d’un angle interceptant sur le cercle trigonométrique un arc de mesure 1. Correspondance radians-degrés. Définition des deux fonctions cosinus et Faire le lien avec le cosinus et le sinus Utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre des équations et sinus. dans le triangle rectangle. des inéquations du type Placer un point sur le cercle Périodicité. trigonométrique. ; ; Parité. Tracer les courbes des fonctions cosinus Symétries. et sinus. Courbes représentatives. Utiliser le cercle trigonométrique pour trouver les valeurs des fonctions cosinus et sinus aux valeurs remarquables Modéliser un phénomène suivantes : périodique (par exemple le mouvement d’un pendule et utiliser les symétries simple) par une fonction pour les calculer en d’autres valeurs. trigonométrique. En lien avec la physique, introduire les notions d’amplitude, de pulsation, de phase. 204 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il ne faut pas que les élèves assimilent la trigonométrie à une accumulation de formules impossibles à mémoriser. Puisque les formules d’addition ne sont pas au programme de S3, leur mémoire est ici uniquement sollicitée pour retenir l’image mentale du cercle trigonométrique, avec l’abscisse et l’ordonnée d’un point données par et , et la seule formule : qui traduit que le point appartient au cercle-unité. Ils sont entraînés à retrouver toutes les autres formules à partir de ces deux seuls éléments. Cette image mentale permet aussi de faire le lien avec le cosinus et le sinus dans le triangle rectangle. UA Géométrie Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Connaître et utiliser le produit scalaire dans le plan Définition géométrique du produit Calculer des produits scalaires de Développer (Formule scalaire de deux vecteurs à partir de la différentes manières : d’Al Kashi) projection orthogonale. - en projetant l’un des vecteurs sur la Formule avec le cosinus. Notation droite orientée dirigée par l’autre ; - en décomposant l’un des vecteurs Théorème de la médiane. Norme d’un vecteur. comme une somme bien choisie et en utilisant la bilinéarité. Caractérisation de l’orthogonalité. Transformer l’expression Propriétés du produit scalaire : en utilisant le milieu de , Utiliser le produit scalaire pour : bilinéarité, symétrie. puis déterminer l’ensemble des - démontrer l’orthogonalité de deux points tels que droites ; 205 - calculer un angle ; - calculer une longueur. Dans une base orthonormée, expressions du produit scalaire, de la norme, de la distance entre deux points. Calculer des produits scalaires et des normes à l’aide des coordonnées des vecteurs. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le produit scalaire est un nouvel outil qui permet de traduire une propriété géométrique comme l’orthogonalité par une égalité numérique. BLOC 2 Géométrie analytique plane Vecteur normal à la droite d’équation Déterminer une équation cartésienne d’une droite à partir de la donnée d’un point et d’un vecteur normal. - Recherche de l’ensemble des points équidistants d’une droite et d’un point ; - détermination de l’intersection d’un cercle avec une droite détermination de l’intersection de deux cercles ; Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d’un point sur une droite. Équation d’un cercle de centre et de rayon donnés. Reconnaître une équation de cercle, en déterminer le centre et le rayon. - Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le pro Pour traiter analytiquement un problème géométrique, le choix d’un repère adapté mérite une attention particulière. 206 BLOC 3 Géométrie vectorielle dans l’espace à trois dimensions Calcul vectoriel dans l’espace : extension des opérations entre vecteurs du plan. Vecteurs colinéaires. Étudier si deux vecteurs sont colinéaires. Vecteurs coplanaires. Étudier si trois vecteurs sont coplanaires. Traiter géométriquement des problèmes de configurations dans l’espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’extension des vecteurs du plan à ceux de l’espace s’opère de façon naturelle. L’important est d’aborder les notions de colinéarité et de coplanarité. UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Comprendre et utiliser la notion de probabilité conditionnelle Probabilité événement conditionnelle d’un Calculer des probabilités conditionnelles sachant un événement de lorsque les événements sont présentés sous la forme d’un tableau croisé probabilité non nulle. d’effectifs. Notation . Construire un arbre de probabilités pour représenter une expérience aléatoire. Formule des probabilités composées : Utiliser cet arbre pour calculer des probabilités. 207 Suggestions d’activités Faire le lien entre l’utilisation de l’arbre Partition de l’univers : système complet et la formule des probabilités totales. d’événements. Formule des probabilités totales. Formule de Bayes : Appliquer la formule de Bayes. . Extension à un système complet de événements. Indépendance de deux événements. Appliquer des raisonnements de type bayésien aux tests médicaux. Si désigne l’événement « Être malade » et l’événement Calculer la probabilité de l’intersection « Réagir positivement au test » : de deux événements indépendants. - à partir d’un tableau de données issu d’un diagnostic médical sur une sous-population, calculer les fréquences de « Vrais positifs », et « Faux positifs » pour estimer et - connaissant (appelée prévalence de la maladie), appliquer la formule de Bayes pour calculer et Comparer la fiabilité de deux tests médicaux. 208 Appliquer une démarche de type bayésien dans d’autres contextes de classification (reconnaissance d’images, détection de messages non sollicités envoyés en masse, etc.). BLOC 2 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On évitera la notation qui peut laisser croire que est un événement. La formule de Bayes a longtemps été appelée formule de probabilité des causes car elle permet de « remonter le temps », c'est-à-dire de calculer la probabilité d'une cause (la maladie) à partir de celles de ses conséquences (la positivité ou la négativité d’un test). L’enseignant pourra présenter l’indépendance de deux événements de la manière suivante : pour un événement A de probabilité non nulle, B est indépendant de A si , ce qui traduit que la réalisation de A n ‘a pas d’incidence sur celle de B. Il démontrera que la propriété d’indépendance est symétrique lorsque les probabilités de A et de B sont toutes deux non nulles. Modéliser une expérience aléatoire à plusieurs épreuves Expérience aléatoire à épreuves : représentation d’une issue par un -uple. Représenter une expérience aléatoire à plusieurs épreuves (indépendantes ou non) par un arbre de probabilité. Dans le cadre de la succession de plusieurs tirages dans une urne, avec ou Représentation de l’expérience par un sans remise, calculer des probabilités arbre de probabilité. d’événements en sommant les probabilités d’issues associées aux différents chemins de l’arbre. Répétition de épreuves de Bernoulli Lancers successifs d’une pièce de monnaie. identiques et indépendantes de paramètre : schéma de Bernoulli. Tirages successifs avec remise dans une urne contenant des 209 La probabilité d’une issue boules de deux couleurs. est égale au produit des probabilités des composantes . Représentation par un probabilités à branches. Coefficient binomial, noté arbre de , défini Démontrer à l’aide d’un arbre que : ; Si suivant une loi binomiale, les élèves seront amenés à : - calculer numériquement des probabilités du type comme le nombre de chemins de l’arbre correspondant à k succès. Loi binomiale, notée est une variable aléatoire définie comme la loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Pour des valeurs numériques de et de , utiliser ces formules pour calculer des coefficients binomiaux de proche en proche. - déterminer (éventuellement avec l’aide d’une calculatrice ou d’un logiciel de programmation) le plus petit entier naturel k tel que P( Reconnaître une loi binomiale dans une Représenter une loi binomiale situation concrète. par un diagramme en bâtons. Exprimer les probabilités à l’aide des coefficients binomiaux. 210 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On désigne oralement le symbole par la locution « parmi ». Les coefficients binomiaux sont définis à partir de l’arbre de probabilité modélisant un schéma de Bernoulli et non comme le nombre de sous-ensembles à ensemble à éléments d’un éléments. Les calculs de coefficients binomiaux peuvent être effectués à la main pour de petites valeurs de et de , ou à la calculatrice. UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser les tableaux statistiques à double entrée Tableau croisé d’effectifs mettant en jeu deux variables catégorielles. Fréquence conditionnelle ; fréquence marginale. Calculer des fréquences conditionnelles Les élèves sont amenés à et des fréquences marginales à partir de travailler sur des variables la donnée d’un tableau croisé d’effectifs. catégorielles de natures diverses : des variables qualitatives (profession, espèce, département de résidence, marque, etc.), Compléter un tableau croisé d’effectifs à quantitatives discrètes (niveau partir des fréquences conditionnelles ou d’étude, degré de satisfaction de la clientèle) ou continues marginales. (tranches d’âge ou de durée de transport). Ils utilisent des données réelles relatives à des domaines variés (sécurité routière, démographie, économie, agronomie, climatologie, etc.). Ces données 211 peuvent provenir, notamment, de l’institut haïtien de statistique et d’informatique-ISHI (https://ihsi.gouv.ht/), de l’Unesco : (http://data.uis.unesco.org/?lan g=fr), de l’Organisation mondiale de la santé (https://data.who.int/fr), de l’Unicef (https://www.unicef.or g/fr/th%C3%A8mes/donn%C3 %A9es-et-rapports), ou de la Communauté caribéenneCARICOM (https://statistics.caricom.org). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le domaine de la statistique est celui qui est le plus susceptible de donner lieu à des interactions avec les autres domaines d’enseignement (sciences physiques, sciences de la vie et de la Terre), et à des mises en situation concrètes. Il est donc recommandé de mettre à profit ces interactions possibles. UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notion de fonction informatique Fonction informatique sans paramètre. Écrire en Python une fonction avec ou Écrire des fonctions renvoyant l’aire d’une figure plane (carré, sans paramètre. 212 rectangle, triangle) ou le volume d’un solide (pyramide, cylindre) en fonction de leurs mesures. Fonction informatique à un ou plusieurs paramètres. Écrire des fonctions conversions d’unités. de Utiliser une ou plusieurs fonctions pour simplifier le corps principal d’un programme. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. BLOC 2 La création d’une fonction permet de donner un nom à un ensemble d’instructions et de simplifier le corps principal d’un programme, en dissimulant un algorithme secondaire sous une commande unique, possédant le nom de la fonction. Une fonction est donc un sous-programme. Le mot « fonction » a donc un sens différent en mathématiques et en informatique. Autres précisions de vocabulaire : - un paramètre est une variable qui permet de faire varier le résultat d’une fonction selon les valeurs qui lui seront attribuées lors des différents appels de la fonction ; - un argument est une valeur passée à la place d’un paramètre lors de l’appel de la fonction. Notion de liste Définition d’une liste :une liste est une Générer une liste (en extension, par On pourra proposer aux élèves suite finie modifiable d’objets numérotés ajouts successifs ou en compréhension). d’écrire les scripts Python à partir de . permettant de : - générer (en compréhension ou à Écriture d’une liste entre crochets ; liste Manipuler des éléments d’une liste l’aide d’une boucle for) la liste vide. (ajouts, suppressions) et leurs indices. des 100 premiers nombres pairs ; - échanger deux éléments d'une 213 Parcourir une liste. liste donnée ; Itérer sur les éléments d’une liste. - étant donnée une liste d'entiers, donner la somme de ses éléments ; - donner la liste des diviseurs d'un entier donné ; - générer une variable aléatoire finie et qui calcule son espérance et son écart-type. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le lien est fait entre les listes informatiques et les suites étudiées en mathématiques. BLOC 3 Utiliser un outil numérique pour tracer des graphiques Utiliser un tableur ou le langage Python pour représenter : - un nuage de points ; - un histogramme ; - la courbe représentative d’une fonction. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Représenter des données statistiques et des courbes de fonctions. Aucun savoir spécifique sur la syntaxe du tableur ou du logiciel Python relatif à ces tracés n’est attendu des élèves. En cas de besoin, ils se réfèrent à l’aide en ligne du tableur ou du logiciel de programmation. 214 UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui leur serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, calcul algébrique, arithmétique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de 3ème année. Savoirs BLOC 1 Suggestions d’activités En s’appuyant sur un diagramme, relier le complémentaire d’une réunion et l’intersection des complémentaires. En s’appuyant sur un diagramme, relier le complémentaire d’une intersection et la réunion des complémentaires. Écrire en extension l’univers correspondant à 2 tirages avec remise dans une urne contenant 3 boules rouges et deux boules vertes. Connaître et utiliser le langage mathématique de base Consolidation des notions sur les ensembles étudiées en S2 Produit cartésien de BLOC 2 Savoir-faire ensembles Exprimer à l’aide d’un produit cartésien l’univers correspondant à une expérience aléatoire à n épreuves. Comprendre des propositions logiques exprimées dans le langage naturel ou dans le langage mathématique Proposition mathématique. Montrer sur des exemples qu’une proposition mathématique peut être vraie (exemple : tout carré d’un nombre est positif ou nul) ou fausse (exemple : tout nombre entier naturel est pair). Les notions de logique sont introduites à partir de formulations dans le langage naturel avant d’être mobilisées dans des activités mathématiques Identifier, dans une proposition relevant de la géométrie, des mathématique, le statut de l’égalité en nombres, du calcul. distinguant égalité (exemples : , 215 (exemples Activité visant à faciliter la compréhension de l’importance de la place des quantificateurs : , Comparer des propositionsdu ) et équation type « Quel que soit le poisson, il existe un hameçon qui permet de (exemple : ). l’attraper » et « Il existe un hameçon qui, quel que soit le Identifier, dans une proposition poisson, permet de l’attraper ». mathématique, le statut des lettres en distinguant inconnue, variable, paramètre. ), Quantificateurs universel (symbole ) et existentiel (symboles ) Conditions nécessaire, suffisante, nécessaire et suffisante ; lien avec les symboles , . identité Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la négation de propositions telles que : • , où est un sousensemble de • . Activité visant à faciliter la compréhension d’une implication : On considère l’implication suivante : S’il y a un arc-en-ciel, alors il y a un rayon de soleil. Est-elle vraie ou fausse ? Identifier la condition nécessaire et la condition suffisante d’une implication : La réciproque de cette : est une condition nécessaire de proposition est-elle vraie ou fausse ? : est une condition suffisante de Énoncer la contraposée de cette implication. : est une condition nécessaire et suffisante de . 216 Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la réciproque d’une implication. Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la contraposée d’une implication Faire la différence entre réciproque et contraposée. BLOC 3 Formuler une équivalence logique. Comprendre, mobiliser et formaliser des raisonnements mathématiques Démontrer les assertions suivantes par disjonction de cas : Raisonnement par disjonction de cas. - pour tout nombre réel , - pour tout nombre entier naturel , est un nombre entier. Raisonnement par l’absurde. Faire le lien entre le raisonnement par l’absurde et la contraposée d’une implication. 217 On rappelle que est un nombre irrationnel. En déduire, en raisonnant par l’absurde que, si et sont deux entiers relatifs tels que alors Raisonnement par récurrence. Les élèves maîtrisent les trois étapes Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel d’un raisonnement par récurrence : - formulation de la proposition démontrer pour tout entier naturel à ; Démontrer par récurrence que, pour et tout entier naturel - initialisation : on démontre que est vraie ; - hérédité : on démontre que si vraie, alors est . est vraie. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à passer du langage naturel au langage mathématique et vice-versa. Le raisonnement par l’absurde et le raisonnement par récurrence sont délicats. Leur maîtrise suppose que les élèves y soient confrontés fréquemment, et que la structure du raisonnement leur soit systématiquement explicitée. 218 UA Matrices et graphes Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Théorie des graphes Graphe non orienté : sommets, Identifier, sur un graphe donné, Modéliser un réseau simple par un graphe (réseau les éléments qui le constituent : de communication, réseau social, réseau routier). arêtes, boucles. sommets (et leurs degrés), arêtes Degré d’un sommet. ou arcs, boucles. Sommets adjacents ; exemple Vérifier, sur des exemples, que la du graphe complet. somme des degrés des sommets d’un graphe non orienté ne comportant pas de boucle est égal Graphe orienté : sommets, au double du nombre de ses arcs, boucles. arêtes. Degré entrant et degré sortant d’un sommet. Créer un graphe non-orienté ou orienté représentant des relations entre des élèves, et discuter la signification du degré en termes de relations sociales. Étudier l’exemple historique des sept ponts de Königsberg. Modéliser une situation d’interactions par un graphe, Exemples d’exercices possibles : orienté ou non. f. 1. Sept amis passent une soirée ensemble et organisent une série de jeux engageant chacun deux joueurs. Au cours de la soirée, ils doivent tous participer au même nombre de jeux, et ne doivent pas affronter plusieurs fois le même adversaire. g. a. Dans un premier temps, ils décident de choisir 219 et effectuent un tirage au sort pour déterminer toutes les doublettes qui s’affronteront au cours de la soirée. Le résultat du tirage au sort est représenté par le graphe cidessous. Interpréter ce graphe en termes de doublettes d’adversaires. b. Est-il possible de choisir n=3 ? h. c. Déterminer les différentes valeurs possibles pour le nombre de jeux. 2. Un tournoi de foot se joue entre cinq équipes A, B, C, D, E. Chaque équipe rencontre une et une seule fois chacune des autres. Les résultats sont les suivants : A A A B B B C D E E E bat B C C D E D A A C D tu Représenter ces résultats à l’aide d’un graphe. Dans un graphe non orienté, Pour les graphes ci-dessous, étudier : identifier des chaines, des chaines - la possibilité de les parcourir sans lever le fermées, des cycles (les définitions crayon et en passant une fois et une seule sur en sont données). chaque arête ; - la possibilité de tracer des chemins passant 220 une fois et une seule par tous les sommets. Dans un graphe orienté, identifier des chemins, des chemins fermés, des cycles (les définitions en sont données). Reconnaître si un graphe est connexe (la définition de la connexité est donnée). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est de montrer l’intérêt des graphes pour modéliser des interactions. En dehors des termes « sommet, arête, arc », la connaissance du vocabulaire spécifique aux graphes n’est pas exigible. BLOC 2 Matrices Matrice carrée (définie comme un tableau de 4 nombres). Matrices ligne colonne ; matrice Représenter par des schémas Exemples d’exercices possibles : • la manière de calculer le terme i-j du produit de deux matrices carrées : 4. On considère les matrices suivantes : et . : Calculer . et et commenter le résultat. Opérations : Sommede matrices de même dimension, produit d’une 5. On considère les matrices suivantes : 221 matrice par un nombre réel. et Produit de deux matrices . Peut-on calculer ? ? ? ? Produit d’une matrice par une matrice . Si oui, effectuer les calculs. . Produit d’une matrice par une matrice . 6. Lors d’un examen, les élèves ont passé deux épreuves de mathématiques : une épreuve écrite de coefficient 6 et une épreuve orale de coefficient 4. Voici les notes de deux élèves à chaque épreuve : Épreuve écrite Épreuve orale Élève 1 13 15 Élève 2 12 17 Transformer ce tableau en une matrice Écrire la matrice colonne des coefficients • la manière de calculer le produit d’une de chaque épreuve. matrice carrée 2-2 par une matrice Interpréter les éléments de la matrice colonne 2-1 : 222 • la manière de calculer le produit d’une matrice ligne 1-2 par une matrice carrée 22: Représentation matricielle d’un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues. Pour des valeurs numériques des paramètres, représenter un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues 223 par l’écriture matricielle et où . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est d’introduire les matrices et , comme des tableaux de nombres permettant de représenter des systèmes linéaires. La formule donnant le coefficient i-j du produit de deux matrices n’est pas naturelle. L’enseignant expliquera qu’elle est nécessaire pour que la matrice de la composée de deux transformations géométriques soit le produit des matrices de chacune. En S4, l’étude sera étendue aux matrices carrées de taille et à leur utilisation pour représenter des graphes et des chaînes de Markov. Année 4 : série « Langues, littérature et art » UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Fonctions exponentielles de base a ( Rappel des propriétés géométrique : pour tous naturels, Pour tout réel de et , la suite Prolonger à main levée le nuage de points pour obtenir entiers approximativement la courbe représentative sur de la fonction . Pour une valeur numérique de donnée, utiliser une calculatrice pour obtenir différentes valeurs prises par la fonction afin d’en vérifier les propriétés. Utiliser une calculatrice pour dresser strictement positif, un tableau de valeurs sur de la Utiliser une calculatrice graphique 224 définition de la fonction sur fonction comme prolongement à des valeurs positives non géométrique entières afin de prolonger la courbe. de la suite vérifiant ces mêmes propriétés. Extension à en posant, pour tout Représenter graphiquement la courbe de la fonction , en discutant , selon les valeurs de . Sens de variations selon les valeurs de . Courbe représentative selon les valeurs de . Utiliser les propriétés algébriques pour transformer des expressions numériques ou littérales. Propriétés algébriques : Pour tout entier relatif Utilisation de l’égalité pour 225 pour découvrir l’allure des différentes courbes selon les valeurs de . pour écrire sous la forme . Racine -ième du nombre : Égalité pour est l’unique nombre positif dont la puissance -ième est égale à . Croissance exponentielle. Utiliser la racine -ième pour calculer un taux d’évolution moyen correspondant à évolutions successives. Calculer le taux d’évolution moyen d’une population qui a doublé sur quarante années. Calculer un taux d’évolution mensuel équivalent à un taux annuel donné. Lorsque , comparer, Modéliser une situation de graphiquement et par le calcul les croissance ou de décroissance valeurs prises par et par pour de exponentielle (évolution d’un capital à taux fixe, décroissance grandes valeurs de . radioactive, croissance d’une Admettre qu’il en est de même en population de bactéries, modèle remplaçant par n’importe quelle démographique de Malthus). puissance positive de De même, lorsque Sensibiliser les élèves à la rapidité croissance ou d’une , comparer les d’une décroissance exponentielle. et . valeurs prises par Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont sensibilisés au fait que la fonction exponentielle est une nouvelle fonction, non polynomiale ou rationnelle. 226 UA Géométrie Le programme de géométrie de la série LLA est très différent de celui des autres séries. L’objectif est de faire découvrir aux élèves différents modes de représentations d’images. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Comprendre et utiliser la perspective centrale commme représentation plane de l’espace à trois dimensions Dans l’espace à trois dimensions, Construire l’image d’un quadrillage Réaliser l’expérience dite de projection centrale sur un plan ne dans une projection centrale. l’ombre au flambeau : observer sur un mur ou au sol les ombres contenant pas le centre de la projection. d’objets éclairés par une source lumineuse ponctuelle. Vocabulaire : point de vue, plan de Représenter en perspective centrale : représentation, plan frontal. Propriétés conservées par une projection centrale : alignement, contact. - un prisme ; - une pyramide. Propriétés non conservées : longueurs, milieux, rapports de longueurs, parallélisme. Analyser le dispositif historique de la fenêtre de Dürer. Construire l’image d’un parallélépipède rectangle ayant au moins une arête en vraie grandeur. Point de fuite d’une droite. Point de fuite principal. Ligne de fuite d’un plan non frontal. Ligne d’horizon. 227 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques La perspective centrale est celle utilisée par les peintrespour représenter le monde à trois dimensions. La compréhension de son fondement mathématique est importante pour les élèves de la série LLA. BLOC 2 Acquérir les notions de base sur les images numériques en couleur Bases de trois couleurs, dites couleurs primaires. Les deux principes de combinaison des couleurs: Représenter une couleur par ses Représenter le modèle coordonnées dans la base (RVB) ou colorimétrique RVB par un cube et dans la base (C,M,J). y placer les différentes couleurs : Utiliser la synthèse additive ou la synthèse soustractive pour obtenir des mélanges de couleurs. - la synthèse additive ; - la synthèse soustractive. Dans le cas de la synthèse additive, base formée des trois couleurs Rouge, Vert, Bleu (R,V,B). La superposition des trois couleurs de la base donne le blanc et l’absence de couleur donne le noir. Transformer une image en couleur en une image en niveaux de gris en moyennant les valeurs prises sur les trois couleurs de base. Dans le cas de la synthèse soustractive, base formée des 3 couleurs Cyan, Magenta, Jaune (C,M,J). La superposition des trois couleurs de la 228 base donne le noir et l’absence de couleur donne le blanc. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La synthèse additive correspond à l’addition de lumière obtenue en projetant des spots lumineux sur un fond noir. Elle est utilisée pour les moniteurs d’ordinateurs ou les écrans de télévision. La synthèse soustractive correspond à la soustraction de lumière obtenue en superposant des filtres sur une surface blanche. Elle est utilisée en peinture et dans les imprimantes numériques. UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Répétition d’épreuves aléatoires indépendantes Expérience aléatoire à Représenter un schéma de Bernoulli Lancers successifs d’une pièce de par un arbre de probabilités à monnaie. épreuves indépendantes : représentation d’une issue par un -uple. branches. Tirages successifs avec remise Pour de petites valeurs de , calculer dans une urne contenant des La probabilité d’une issue boules de deux couleurs. des probabilités d’événements en est égale au produit des probabilités des sommant les probabilités d’issues associées aux différents chemins de composantes . l’arbre. Répétition de épreuves de Bernoulli Reconnaître une loi binomiale dans une situation concrète. identiques et indépendantes de La représenter par un arbre de paramètre : schéma de Bernoulli. probabilité, et calculer des probabilités en comptant le nombre de chemins, Représentation par un arbre de 229 Raisonner sur l’arbre pour calculer dans le cas général les probabilités des événements ( ); ( );( );( ). probabilités. Loi binomiale, notée Donner la valeur de l’espérance et l’interpréter dans le contexte de la définie situation proposée. comme la loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli. Espérance (valeur admise). Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif de cette UA est d’introduire la loi binomiale, et de calculer des probabilités à partir de sa représentation par un arbre de probabilité. Aucune connaissance n’est attendue sur les coefficients binomiaux. UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Séries statistiques àdeux variables quantitatives Nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives. Représenter un nuage de points à partir de la donnée de deux variables quantitatives. Ajustement affine d’un nuage de points. Déterminer un ajustement affine au Dans un premier temps, les ajustements affines sont réalisés jugé. graphiquement « au jugé ». L’appréciation de leur qualité peut Utiliser un tableur ou une faire l’objet d’une discussion au calculatricepour déterminer la droite sein de la classe. des moindres carrés. 230 Dans un deuxième temps, l’enseignant pourra présenter aux élèves la méthode des moindres carrés : recherche d’une droite d’équation Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. réalisant le minimum de pour le nuage de points . Il donne l’interprétation géométrique de ce minimum. Les élèves effectuent les calculs des coefficients et à la calculatrice tableur. ou L’enseignant contextes réels. à l’aide d’un privilégie les Les élèves sont entraînés à exercer leur esprit critique sur la pertinence, au regard des données et de la situation étudiée, d’une modélisation par un ajustement affine et sur les limites des extrapolations faites dans ce cadre. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont sensibilisés à bien différencier causalité et corrélation. Ceci est une compétence mathématique, bien sûr, mais aussi une compétence citoyenne. 231 UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notion de fonction informatique Fonction informatique sans paramètre. Fonction informatique à un ou plusieurs paramètres. Écrire en Python une fonction avec ou Écrire des fonctions de conversions d’unités, par exemple sans paramètre. le passage des degrés Celsius en degrés Farenheit et réciproquement, le passage du système métrique en unités US et réciproquement. Écrire une fonction Python qui prend en argument un entier naturel non nul et qui renvoie la liste des bits de son écriture en base 2. Écrire une fonction Python qui prend en argument une liste de 0 et de 1 et qui renvoie le nombre entier écrit en base 10 dont cette liste est l’écriture en base 2. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La création d’une fonction permet de donner un nom à un ensemble d’instructions et de simplifier le corps principal d’un programme, en dissimulant un algorithme secondaire sous une commande unique, possédant le nom de la fonction. Une fonction est donc un sous-programme. 232 BLOC 2 Le mot « fonction» a donc un sens différent en mathématiques et en informatique. Toujours au niveau du vocabulaire : - un paramètre est une variable qui permet de faire varier le résultat d’une fonction selon les valeurs qui lui seront attribuées lors des différents appels de la fonction ; - un argument est une valeur passée à la place d’un paramètre lors de l’appel de la fonction. Utiliser un tableur ou un langage de programmation textuel pour simuler une expérience aléatoire Fonction ALEA () du tableur retournant À l’aide des fonctions ALEA() et ENT() un nombre aléatoire compris entre 0 du tableur, écrire une fonction renvoyant de manière aléatoire un inclus et 1 exclu. nombre entier compris entre deux Fonction random() de la bibliothèque entiers a et b. random du logiciel Python retournant un nombre aléatoire compris entre 0 inclus et 1 exclu. Simuler au tableur ou en Python le Fonction randint(a,b) de la bibliothèque lancer d’une pièce de monnaie. random du logiciel Python retournant un Simuler au tableur ou en Python le nombre entier aléatoire compris entre les lancer d’un dé à 6 faces. entiers ainclus et b inclus. Simuler au tableur 100, puis 1000, puis 5000 lancers successifs d’un dé à six faces bien équilibré. Dans chaque cas, représenter par un histogramme la distribution des fréquences d’apparition de chaque chiffre entre 1 et 6 et les comparer à la probabilité correspondante. Réaliser des activités similaires en Python. UA Raisonnement, logique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Représenter des ensembles par un diagramme 233 Suggestions d’activités Interpréter des diagrammes de Venn représentant des situations issues de disciplines autres queles mathématiques. Par exemple : Diagramme de Venn. BLOC 2 Comprendre, mobiliser et formaliser des raisonnements logiques Raisonnement par disjonction de cas. Comprendre et mettre en place différents types de Utiliser un raisonnement par disjonction de raisonnement. cas pour démontrer qu’un nombre entier et son carré ont toujours la même parité. Raisonnement par l’absurde. Utiliser un raisonnement par l’absurde pour démontrer que la somme d’un nombre rationnel et d’un nombre irrationnel 234 est un nombre irrationnel. Itération de motifs géométriques (en anglais patterns). Exemple de raisonnement en lien avec une d’itération de motifs géométriques : empilement de triangles équilatéraux Mener des raisonnements sur l’itération de motifs 1 rangée 1 triangle 2 rangées 4 triangles 3 rangées 9 triangles Combien y a-t-il de triangles sur 4 rangées ? Sur 10 rangées ? Sur 100 rangées ? Et plus généralement sur rangées ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques L’objectif est de présenter aux élèves les diagrammes de Venn comme outils de représentation d’ensembles, de revoir les deux types de raisonnement étudiés en S3 (par disjonction de cas et par l’absurde) et d’aborder la notion d’itération à la base du principe de récurrence) sur la base de motifs géométriques. 235 Année 4 : série « Mathématiques et physique » UA Nombres et calculs Savoirs BLOC 1 Divisibilité dans Extension à Savoir-faire Suggestions d’activités division euclidienne des notions de multiple et de diviseur. Utiliser le calcul littéral pour traduire Exemple d’exercice possible : qu’un entier relatif est un multiple d’un Déterminer tous les couples entier relatif non nul et démontrer les d’entiers naturels tels que propriétés de stabilité : - si divise et , alors a divise tout nombre de la forme , où et sont des entiers relatifs ; Déterminer tous les entiers relatifs - si divise et si divise , alors tels que divise c. - etc. divise . Déterminer et utiliser la liste diviseurs d’un nombre entier. Division euclidienne d’un entier naturel par un entier naturel non nul . des Écrire un algorithme permettant de déterminer la liste des diviseurs positifs d’un entier naturel. Coder cet algorithme en Python. Interpréter graphiquement la division Extension à la division euclidienne euclidienne en représentant sur une d’un entier négatif par un entier demi-droite graduée les deux multiples naturel non nul. consécutifs de encadrant et le reste . 236 Exemple d’exercices possibles : Démontrer l’existence et l’unicité du Déterminer tous les entiers naturels quotient et du reste dans la division dont, dans division euclidienne par 4, le quotient est égal au reste. euclidienne. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les notions de multiple et de diviseur dans l’ensemble des entiers naturels sont déjà connues des élèves. Il s’agit ici de les étendre à l’ensemble des entiers relatifs, dont la structure d’anneau en fait le cadre d’étude privilégié. Cependant, il est inutile de s’étendre sur la division euclidienne d’un entier négatif par un un entier naturel non nul. Si les élèves sont confrontés à ce type de situation, ils se ramènent au cas habituel en posant BLOC 2 Congruences dans Relation de congruence modulo un entier Utiliser une disjonction de cas pour Exemples d’exercices possibles : naturel non nul ; notation. dresser un tableau de congruences. Déterminer, selon les valeurs de n, les valeurs possibles pour le reste Lien avec la notion de multiple : de dans la division euclidienne de si et seulement si est un Utiliser les congruences pour démontrer par 10. les critères de divisibilité par et et multiple de n. pour déterminer un critère de divisibilité En déduire le chiffre des unités de . par . La congruence d’équivalence est une compatibilité avec les (addition, multiplication). relation opérations Résoudre des congruences. Déterminer les restes possibles dans la division euclidienne de par 9. Résoudre la congruence : En corollaire, compatibilité avec les puissances. 237 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Toute introduction de l’ensemble est exclue. Des questions relatives aux congruences, apparemment gratuites, ont donné lieu à des applications contemporaines spectaculaires en cryptographie ou en codage. BLOC 3 Diviseurs communs, PGCD Diviseurs communs à naturels non nuls et . deux entiers Démontrer que l’ensemble des diviseurs Exemples d’exercices possibles : communs à et est aussi l’ensemble Plus grand diviseur commun. L’ensemble des diviseurs communs à des diviseurs communs à et au reste r de la division euclidienne de par . et Écrire l’algorithme d’Euclide b est l’ensemble des diviseurs de leur démontrer qu’il « termine ». PGCD. Algorithme d’Euclide. Nombres premiers entre eux. et 1. Déterminer le PGCD de 1551 et 132. 2.Soit n un entier naturel strictement supérieur à On pose et . Déterminer le PGCD de et en discutant selon les valeurs de . Sur un exemple numérique, « remonter » Démontrer l’identité de Bézout en l’algorithme d’Euclide pour déterminer considérant le plus petit entier Si est le PGCD de et , alors il existe un couple solution. Faire figurer naturel de la forme deux entiers relatifs et tels que dans un tableau les différentes étapes de Écrire un algorithme permettant de (démonstration admise) l’algorithme. déterminer un couple Identité de Bézout : solution et coder cet algorithme en Python. Caractérisation des nombres premiers Utiliser le théorème de Bézout pour Déterminer démontrer que, si est un entier relatif 238 un entier relatif entre eux par le théorème de Bézout : donné, la congruence a des vérifiant solutions si et seulement si a et n sont Deux entiers relatifs a et b sont premiers premiers entre eux. entre eux si et seulement s’il existe deux entiers relatifs et tels que Le théorème de Gauss : divise alors et si divise . un couple d’entiers relatifs tels que Utiliser les théorèmes de Bézout et de et en déduire un Gauss pour résoudre des équations couple solution de est premier avec , diophantiennes. l’équation (E) : Pour trois entiers relatifs Si Déterminer Démontrer le théorème de Gauss. non nuls : Déterminer l’ensemble des couples solutions de (E). BLOC 4 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il importe d’attirer l’attention des élèves sur deux points délicats : - dans l’identité de Bézout, le couple n’est pas unique ; - lorsque , l’existence des entiers relatifs et tels que ne suffit pas pour affirmer que est le PGCD de et . Il serait intéressant de présenter aux élèves des applications de la divisibilité et des congruences à des problèmes concrets de codes correcteurs d’erreurs (code de Hamming) ou de chiffrement (chiffrement de Vigenère, chiffrement de Hill, chiffrement RSA). Nombres premiers Définition. Démontrer que si un entier n’est Nombres de Mersenne (de la forme pas premier, alors il admet au moins un diviseur premier vérifiant . L’ensemble des nombre premiers est infini. 239 Nombres de Fermat (de la forme Crible d’Eratosthène. Utiliser le crible d’Eratosthène pour Énoncer et démontrer le petit dresser la liste des nombres premiers théorème de Fermat. inférieurs ou égaux à 100. Énoncer le grand théorème de Fermat et présenter son histoire de Fermat jusqu'à Andrew Wiles. Énoncer la conjecture de Goldbach. Décomposition d’un entier en produit de Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer l’ensemble des facteurs premiers : existence et unicité diviseurs d’un entier naturel. (résultat admis). Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le PGCD et le PPCM de deux entiers naturels. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’arithmétique est un champ mathématique présentant un intérêt historique et culturel majeur. L’énoncé du grand théorème de Fermat ou de la conjecture de Goldbach illustre qu’un énoncé arithmétique simple peut être excessivement difficile à démontrer. Il importe également de présenter aux élèves des applications de l’arithmétique à la cryptographie, qui en font un domaine de recherche extrêmement actif, s’appuyant notamment sur la puissance actuelle des outils de calcul. UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Limites de suites 240 Suggestions d’activités Limite (finie ou infinie) d’une suite Pour une suite divergeant vers , et un réelle. nombre réel , déterminer un enter N tel que, pour tout entier Limites et comparaison : - le théorème des gendarmes ; - une suite minorée par une suite tendant vers tend elle-même vers ; - une suite majorée par une suite tendant vers - tend elle-même vers - . Opérations sur les limites : limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. Convergence d’une suite géométrique. Établir la convergence d’une suite, ou sa divergence vers + ou vers - . Déterminer, selon les valeurs du nombre Développement réel , la limite de lorsque nombre réel. après démonstration décimal d’un par récurrence de l’inégalité de Bernoulli : pour tout réel positif et tout entier naturel . Démontrer qu’une suite croissante non Suites adjacentes. majorée tend vers - une suite croissante et majorée (ou Introduire des suites pour calculer décroissante et minorée) est des valeurs approchées de nombres convergente (théorème admis) ; Limites de suites monotones : 241 - une suite croissante non majorée tend vers une suite décroissante non minorée tend vers . tels que Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. En S3, les suites étaient étudiées dans l’Unité Nombres et calculs. Sans attacher une importance excessive au basculement vers l’unité d’apprentissage Fonctions, celui-ci provient du fait qu’on s’attache maintenant aux propriétés de convergence des suites, qui relèvent de l’analyse, alors que, dans l’unité d’apprentissage Nombres et calculs, l’accent était mis sur les propriétés algébriques. La notion de limite est présentée de manière intuitive, en s’appuyant notamment sur la vision géométrique et le développement décimal illimité d’un nombre réel (qui suppose la connaissance de la somme des termes consécutifs de la suite géométrique de raison ). S’il est attendu que le professeur explicite les définitions formelles des BLOC 2 limites, leur maîtrise par les élèves n’est pas exigible. Les objectifs sont autres : installer une solide pratique des aspects opératoires, introduire la problématique de l’existence d’une limite (soit par monotonie, soit par comparaison) et mettre en évidence des suites qui n’admettent pas de limites, par exemple : . Dans l’unité d’apprentissage matrices et graphes, des suites à valeurs dans seront étudiées. Limites et continuité des fonctions Limite (finie ou infinie) d’une fonction Utiliser la courbe représentative d’une Exemples de recherche de limites fonction pour visualiser son relevant d’une forme indéterminée. en un point. comportement au voisinage d’un point et Exemples : Notation déterminer intuitivement la valeur de la limite en ce point. Interprétation graphique. Déterminer de manière intuitive les limites en un point des fonctions de Opérations sur les limites : somme, référence, notamment les limites à droite et à gauche en 0 de la fonction inverse. produit, inverse, quotient. Asymptote verticale. 242 Limite (finie ou infinie) d’une fonction Utiliser la courbe représentative d’une Analogie avec la limite d’une suite. quand . fonction pour visualiser le comportement de la fonction au voisinage de et Interprétation graphique. déterminer de manière intuitive la valeur Exemples de recherche de limites de la limite. relevant d’une forme indéterminée. Asymptote horizontale. Exemples : Opérations sur les limites : somme, Déterminer de manière intuitive les limites en des fonctions de référence. produit, inverse, quotient. ; Calculer la limite d’une fonction simple quand tend vers en appliquant les résultats sur les opérations. Types d’exemples de fonctions simples : Continuité en un point : est continue Visualiser sur un graphique la continuité en un point. en si de en en un point : Visualiser sur un graphique la continuité Exemples de fonctions non continues (par exemple la fonction sur un intervalle. Toute fonction dérivable est continue caractéristique d’un segment). (résultat admis). Fonction continue sur un intervalle. 243 Image d’une suite convergente par une fonction continue. Étude de suites simples données par une relation de récurrence , pour une fonction continue d’un intervalle dans luimême. Théorème des valeurs intermédiaires Étudier les solutions d’une équation du Écrire des algorithmes de recherche de racines d’équations dont on (admis). type connaît l’existence (dichotomie, Cas d’une fonction strictement : existence, unicité. méthode de la sécante, méthode de monotone : théorème de la bijection. Newton). Coder ces algorithmes en Python. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La justificationde la continuité d’une fonction sur un intervalle n’est pas un attendu du programme. BLOC 3 La fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien définie comme réciproque fonction exponentielle. de Démontrer les propriétés algébriques de Discuter et résoudre à la main des la la fonction logarithme népérien à partir équations ou des inéquations du type de celles de la fonction exponentielle. Ensemble de définition, croissance, limites en 0 et en . Transformer une expression en utilisant Courbe représentative. Lien avec la les propriétés algébriques de la fonction courbe représentative de la fonction logarithme népérien. exponentielle. Utiliser Croissance comparée de la fonction 244 les logarithmes pour et des fonctions voisinages de 0 et de aux modéliser certaines situations (PH en chimie, décibels en acoustique, calculs de seuils dans un problème de croissance exponentielle). . Propriétés algébriques : Utiliser une échelle logarithmique pour déterminer si une évolution est géométrique Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Il y a deux méthodes équivalentes pour introduire la fonction logarithme népérien : comme réciproque de la fonction exponentielle, comme cela a été fait ici, et qui est plus naturel, ou comme primitive de la fonction . BLOC 4 Compléments sur la dérivation Composée de deux fonctions. Dérivée de la composée de deux fonctions dérivables. Calculer la dérivabilité d’une fonction mettant en jeu la composition. Dérivées des fonctions cosinus, sinus En admettant la dérivabilité de la et logarithme népérien : fonction logarithme, calculer sa dérivée. . Lire sur la représentation graphique Inégalité entre moyenne algébrique d’une fonction les intervalles où elle est et moyenne géométrique de deux Fonctions convexes : définition par la convexe, concave, et ses points réels strictement positifs. position relative de la courbe d’inflexion. représentative et de ses sécantes. Dérivée seconde. 245 Pour une fonction dérivable, caractérisation par la position relative Démontrer une inégalité en utilisant la de la courbe représentative et de ses convexité d’une fonction. tangentes. Pour une fonction deux fois dérivable, caractérisation (admise) par la positivité de la dérivée seconde. Point d’inflexion. Étude complète d’une fonction : Étudier une fonction et représenter à domaine de définition, tableau de main levée sa courbe représentative. variations, limites. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On pourra interpréter la formule de la dérivée d’une fonction composée à l’aide des relations de Leibniz : On pose BLOC 5 et . Alors On relie ensuite à et Primitives Définition d’une primitive d’une Interpréter la recherche d’une primitive comme l’opération inverse de la fonction continue sur un intervalle. dérivation. Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante. Primitives des fonctions de référence : Calculer des primitives de fonction se ramenant aux fonctions de référence par somme ou par composition, notamment 246 pour , en particulier celles ( d’une . fonction de la forme ; ; et . Primitives d’une somme. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La motivation principale pour s’intéresser aux primitives est le calcul intégral, qui sera étudié immédiatement après ce chapitre. Il est intéressant de mentionner que, pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite. BLOC 6 Calcul intégral Définition segment de l’intégrale, sur un Estimer graphiquement une intégrale, Exemple de calcul approché et de calcul d’une fonction une valeur moyenne. exact d’une intégrale. continue et positive comme l’aire sous la courbe. Notation . Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive. Valeur moyenne d’une fonction sur un Calculer l’aire entre deux courbes. intervalle Si f est continue sur alors la fonction est la primitive de On souhaite niveler un terrain (c’est-àdire mettre sa surface à plat. Un géomètre a effectué une série de mesures donnant la hauteur h du terrain) en fonction de la distance horizontale à un point pris pour origine. Les mesures figurent dans les tableaux ci-dessous qui s’annule en a. 247 Égalité si est une primitive de d (en m) 0 Théorème fondamental de l’analyse : h (en m) 125 114,06 106,25 50 100 200 250 300 350 100 102,1 106,25 114,07 450 500 550 16,3 156,25 176,56 150 102,1 400 125 600 200 1° Utiliser la méthode des rectangles pour trouver la hauteur approximative du terrain nivelé (pour que les déblais équilibrent les remblais). 2° À l’aide des mesures, on a modélisé le profil du terrain par la fonction . Représenter graphiquement la fonction interpréter la hauteur du terrain nivelé comme sa valeur moyenne sur 248 l’intervalle [0 ; 600] et comparer le résultat à celui trouvé à la question 1°. 3°Comment le géomètre aurait-il pu améliorer la qualité de son approximation ? Propriétés de l’intégrale :  Encadrer linéarité, positivité, relation de Chasles ;  lien avec les inégalités. Encadrement d’une intégrale par la méthode des rectangles. à partir d’un encadrement de . Calculer la valeur moyenne d’une fonction périodique sur une période et interpréter graphiquement le résultat. Interpréter une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline. Calculs d’intégrales : - intégration par parties - changement de variables. Démontrer la formule d’intégration par parties. Utiliser l’intégration par parties et des changements de variables simples pour calculer des intégrales. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 1° Les élèves développent une vision graphique de l’intégrale comme l’aire sous la courbe, ce qui permet d’approcher l’intégrale par la méthode des rectangles. La notation permet d’interpréter l’intégrale comme une somme d’aires de rectangles de hauteur et de largeur . 2° Le calcul d’intégrale (à l’aide des primitives) est un moyen puissant pour calculer des aires de surfaces planes. L’intégration par parties et les changements de variables sont fondés sur le théorème fondamental de l’analyse : 249 3° On peut donner une justification heuristique du théorème fondamental de l’analyse dans le cas où la fonction à intégrer est la dérivée de la fonction qui représente la distance parcourue par un point (exprimée en mètres) en fonction du temps (exprimé en secondes). Cette dérivée est la vitesse instantanée du point (elle est exprimée en m/s). La somme est, quand les écarts de longueur les instants tendent vers 0, une approximation de la distance parcourue . Mais cette somme est aussi une approximation de l’intégrale entre . On a donc 4° Les changements de variables sont fournis par l’enseignant, et ne supposent pas de technicité excessive. La notation de Leibniz permet de mémoriser la formule de changement de variable dans avec , on a : donc BLOC 7 . On obtient : Équations différentielles Équation associée homogène Résoudre une équation du type . La somme de deux solutions et le en montrant que, si y une solution, la est constante. produit d’une solution par une fonction 250 : posons , variant de à constante sont encore une solution. Représenter graphiquement l’ensemble des solutions (courbes intégrales). Démontrer que, si sont deux Méthode d’Euler pour tracer de manière solutions, alors est une approchée la courbe de l’unique solution Résolution de l’équation à partir vérifiant . solution de l’équation homogène. d’une solution particulière constante. Déterminer l’unique solution Écrire l’algorithme et le coder en Python. Équation et vérifiant Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le lien doit être fait avec la définition de la fonction exponentielle. Pour travailler le concept d’équations différentielles (équations dont les solutions sont des fonctions), l’enseignant pourra éventuellement dépasser le cadre des équations en demandant par exemple de vérifier que des fonctions fournies sont solutions d’équations différentielles. UA Géométrie Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Produit scalaire dans l’espace Définition du produit scalaire de Exprimer le produit scalaire de deux Utiliser le produit scalaire pour résoudre des deux vecteurs de l’espace à partir vecteurs de l’espace. problèmes impliquant des mesures de de sa définition dans un plan les grandeurs : longueur, angle, aire, volume. contenant. Propriétés du produit scalaire : 251 bilinéarité, symétrie. Orthogonalité de deux vecteurs, de deux droites, d’un plan et d’une Utiliser le produit scalaire pour droite. démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle ou une longueur dans l’espace. Vecteur normal à un plan. Étant donnés un point vecteur non nul Utiliser la projection orthogonale et un pour déterminer la distance d’un point à une droite ou à un plan. , plan passant par . et normal à Projeté orthogonal d’un point sur une droite. Projeté orthogonal d’un point sur un plan. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est d’étendre à l’espace le produit scalaire étudié dans le plan en S3. BLOC 2 Géométrie analytique dans l’espace Bases et repères orthonormés de Calculer, dans une base Étudier des problèmes de configuration dans orthonormée, des produits scalaires, l’espace : l’espace. - orthogonalité de deux droites, des normes, des distances. Coordonnées d’un point dans un orthogonalité d’une droite et d’un plan ; repère orthonormé. - parallélisme d’une droite à un plan. 252 Expressions, dans une base Déterminer les coordonnées d’un orthonormée, du produit scalaire, vecteur dans une base orthonormée. Déterminer de manière analytique des lieux de la norme, de la distance entre géométriques simples, par exemple : deux points Représentation paramétrique d’une Donner la représentation d’une droite définie par un point et un droite. vecteur directeur. Déterminer un point et un vecteur directeur d’une droite à partir d’une représentation paramétrique. - l’ensemble équidistants de deux points - des points et donnés ; l’ensemble des points de l’espace tels que . l’ensemble des points M de l’espace tels que Donner la représentation paramétrique d’un plan défini par Représentation paramétrique d’un un point et deux vecteurs non plan. colinéaires. Déterminer un point et deux vecteurs non colinéaires dirigeant un plan donné par une représentation paramétrique. Équation cartésienne d’un plan par la recherche d’un vecteur normal. Résoudre un système de deux équations linéaires à trois inconnues pour déterminer l’intersection de deux plans. Résoudre un système de deux équations linéaires à trois inconnues pour déterminer un vecteur normal à un plan donné par un point et deux vecteurs non colinéaires ; en 253 déduire une équation cartésienne de ce plan. Équation cartésienne d’une sphère connaissant son centre et son rayon. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour traiter analytiquement un problème géométrique, le choix d’un repère adapté mérite une attention particulière. Selon la nature du problème à résoudre, on utilise les équations cartésiennes ou les représentations paramétriques. BLOC 3 Connaître et utiliser les nombres complexes Partie réelle et partie imaginaire. Opérations : somme, produit, inverse d’un nombre complexe non nul, quotient. Effectuer des calculs algébriques sur Résoudre dans une équation du type des nombres complexes. où est un nombre complexe non nul et Résoudre des équations simples faisant intervenir et Conjugué d’un nombre complexe Conjugué d’un produit, inverse, d’une puissance. un nombre complexe. d’un Formule du binôme dans . Plan complexe. Image d’un nombre complexe. Image du conjugué. Représenter un nombre complexe Étudier une suite de nombres complexes par un point du plan. définie par une relation de récurrence du type Déterminer l’affixe d'un point du plan. Affixe d’un point, d’un vecteur. Déterminer le module 254 et Démontrer l’inégalité triangulaire et étudier les le cas d’égalité. Module d’un nombre complexe. arguments d’un nombre complexe. Interprétation géométrique. Module d’un produit, d’un inverse. Arguments d’un nombre complexe non nul. Interprétation géométrique. Forme trigonométrique nombre complexe. Étudier l’ensemble des nombres complexes de module 1 Passer de la forme algébrique d’un nombre complexe à sa forme trigonométrique et vice-versa. d’un Exponentielle imaginaire, notation Utiliser l’exponentielle imaginaire Utiliser la formule d’Euler pour linéariser des pour retrouver les formules puissances de ou de . ; formule d’addition. Extension admise des propriétés de Les utiliser pour trouver les Utiliser la formule de Moivre pour exprimer comme un polynôme en . formules qui s’y ramènent. l’exponentielle réelle. Écriture d’un nombre complexe sous forme exponentielle Formules d'Euler : Formules trigonométriques d’addition et de duplication 255 démontrées à partir du produit des nombres complexes. Formule de Moivre : Résolution, dans d’équations du second degré à coefficients réels, ou d’équations s’y ramenant. Résoudre une équation du type avec a un nombre complexe quand est sous forme algébrique et trigonométrique Résoudre une équation du second degré à coefficients réels. Résolution d’une équation du troisième degré à coefficients réels dont on connaît une racine réelle. Résolution, dans d’équations du second degré à coefficients complexes. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’invention des nombres complexes au XVIe siècle, et leur développement au cours du XVIIe et du XVIIIe siècles ont constitué une avancée majeure pour les mathématiques, qui aboutit notamment à trouver des solutions pour des équations n’en ayant pas dans , comme par exemple l’équation lorsque est un réel strictement négatif. Les élèves doivent savoir que la notation est limitée au cas où a est un nombre réel positif ou nul et que son extension au cas où a est un nombre complexe est prohibée. La formule pour le produit de deux nombres complexes doit être connue des élèves, mais elle est difficile : il faut que les élèves sachent la retrouver par eux-mêmes en utilisant les règles habituelles de calcul et la propriété . UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Utiliser des sommes de variables aléatoires finies Somme de aléatoires. deux variables Utiliser la propriété de linéarité pour calculer des espérances. 256 Suggestions d’activités Linéarité de l’espérance (résultat admis). Si les variables et sont indépendantes, et si désigne la variance, (résultat admis). Expression d’une variable aléatoire Calculer l’espérance et la variance de loi binomiale comme d’une variable aléatoire de loi binomiale. somme de variables de Bernoulli Utiliser un tableur ou un logiciel de programmation pour représenter par un diagramme en bâtons la loi de probabilité d’une loi binomiale . indépendantes de paramètre . Faire le lien avec l’histogramme des fréquences observées de 1 lors de la simulation de échantillons de taille d'une Espérance et variance d’une loi binomiale. loi de Bernoulli de paramètre Indications didactiques ou pédagogiques, remarques L’objectif est ici d’aborder la loi binomiale sous un autre angle que celui selon lequel elle a été introduite en S3. Son expression comme somme de variables de Bernoulli indépendantes permet d’en calculer facilement l’espérance et la variance. Cela permet également de la simuler informatiquement à partir d’un simple générateur de nombres aléatoires égaux à 0 ou 1 (en sommant le nombre de 1 obtenus). 257 BLOC 2 Comprendre le principe de l’échantillonnage et le lien entre fréquence et probabilité Échantillon de taille n d’une Si [ est un échantillon variable aléatoire défini comme d’une variable , calculer une liste [ de l’espérance et la variance de la variables aléatoires indépendantes somme et de la de même loi que . moyenne = en fonction de l’espérance et de la variance de . Version vulgarisée de la loi des grands nombres : « lorsque n est grand, sauf exceptions, la fréquence calculée sur un échantillon est proche de la probabilité ». Simuler (sur un tableur ou un logiciel de programmation) des échantillons d’une loi de Bernoulli de paramètre en faisant augmenter Lors d’une élection entre deux candidats, estimer la chance d’élection d’un des candidats à partir d’un sondage et expliquer les limites de ce sondage. la Lors d’un contrôle qualité réalisé dans une Estimation d’une probabilité (ou entreprise industrielle, estimer la proportion d’une proportion) à l’aide d’une stabilisation des fréquences autour d’objets défectueux fabriqués par l’entreprise fréquence calculée sur un de . à partir de la fréquence observée sur un échantillon. échantillon et expliquer les limites de ce contrôle. Pour une valeur de supérieure à Lors d’une campagne de dépistage d’une 50, et une valeur de comprise maladie, estimer la proportion de personnes malades dans la population totale à partir du entre 0,2 et 0,8, simuler, avec un nombre de malades observés sur un tableur ou un logiciel de échantillon et expliquer les limites de ce programmation, échantillons de dépistage. leur taille taille et observer d’une loi de Bernoulli de 258 paramètre et représenter les fréquences de succès observés par un nuage de points. Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la fréquence observée et est inférieur ou égal à et la comparer à 0,95. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Une réalisation [ d’un échantillon de la variable aléatoire sous-population de taille prélevée au hasard dans la population totale est la suite des valeurs prises sur une . Cela permet de relier un échantillon d’une loi de probabilité avec un échantillon statistique. La simulation de échantillons de taille d’une loi de Bernoulli de paramètre permet aux élèves de : - percevoir la fluctuation des fréquences calculées sur les échantillons ; - percevoir la stabilisation de ces fréquences autour de (pour de grandes valeurs de fréquence de succès calculée sur un échantillon est une estimation de la probabilité et comprendre ainsi pourquoi la ; - quantifier la qualité de cette estimation en calculant la proportion des échantillons où l’écart entre et est inférieur ou égal à Si est une fréquence calculée sur un échantillon, l’intervalle [ confiance à 95 % ; - comprendre que les 5% des fréquences non situées dans l’intervalle [ l’estimation. 259 ] s’appelle un intervalle de ] expliquent les limites de UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Séries statistiques à deux variables quantitatives Nuage de points associé à une série Représenter un nuage de points à statistique à deux variables partir de la donnée de deux quantitatives. variables quantitatives. Point moyen. Calculer les coordonnées du point moyen d’un nuage de points. Le calcul sera effectué à la main dans des cas simples et à l’aide d’un outil numérique (calculatrice, tableur, logiciel de programmation). Ajustement affine d’un nuage de points. Déterminer un ajustement affine (d’abord au jugé, puis par la méthode de Mayer, et enfin à l’aide de la droite des moindres carrés) Coefficient de corrélation linéaire entre deux variables quantitatives. Dans un deuxième temps, la méthode de la Utiliser un outil numérique droite de Mayer est présentée ; on en donne la (calculatrice, tableur, logiciel de définition, et on montre comment la programmation) pour calculer le déterminer. coefficient de corrélation linéaire entre deux variables. 260 Dans un premier temps, les ajustements affines peuvent être réalisés graphiquement « au jugé ». L’appréciation de leur qualité peut faire l’objet d’une discussion au sein de la classe. Interpréter un coefficient corrélation linéaire. Dans un troisième temps, l’enseignant présente aux élèves la méthode des moindres de carrés : recherche d’une droite d’équation réalisant le minimum de Utiliser un ajustement affine pour interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. pour le nuage de points . Il donne l’interprétation géométrique de ce minimum. Les élèves effectuent les calculs des coefficients et à la calculatrice ou à l’aide d’un tableur. Avec les différentes méthodes, l’enseignant montre comment effectuer des prédictions de valeurs. Il privilégie les contextes réels, en lien avec la filière : - données issues des domaines de la physique ; - mesures expérimentales de grandeurs liées par une relation linéaire en physique-chimie (intensité et tension ; droite d’étalonnage d’une concentration). L’enseignant veille à entraîner les élèves à exercer leur esprit critique sur la pertinence, au regard des données et de la situation étudiée, d’une modélisation par un ajustement affine et sur les limites des extrapolations faites dans ce cadre. 261 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont sensibilisés à bien différencier causalité et corrélation. Ceci est une compétence mathématique, bien sûr, mais aussi une compétence citoyenne. UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Utiliser des variables, des fonctions, des boucles, des tests et des listes Consolidation des savoirs acquis au cours des années précédentes sur les variables, les fonctions, les boucles, les tests et les listes. BLOC 2 Suggestions d’activités Consolidation des savoir-faire développés au cours des années précédentes sur les variables, les fonctions, les boucles, les tests et les listes. Écrire une fonction qui prend en argument un entier naturel non nul et qui renvoie la liste des bits de son écriture en base 2. Écrire une fonction qui prend en argument une liste de 0 et de 1 et qui renvoie le nombre entier écrit en base dix dont cette liste est l’écriture en base deux. Écrire une fonction qui prend en argument un entier naturel non nul et qui renvoie la liste de ses facteurs premiers. Utiliser un tableur ou un langage de programmation textuel pour simuler une expérience aléatoire ou une variable aléatoire Fonction ALEA() du tableur À l’aide des fonctions ALEA() et retournant un nombre aléatoire ENT() du tableur, écrire une fonction renvoyant de manière compris entre 0 inclus et 1 exclu. aléatoire un nombre entier compris entre deux entiers a et b. Fonction random() de la 262 Simuler au tableur 100, puis 1000, puis 5000 lancers successifs d’un dé à six faces bien équilibré. Dans chaque cas, représenter par un histogramme la distribution des fréquences d’apparition de chaque chiffre entre 1 et 6 et bibliothèque random du logiciel les comparer à la probabilité correspondante. Python retournant un nombre Simuler au tableur ou en Python le aléatoire compris entre 0 inclus et 1 lancer d’une pièce de monnaie. exclu. Réaliser des activités similaires en Python. Simuler au tableur ou en Python le Fonction randint(a,b)de la lancer d’un dé à 6 faces. bibliothèque random du logiciel Python retournant un nombre entier aléatoire compris entre les Simuler en Python une variable entiers ainclus et b inclus. aléatoire. Simuler au tableur la variable aléatoire égale à la somme des chiffres obtenus lors du lancer de deux dés bien équilibrés à 6 faces. Simuler des échantillons de tailles 100, puis 1000, puis 5000 de cette variable aléatoire et représenter par un histogramme la distribution des fréquences. Réaliser des activités similaires en Python. UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui leur serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, calcul algébrique, arithmétique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de 4ème année. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Consolider la connaissance du vocabulaire mathématique de base Consolidation d’ensemble, des notions Écrire un ensemble en extension (s’il Pour des valeurs numériques de d’élément d’un est fini) ou en compréhension. 263 et , ensemble, de sous-ensemble, d’appartenance et d’inclusion, de Déterminer l’intersection et réunion, d’intersection et de réunion de deux intervalles de complémentaire. Symboles mathématiques correspondants : ∈, ⊂, ⋂, ⋃. Diagramme de Venn. Notation des ensembles de nombres et des intervalles de représenter par un diagramme de Venn la l’ensemble des diviseurs communs à et à . De manière littérale, écrire en compréhension l’ensemble des diviseurs communs à deux entiers naturels et De manière littérale, écrire en compréhension l’ensemble des multiples communs à deux entiers naturels et Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A d’un ensemble E, on utilise à la fois la notation des probabilités Ā, et la notation E \ A. La détermination de l’intersection et de la réunion de deux intervalles de est traitée dans différentes BLOC 2 configurations (intervalles ayant une intersection non vide, intervalles adjacents, intervalles disjoints. Consolider la lecture et l’écriture de propositions mathématiques Proposition mathématique : utilisation des quantificateurs universel (symbole ) et existentiel (symboles Formuler (en langage naturel et en Dire si les propositions suivantes sont vraies langage mathématique) la négation ou fausses : d’une proposition contenant un ou plusieurs quantificateurs. ) Conditions nécessaire, suffisante, nécessaire et suffisante ; lien avec les symboles , Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la réciproque d’une implication. Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la Écrire contraposée d’une implication. 264 la négation de chacune des propositions précédentes. Formuler une équivalence logique. Identifier la condition nécessaire et la condition suffisante d’une On aura intérêt à faire réfléchir régulièrement les élèves sur des questions simples, du type : implication : : est une condition quelle est la négation de la propriété nécessaire de ? : est une condition est une condition suffisante de : nécessaire et suffisante de . Quelle est la négation de la propriété ? On fera réfléchir les élèves sur des assertions mal formulées ; par exemple, l’égalité écrite sans quantificateur n’a pas de sens. Les écritures correctes sont : • , qui est une proposition fausse. • , qui est une proposition vraie. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On attirera avec insistance l’attention des élèves sur la différence entre implication et équivalence, et sur le fait que démontrer une équivalence dont on ne connaît pas de caractérisation revient à démontrer deux implications. 265 BLOC 3 Consolider la formalisation des raisonnements mathématiques déjà étudiés Raisonnement par disjonction de Dans le cadre de la résolution de Soit une fonction monotone sur problèmes, mobiliser des cas. la fonction qui à tout raisonnements et les rédiger sous la On note Raisonnement par l’absurde. . forme de démonstrations. Raisonnement par récurrence. associe Démontrer par disjonction de cas que est croissante sur Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, que l’ensemble des nombres premiers est infini. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la somme des n premiers entiers impairs est égal à Utiliser un raisonnement par récurrence pour étudier des suites définies par leur premier terme set une relation de récurrence du type lorsque f est une fonction croissante. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à reconnaître des analogies et des particularités entre un problème à résoudre et une situation déjà connue. En géométrie, les élèves doivent comprendre que, si l’observation d’une figure est un support au raisonnement, elle ne peut en aucune manière s’y substituer. Dans une démarche inductive, à la suite d’essais sur des cas particuliers, les élèves sont amenés à émettre des conjectures qu’ils devront ensuite prouver à l’aide d’une démonstration ou infirmer en produisant un contre-exemple. 266 UA Matrices et graphes Savoirs Savoir-faire Suggestions d’activités Matrices Matrice à lignes et coefficients réels. colonnes à Identifier les lignes et les colonnes d’une matrice. Matrice ligne, matrice colonne, matrice carrée. Notations : • BLOC 1 pour le terme de la ligne et la colonne • matrice lignes et pour une matrice à colonnes. Opérations : sommede matrices de Reconnaître que la matrice produit Exemple d’exercice possible : même dimension, produit d’une est une matrice . Trois magasins (M1, M2, M3) proposent à la matrice par un nombre réel. vente cinq produits dont les Produit d’une matrice et à lignes colonnes par une matrice lignes et Utiliser la disposition à colonnes. 267 prix unitaires sont donnés par le tableau suivant : Notations . Prix unitaire (en $) M1 1 5 2 3 4 M2 1,1 4,7 1,8 3,1 3,8 M3 0,9 5,1 1,9 3,2 4 Un client veut acheter deux produits produit trois produits et deux produits un trois produits . Effectuer le produit d’une matrice (dite matrice de prix) par une matrice colonne (dite matrice des quantités) pour déterminer le prix du panier total de l’acheteur dans chacun des trois magasins et déterminer le magasin dans lequel il a intérêt à effectuer ses achats. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On fera observer que le produit d’une matrice multiplication soit possible, il faut que le même entier et d’une matrice est une matrice : pour que la soit la dimension à droite de la matrice de gauche, et la dimension à gauche de la matrice de droite. Une fois le produit effectué, l’entier 268 n’apparaît plus. BLOC 2 Puissances d’une matrice carrée Puissances ( entier naturel) Calculer (à la main ou à l’aide d’une Utiliser une récurrence pour calculer la calculatrice) des puissances puissance -ième d’une matrice. d’une matrice carrée positives d’une matrice donnée (pour des valeurs numériques de l’exposant). Évolution couplée de deux suites Pour des valeurs numériques de Modèle « proie-prédateur » discrétisé. calculer l’état du système au bout récurrentes. Étude asymptotique et interprétation. de étapes en fonction de son état initial. Exemple d’exercice possible : Modélisation par une relation de récurrence où est une matrice et deux matrices . Égalité et Dans le cadre d’une étude scientifique, des souris sont enfermées dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces deux compartiments est ouverte pendant un quart d’heure tous les jours jour à midi. sont où représente l’état initial du système. On suppose qu’au départ les deux compartiments contenaient le même effectif de souris. Les observations ont montré que, chaque jour : 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l’ouverture de la 269 porte se trouvent dans le compartiment B après la fermeture de la porte. 10% des souris présentes dans le compartiment B avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après la fermeture de la porte. On note (resp ) la proportion de souris présentes dans le compartiment A (resp B) au bout de n jours. On note Déterminer la matrice et . en fonction de et la matrice M telle que et . Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de jours. Étudier ce qui se passe lorsque . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est ici d’utiliser les matrices pour traduire l’évolution d’un système discret couplé. Lors de la résolution de problèmes, l’utilisation d’une calculatrice permet de limiter le temps consacré à des calculs techniques (notamment des produits et des puissances de matrices) et de se concentrer sur les aspects liés à la modélisation et au raisonnement. Toujours lors de la résolution de problèmes, il est possible d’aborder le comportement asymptotique d’un système couplé en étudiant La limite d’une suite de matrices est constituée, sous réserve d’existence, des limites de ses coefficients. 270 BLOC 3 Matrice d’adjacence d’un graphe Matrice d’adjacence d’un graphe Écrire la matrice d’adjacence d’un d’ordre , orienté ou non orienté. graphe (orienté ou non). La matrice d’adjacence d’un graphe Construire un graphe dont matrice d’adjacence est donnée. non orienté est symétrique. Théorème (admis) : la soit la Vérifier ces deux théorèmes sur des Démontrer l’un de ces deux théorèmes par récurrence dans le cas général. matrice d’adjacence associée à un exemples. graphe non orienté , le nombre de chaînes de longueur reliant le sommet i au sommet j est le Démontrer l’une des deux parties du Explorer des scénarios réels où le calcul du théorème dans le cas où nombre de chaînes de longueur est utile. coefficient de la matrice . Pour un graphe orienté, même résultat pour le nombre de chemins de longueur sortant de et arrivant en . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est de relier les matrices et les graphes et de comprendre la puissance du calcul matriciel pour étudier certaines propriétés des graphes. BLOC 4 Chaines de Markov à 2 ou 3 états Chaine de Markov. Chaine de Reconnaître une chaine de Markov. Donner des exemples de chaines de Markov Markov homogène. à 2 ou 3 états. Déterminer la matrice de transition Matrice de transition d’une chaine d’une chaine de Markov. 271 de Markov homogène. Démontrer que la matrice de transition d’une chaine de Markov Graphe orienté et pondéré d’une est une matrice stochastique. chaine de Markov. Associer un graphe orienté et pondéré à une chaine de Markov à 2 ou 3 états. Distributions de probabilité d’une Pour une chaine de Markov dont la Exemples d’exercices possibles : matrice de transition est donnée, chaine de Markov. Graphe d’ordre 2 et pour des petites valeurs de , La matrice ligne donnant la calculer la distribution de Deux grossistes A et B se partagent la distribution à l’étape (après d’un produit industriel. probabilités à l’étape en clientèle transitions) d’une chaine de On suppose que le nombre total de clients fonction de et de la distribution reste fixe d’une année sur l’autre. Markov homogène de matrice de initiale . En 2022, 45% des clients se fournissaient chez transition vérifie et le grossiste A et 55% chez le grossiste B. donc , est la On admet que, d’une année sur matrice ligne représentant la l’autre, 6% des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que distribution initiale. le grossiste B conserve 86% de ses clients. Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide. Distribution invariante (on dit Pour tout entier naturel n on note la encore stationnaire, ou stable) : probabilité qu’il soit client du grossiste A en distribution vérifiant , et la probabilité qu’il soit client 272 du grossiste B en . Si chaque terme de la suite On la converge, alors la matrice ligne composée des limites, notée , représentant la distribution de probabilité en note matrice ligne est une distribution stable (résultat Dans le cas où les termes de la suite convergent, comprendre que le admis). Représenter la situation par un graphe et système se rapproche d’un état calculer sa matrice de transition. stable. À quelle répartition des clients doit-on s’attendre en 2030 ? La suite est-elle convergente ? Graphe d’ordre 3 : On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne. Ce processus peut être vu comme une marche aléatoire sur un espace à trois états : A : il y a 0 boule blanche dans U ; B : il y a 1 boule blanche dans U ; C : il y a 2 boules blanches dans U. 273 1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe orienté et pondéré et déterminer sa matrice de transition. 2. Pour tout entier naturel on note la distribution du système après transitions. 3. On admet que la suite converge vers une matrice ligne Déterminer et l’interpréter. Marche aléatoire sur un segment : Un personnage se déplace d’un sommet à l’autre du graphe ci-dessous selon la loi suivante : S’il est en A ou en B, il ne peut aller qu’en P ; s’il est en P, il peut aller en A ou en B avec la même probabilité . Représenter la situation par un graphe et donner la matrice de transition G de ce graphe Calculer et et en déduire la valeur de en discutant selon la parité de Interpréter le résultat en distribution de probabilités. 274 terme de La suite est-elle convergente ? La chaine de Markov admet-elle une distribution stationnaire ? Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’étude des chaines de Markov utilise les probabilités conditionnelles vues en S3 et la formule des probabilités totales. Il conviendra donc de commencer l’étude par un rappel sur ces notions. On se limite aux chaînes de Markov à 2 ou 3 états. Il convient de noter qu’une chaine de Markov n’admet pas toujours de distribution stationnaire et que la suite des distributions de probabilité n’est pas toujours convergente. Année 4 : série « Sciences économiques et sociales » UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Limites de suites Limite (finie ou infinie) d’une suite réelle. Calculer des limites de suites. Opérations sur les limites : limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient. Convergence d’une suite géométrique. Déterminer, selon les valeurs du nombre réel , la limite de lorsque . 275 Interpréter graphiquement la convergence ou la divergence d’une suite. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. En S3, les suites ont été étudiées dans l’Unité Nombres et calculs. Sans attacher une importance excessive au basculement vers l’unité d’apprentissage Fonctions, celui-ci provient du fait qu’on s’attache maintenant aux propriétés de convergence des suites, qui relèvent de l’analyse, alors que, dans l’unité d’apprentissage Nombres et calculs, l’accent était mis sur les propriétés algébriques. La notion de limite est présentée de manière intuitive, en s’appuyant sur la vision géométrique. Les objectifs sont d’installer une solide pratique des aspects opératoires et l’étude de la convergence de certaines suites, comme les suites géométriqueset mettre en évidence des suites qui n’admettent pas de limites, par exemple : . Dans l’unité d’apprentissage matrices et graphes, des suites à valeurs dans seront étudiées. BLOC 2 Limites et continuité des fonctions Limite finie ou infinie d’une fonction en un point. Notation Interprétation graphique. Asymptote verticale. Opérations sur les limites : somme, produit, inverse, quotient. Limite (finie ou infinie) d’une fonction quand . Interprétation graphique. Utiliser la courbe représentative d’une fonction pour visualiser son comportement au voisinage d’un point et déterminer intuitivement la valeur de la limite en ce point. Déterminer de manière intuitive les limites en un point des fonctions de référence, notamment les limites à droite et à gauche en 0 de la fonction inverse. Utiliser la courbe représentative d’une Analogie avec la limite d’une fonction pour visualiser le comportement suite. de la fonction au voisinage de et déterminer de manière intuitive la valeur de la limite. Asymptote horizontale. 276 Opérations sur les limites : somme, produit, inverse, quotient. Déterminer de manière intuitive les limites en des fonctions de référence. Calculer la limite d’une fonction simple quand tend vers en appliquant les résultats sur les opérations. Types d’exemples de fonctions simples : Visualiser sur un graphique la continuité Exemples de fonctions non continues (fonction d’une fonction sur un intervalle. Toute fonction dérivable est continue caractéristique d’un segment). (résultat admis). Fonction continue sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires Étudier les solutions d’une équation du Écrire des algorithmes de recherche de racines (admis). type d’équations dont on connaît Cas d’une fonction strictement : existence, unicité. l’existence (dichotomie, monotone. méthode de la sécante, méthode de Newton). Coder ces Python. algorithmes en Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La justificationde la continuité d’une fonction sur un intervalle n’est pas un attendu du programme. En s’appuyant sur les représentations graphiques, l’enseignant met en évidence l’importance de la continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires. 277 BLOC 3 La fonction logarithme décimal La fonction logarithme décimal. Notation Transformer une expression en utilisant Dans le cas d’un placement à les propriétés algébriques de la fonction intérêts composés à taux fixe, log. recherche d’un nombre logarithme décimal. Pour tout réel est défini d’annuités. comme l’unique solution de l’équation Représenter une série statistique Passer au logarithme décimal pour ou une fonction dans un repère résoudre des équations du type Ensemble de définition, croissance. logarithmique ou semiou , lorsque et sont des logarithmique. Courbe représentative. réels strictement positifs. Propriétés algébriques : pour tous réels strictement positifs , ; Passer au logarithme décimal pour résoudre des équations du type ou , lorsque et sont des réels strictement positifs. BLOC 4 La fonction exponentielle de base e et la fonction logarithme népérien Définition de la fonction l’unique fonction tangente en directeur 1. 0 a comme Représenter graphiquement la courbe de Utiliser un logiciel de géométrie . dynamique pour faire varier le en laquelle la la fonction paramètre dans la pour coefficient représentation des fonctions jusqu’à identifier celui Le nombre e. pour lequel la pente de la tangente en vaut . 278 Dérivée de la fonction (résultat admis). Variations, limites, courbe représentative. Croissance comparée avec les fonctions au voisinage de . Définition du logarithme népérien : pour Transformer une expression en utilisant tout réel est défini comme les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien. l’unique solution de l’équation Domaine de définition. Dérivée, variations. Limites en 0 et en Résoudre des équations ou inéquations mettant en jeu logarithmes ou des exponentielles. des des Courbe représentative. Propriétés algébriques. Lien entre les fonctions logarithme népérien et logarithme décimal. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La fonction est présentée comme une fonction particulière. Ses propriétés algébriques découlent donc de celles des fonctions La fonction logarithme népérien est définie comme la réciproque de la fonction logarithme décimal à partir de la fonction . 279 , comme l’a été la fonction BLOC 5 Primitives Définition d’une primitive d’une fonction Interpréter la recherche d’une primitive comme l’opération inverse de la continue sur un intervalle. dérivation. Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante. Primitives des fonctions : pour ; cas particulier où . ; Interpréter la fonction logarithme népérien comme la primitive, sur , de la fonction qui s’annule en 1. Calculer des primitives de fonctions se ramenant aux fonctions de référence. Primitives d’une somme. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques La motivation principale pour s’intéresser aux primitives est le calcul intégral, qui sera étudié immédiatement après ce chapitre. Il estintéressant de mentionner que, pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite. BLOC 5 Calcul intégral Définition de l’intégrale, sur un segment Estimer graphiquement une intégrale. Mettre en regard les écritures d’une fonction continue et et . Calculer une intégrale à l’aide d’une positive comme l’aire sous la courbe. primitive. Notation . 280 Si f est continue sur alors la fonction est la primitive de qui si est Calculer l’aire entre deux courbes. s’annule en a. Égalité une primitive de , ou, autrement dit : si est dérivable à dérivée continue. Propriétés de l’intégrale : Encadrer à - linéarité, positivité, relation de encadrement de . Chasles ; - lien avec les inégalités. Encadrement d’une intégrale par la méthode des rectangles. partir d’un Algorithmes de calcul approché d’intégrales : - méthode des rectangles ; - approche probabiliste : méthode de Monte Carlo. Coder ces algorithmes en Python. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 1° Les élèves développent une vision graphique de l’intégrale comme l’aire sous la courbe, ce qui permet d’approcher l’intégrale par la méthode des rectangles. La notation d’aires de rectangles de hauteur BLOC 6 et de largeur permet d’interpréter l’intégrale comme une somme . 2° Ils apprennent à maîtriser le calcul approché (à partir de la méthode des rectangles) et le calcul exact à partir d’une primitive. La formule d’intégration par parties et les changements de variables ne figurent pas dans ce programme. Équations différentielles Résolution en montrant que la fonction Interpréter la fonction solution de 281 l’équation comme la Traiter des différentielle lesquelles situations dans la variation est constante. vérifiant Résoudre des équations du type . Déterminer l’unique solution vérifiant instantanée d’une grandeur continue est proportionnelle à sa valeur courante : doublement d’une population, désintégration radioactive, etc. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est d’introduire la notion de solution d’une équation différentielle, de réinterpréter la fonction exponentielle comme solution de l’équation différentielle UA Géométrie Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Vecteurs de l’espace Calcul vectoriel dans l’espace : extension Étudier si deux vecteurs sont colinéaires. des opérations entre vecteurs du plan. Étudier si trois vecteurs sont coplanaires. Vecteurs colinéaires. Vecteurs coplanaires Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’extension des vecteurs du plan à ceux de l’espace s’opère de façon naturelle. BLOC 2 Suggestions d’activités Géométrie analytique dans l’espace Coordonnées d’un point de l’espace Calculer des distances. (abscisse, ordonnée, altitude). 282 Traiter géométriquement des problèmes de configurations dans l’espace (alignement, colinéarité, parallélisme, coplanarité). Coordonnées d’un entre deux points. vecteur. Distance Condition sur leurs coordonnées pour Étudier l’orthogonalité de deux vecteurs que deux vecteurs soient orthogonaux. donnés par leurs coordonnées. Équation cartésienne d’un plan (résultat Déterminer une équation cartésienne admis). d’un plan parallèle à l’un des axes de Équations cartésiennes d’une droite coordonnées. (résultat admis). Reconnaître une équation de plan. Interpréter une droite l’intersection de deux plans. Résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues pour déterminer l’intersection d’une droite et d’un plan. Résoudre un système de deux comme équations linéaires à trois inconnues pour déterminer l’intersection de deux plans. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La détermination d’une équation cartésienne d’un plan dans le cas général n’est pas au programme : il est seulement attendu des élèves qu’ils sachent qu’une équation de la forme est celle d’un plan. Intuitivement, ils comprennent qu’une droite peut être envisagée comme l’intersection de deux plans. UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Utiliser des sommes de variables aléatoires finies Somme de deux variables aléatoires. Calculer l’espérance de la somme de Espérance de la somme de deux variables deux ou plusieurs variables aléatoires. aléatoires (résultat admis). Si les 283 Suggestions d’activités variables et sont indépendantes, et si désigne la variance, (résultat admis). Expression d’une variable aléatoire de loi Calculer l’espérance et la variance d’une Utiliser un tableur ou un logiciel binomiale comme somme de variable aléatoire de loi binomiale. de programmation pour représenter par un diagramme en bâtons la loi de probabilité variables de Bernoulli indépendantes de d’une loi binomiale . paramètre . Espérance binomiale. et variance d’une Faire le lien avec l’histogramme des fréquences observées de 1 lors de la simulation de loi échantillons de taille d'une loi de Bernoulli de paramètre BLOC 2 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques L’objectif est ici d’aborder la loi binomiale sous un autre angle que celui selon lequel elle a été introduite en S3. Son expression comme somme de variables de Bernoulli indépendantes permet d’en calculer facilement l’espérance et la variance. Cela permet également de la simuler informatiquement à partir d’un simple générateur de nombres aléatoires égaux à 0 ou 1 (en sommant le nombre de 1 obtenus). Comprendre le principe de l’échantillonnage et le lien entre fréquence et probabilité Échantillon de taille n d’une variable Si [ est un échantillon d’une aléatoire défini comme une liste variable , calculer l’espérance et la [ de variables aléatoires variance de la somme indépendantes de même loi que . et de la moyenne 284 = en fonction de l’espérance et de la variance de . Version vulgarisée de la loi des grands Simuler (sur un tableur ou un logiciel de nombres : « lorsque n est grand, sauf programmation) des échantillons d’une exceptions, la fréquence calculée sur un loi de Bernoulli de paramètre en faisant échantillon est proche de la probabilité ». augmenter leur taille et observer la Estimation d’une probabilité (ou d’une proportion) à l’aide d’une fréquence stabilisation des fréquences autour de . calculée sur un échantillon. Pour une valeur de une valeur de supérieure à , et comprise entre et , simuler, avec un tableur ou un logiciel de programmation, échantillons de taille d’une loi de Bernoulli de paramètre et représenter les fréquences de succès observés par un nuage de points. Calculer la proportion des échantillons pour lesquels l’écart entre la fréquence observée et est inférieur ou égal à la comparer à 0,95. 285 et Lors d’une élection entre deux candidats, estimer la chance d’élection d’un des candidats à partir d’un sondage et expliquer les limites de ce sondage. Lors d’un contrôle qualité réalisé dans une entreprise industrielle, estimer la proportion d’objets défectueux fabriqués par l’entreprise à partir de la fréquence observée sur un échantillon et expliquer les limites de ce contrôle. Lors d’une campagne de dépistage d’une maladie, estimer la proportion de personnes malades dans la population totale à partir du nombre de malades observés sur un échantillon et expliquer les limites de ce dépistage. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Une réalisation [ d’un échantillon de la variable aléatoire une sous-population de taille prélevée au hasard dans la population totale est la suite des valeurs prises sur . Cela permet de relier un échantillon d’une loi de probabilité avec un échantillon statistique. La simulation de échantillons de taille de d’une loi de Bernoulli paramètre permet aux élèves de : - percevoir la fluctuation des fréquences calculées sur les échantillons ; - percevoir la stabilisation de ces fréquences autour (pour de grandes valeurs de et comprendre ainsi pourquoi la fréquence de succès calculée sur un échantillon est une estimation de la probabilité ; - quantifier la qualité de cette estimation en calculant la proportion des échantillons où l’écart entre et ou égal à Si est une fréquence calculée sur un échantillon, l’intervalle [ confiance à 95 % ; - comprendre comment les 5% des fréquences non situées dans l’intervalle [ est inférieur ] s’appelle un intervalle de ] expliquent les limites de l’estimation. UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Séries statistiques àdeux variables quantitatives Nuage de points associé à une série Représenter un nuage de points à partir statistique à deux variables quantitatives. de la donnée de deux variables quantitatives. 286 Suggestions d’activités Déterminer un ajustement affine au jugé, Dans un premier temps, les puis à l’aide de la droite des moindres ajustements affines peuvent être réalisés graphiquement « au carrés. jugé ». L’appréciation de leur qualité peut faire l’objet d’une Coefficient de corrélation linéaireentre Utiliser un outil numérique (calculatrice, discussion au sein de la classe. deux variables quantitatives. tableur, logiciel de programmation) pour Dans un deuxième temps, la calculer le coefficient de corrélation méthode de la droite de Mayer est linéaire entre deux variables. présentée ; on en donne la définition, et on montre comment la déterminer. Interpréter le coefficient de corrélation Dans un troisième temps, linéaire. l’enseignant présente aux élèves la méthode des moindres carrés : recherche d’une droite Utiliser un ajustement affine pour d’équation y = ax + b réalisant interpoler ou extrapoler des valeurs le minimum de inconnues. Ajustement affine d’un nuage de points. pour le nuage de points . Il donne l’interprétation géométrique de ce minimum. Les élèves effectuent les calculs des coefficients et à la calculatrice ou à l’aide d’un tableur. Avec les différentes méthodes, 287 l’enseignant montre comment effectuer des prédictions de valeurs. Il privilégie les contextes réels, en lien avec les domaines des sciences économiques et des sciences sociales. L’enseignant veille à entraîner les élèves à exercer leur esprit critique sur la pertinence, au regard des données et de la situation étudiée, d’une modélisation par un ajustement affine et sur les limites des extrapolations faites dans ce cadre. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont sensibilisés à bien différencier causalité et corrélation. Ceci est une compétence mathématique, bien sûr, mais aussi une compétence citoyenne. UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Notion de fonction informatique Fonction informatique sans paramètre. Fonction informatique à un ou plusieurs paramètres. Écrire en Python une fonction avec ou Écrire des fonctions renvoyant l’aire d’une figure plane (carré, sans paramètre. rectangle, triangle) ou le volume d’un solide (pyramide, cylindre) 288 en fonction de leurs mesures. Écrire des fonctions conversions d’unités. de Écrire une fonction Python qui prend en argument un entier naturel non nul et qui renvoie la liste des bits de son écriture en base 2. Écrire une fonction Python qui prend en argument une liste de 0 et de 1 et qui renvoie le nombre entier écrit en base dix dont cette liste est l’écriture en base deux. BLOC 2 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La création d’une fonction permet de donner un nom à un ensemble d’instructions et de simplifier le corps principal d’un programme, en dissimulant un algorithme secondaire sous une commande unique, possédant le nom de la fonction. C’est en quelque sorte un sous-programme. Le mot « fonction » a donc un sens différent en mathématiques et en informatique. Autres précisions de vocabulaire : - un paramètre est une variable qui permet de faire varier le résultat d’une fonction selon les valeurs qui lui seront attribuées lors des différents appels de la fonction ; - un argument est une valeur passée à la place d’un paramètre lors de l’appel de la fonction. Utiliser un tableur ou un langage de programmation textuel pour simuler une expérience aléatoire ou une variable aléatoire Fonction ALEA() du tableur retournant À l’aide des fonctions ALEA() et ENT() Simuler au tableur 100, puis un nombre aléatoire compris entre 0 du tableur, écrire une fonction renvoyant 1000, puis 5000 lancers 289 inclus et 1 exclu. de manière aléatoire un nombre entier successifs d’un dé à six faces compris entre deux entiers a et b. bien équilibré. Dans chaque cas, représenter Fonction random() de la bibliothèque par un histogramme la random du logiciel Python retournant un Simuler au tableur ou en Python le lancer distribution des fréquences nombre aléatoire compris entre 0 inclus d’une pièce de monnaie. d’apparition de chaque chiffre et 1 exclu. entre 1 et 6 et les comparer à la probabilité correspondante. Simuler au tableur ou en Python le lancer Réaliser des activités similaires Fonction randint(a,b)de la bibliothèque d’un dé à 6 faces. en Python. random du logiciel Python retournant un nombre entier aléatoire compris entre les entiers ainclus et b inclus. Simuler en Python une variable aléatoire. Simuler au tableur la variable aléatoire égale à la somme des chiffres obtenus lors du lancer de deux dés bien équilibrés à 6 faces. Simuler des échantillons de tailles 100, puis 1000, puis 5000 de cette variable aléatoire et représenter par un histogramme la distribution des fréquences. Réaliser des activités similaires en Python. 290 UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui leur serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, calcul algébrique, arithmétique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de 4ème année. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Consolider la connaissance du vocabulaire mathématique de base Consolidation des notions d’ensemble, d’élément d’un ensemble, de sousensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire. Symboles mathématiques correspondants : ∈, ⊂, ⋂, ⋃. Diagramme de Venn. Notation des ensembles de nombres et des intervalles de Écrire un ensemble en extension (s’il est Écrire en compréhension fini) ou en compréhension. l’ensemble des nombres réels dont le carré est strictement Déterminer l’intersection et la réunion de inférieur strictement à 1. deux intervalles de Écrire en compréhension l’ensemble des nombres réels tels que . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A d’un ensemble Eon utilise à la fois la notation des probabilités Ā, et la notation E \ A. BLOC 2 Consolider la lecture et l’écriture de propositions mathématiques Proposition mathématique : utilisation Traduire en langage mathématique une Dire si des quantificateurs universel (symbole ) proposition énoncée en langage naturel suivantes et comportant un ou plusieurs fausses : et existentiel (symboles ). quantificateurs. 291 les sont propositions vraies ou Réciproque d’une implication. Énoncer dans le langage naturel une proposition mathématique comportant un ou plusieurs quantificateurs. Formuler (en langage naturel et en langage mathématique) la réciproque d’une implication. Formuler une équivalence logique. Écrire la négation de chacune Identifier la condition nécessaire et la des propositions précédentes. condition suffisante d’une implication : : est une condition nécessaire de Relier les propositions suivantes par une implication ou une Conditions nécessaire, suffisante, équivalence : nécessaire et suffisante ; lien avec les : est une condition suffisante de Proposition A : est un symboles , . multiple de 3 ; : est une condition nécessaire et suffisante de . Proposition B : est un multiple de 2 ; Proposition C : est un multiple de 6 ; Proposition D: est un multiple de 2 et de 3. On aura intérêt à faire réfléchir régulièrement les élèves sur des questions simples, du type : quelle est la négation de la 292 propriété ? Quelle est la négation de la propriété ? BLOC 3 Consolider la formalisation des raisonnements mathématiques déjà étudiés Raisonnement par disjonction de cas. Dans le cadre de la résolution de problèmes, mobiliser des raisonnements et les rédiger sous la forme de démonstrations. Sachant que n’est pas un nombre rationnel, démontrer, à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, que le nombre n’est pas un nombre rationnel. Raisonnement par l’absurde. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la somme des n premiers entiers impairs est égal à Raisonnement par récurrence. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à reconnaître des analogies et des particularités entre un problème à résoudre et une situation déjà connue. En géométrie, les élèves doivent comprendre que, si l’observation d’une figure est un support au raisonnement, elle ne peut en aucune manière s’y substituer. Dans une démarche inductive, à la suite d’essais sur des cas particuliers, les élèves sont amenés à émettre des conjectures qu’ils devront ensuite prouver à l’aide d’une démonstration ou infirmer en produisant un contre-exemple. 293 UA Matrices et graphes Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Matrices Matrice à lignes et colonnes à Identifier les lignes et les colonnes d’une matrice. coefficients réels. Matrice ligne, matrice colonne, matrice carrée. Notations : • pour le terme de la ligne et la colonne • matrice lignes et pour une matrice à colonnes. Opérations : somme de matrices de Reconnaître que la même dimension, produit d’une produit est une matrice matrice par un nombre réel. Produit d’une matrice et à lignes colonnes par une matrice lignes et Notations Utiliser la disposition à colonnes. . 294 matrice Exemple d’exercice possible : . Trois magasins M1, M2, M3 proposent à la vente cinq produits dont les prix unitaires sont donnés par le tableau suivant : Prix unitaire (en $) M1 1 5 2 3 4 M2 1,1 4,7 1,8 3,1 3,8 M3 0,9 5,1 1,9 3,2 4 Un client veut acheter deux produits produit trois produits et deux produits un trois produits . Effectuer le produit d’une matrice (dite matrice de prix) par une matrice colonne (dite matrice des quantités) pour déterminer le prix du panier total de l’acheteur dans chacun des trois magasins et déterminer le magasin dans lequel il a intérêt à effectuer ses achats. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On fera observer que le produit d’une matrice et d’une matrice multiplication soit possible, il faut que le même entier est une matrice soit la dimension à droite de la matrice de gauche, et la dimension à gauche de la matrice de droite. Une fois le produit effectué, l’entier n n’apparaît plus. 295 : pour que la BLOC 2 Puissances d’une matrice carrée Puissances matrice carrée ( entier naturel) d’une Calculer des puissances positives d’une Utiliser une récurrence pour calculer la puissance -ième matrice donnée. d’une matrice. Évolution couplée de deux suites Pour des valeurs numériques de , Étude du comportement récurrentes. Modélisation par une calculer l’état du système au bout de asymptotique du système relation de récurrence où étapes en fonction de son état initial à donné dans la colonne de gauche en étudiant est une matrice et et sont l’aide de la relation deux matrices Égalité . Exemple d’exercice possible : s où Dans le cadre d’une étude scientifique, des souris sont enfermées dans une cage comportant deux compartiments A et B. La porte entre ces deux compartiments est ouverte pendant un quart d’heure tous les jours jour à midi. représente l’état initial du système. On suppose qu’au départ les deux compartiments contenaient le même effectif de souris. Les observations ont montré que, chaque jour : 20% des souris présentes dans le 296 compartiment A avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après la fermeture de la porte. 10% des souris présentes dans le compartiment B avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après la fermeture de la porte. On note (resp ) la proportion de souris présentes dans le compartiment A (resp B) au bout de n jours. On note la matrice Déterminer fonction de M telle que . et et en et la matrice . Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de trois jours. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves ayant étudié en S3 le produit de deux matrices on commence par présenter le produit de deux matrices L’objectif n’est pas de définir les règles du calcul matriciel dans un cadre abstrait, mais de l’utiliser dans des cas concrets, sur des valeurs numériques de et Lors de la résolution de problèmes, l’utilisation d’une calculatrice 297 permet de limiter le temps consacré à des calculs techniques (notamment des produits et des puissances de matrices) et de se concentrer sur les aspects liés à la modélisation et au raisonnement. BLOC 2 Matrice d’adjacence d’un graphe Matrice d’adjacence d’un graphe d’ordre Écrire la matrice d’adjacence d’un graphe , orienté ou non orienté. (orienté ou non). La matrice d’adjacence d’un graphe non Construire un graphe dont la matrice d’adjacence est donnée. orienté est symétrique. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Après avoir présenté en S3 les matrices comme outils de représentation des systèmes linaires, l’objectif est ici de montrer qu’elles servent aussi à représenter des graphes. BLOC 4 Chaines de Markov à 2 ou 3 états Chaine de Markov homogène. Matrice de transition d’une chaine de Markov homogène. Reconnaître une chaine de Markov homogène. Graphe orienté et pondéré d’une chaine Déterminer la matrice de transition d’une de Markov. chaine de Markov. Vérifier sur des exemples que la matrice de transition d’une chaine de Markov est une matrice stochastique. Associer un graphe orienté et pondéré à une chaine de Markov à 2 ou 3 états. 298 Distributions de probabilité d’une chaine Pour des valeurs numériques de de Markov. calculer la distribution de probabilité La matrice ligne donnant la distribution à l’étape d’une chaine de Markov homogène transition vérifie de Égalité , matrice de , Exemples d’exercices possibles : Graphe d’ordre 2 à l’étape en fonction de la matrice de transition et de la distribution initiale Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d’un produit industriel. On suppose que le nombre total de clients reste fixe d’une année sur l’autre. En , 45% des clients se . est la matrice ligne représentant la distribution initiale. fournissaient chez le grossiste A et 55% chez le grossiste B. On admet que, d’une année sur l’autre, 6% des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve 86% de ses clients. Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide. Pour tout entier naturel n on note :  la probabilité qu’il soit client du grossiste A en ,  la probabilité qu’il soit client du grossiste B en .  la matrice ligne représentant la 299 distribution de probabilité à l’année . Représenter la situation par un graphe et calculer sa matrice de transition. À quelle répartition des clients doit-on s’attendre en ? Graphe d’ordre 3 : On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne. Ce processus peut être vu comme une marche aléatoire sur un espace à trois états : A : il y a 0 boule blanche dans U; B : il y a 1 boule blanche dans U; C : il y a 2 boules blanches dans U. 300 4. Représenter la situation à l'aide d'un graphe orienté et pondéré et déterminer sa matrice de transition. 5. Pour tout entier naturel on note la distribution du système après transitions. 6. On admet que la suite converge vers une matrice ligne Déterminer et l’interpréter. Marche aléatoire sur un segment : Un personnage se déplace d’un sommet à l’autre du graphe cidessous selon la loi suivante : S’il est en A ou en B, il ne peut aller qu’en P ; s’il est en P, il peut aller en A ou en B avec la même probabilité . Représenter la situation par un graphe et donner la matrice de transition G de ce graphe. Calculer et G3. 301 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’étude des chaines de Markov utilise les probabilités conditionnelles vues en S3 et la formule des probabilités totales. Il convient donc de commencer l’étude par un rappel sur ces notions. On se limite aux chaînes de Markov à deux ou trois états. Année 4 : série « Sciences de la vie et de la Terre » UA Fonctions Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Limites de suites Pour une suite ayant comme limite , et un nombre réel A, Limite (finie ou infinie) d’une suite réelle. Une suite croissante est soit majorée, et alors elle tend vers une limite finie, soit non majorée et elle tend vers (résultat déterminer un enter N tel que, pour tout entier admis). Limites et comparaison : - le théorème des gendarmes ; - une suite minorée par une suite tendant vers tend elle-même vers ; - une suite majorée par une suite tendant vers - tend elle-même vers - ; Opérations sur les limites : limite d’une Établir la convergence d’une suite, ou sa divergence vers + ou vers - . 302 somme, d’un produit, d’un quotient. Convergence d’une suite géométrique. Déterminer, selon les valeurs du nombre réel , la limite de lorsque après démonstration par récurrence de l’inégalité de Bernoulli : pour tout réel positif et tout entier naturel Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. En S3, les suites étaient étudiées dans l’Unité Nombres et calculs. Sans attacher une importance excessive au basculement vers l’unité d’apprentissage Fonctions, celui-ci provient du fait qu’on s’attache maintenant aux propriétés de convergence des suites, qui relèvent de l’analyse, alors que, dans l’unité d’apprentissage Nombres et calculs, l’accent était mis sur les propriétés algébriques. La notion de limite est présentée de manière intuitive, en s’appuyant sur la vision géométrique. Les objectifs sont d’installer une solide pratique des aspects opératoires, d’étudier la convergence de certaines suites (comme les suites géométrique). Dans l’unité d’apprentissage matrices et graphes, des suites à valeurs dans seront étudiées. BLOC 2 Limites et continuité des fonctions Limite finie ou infinie d’une fonction en Utiliser la courbe représentative d’une fonction pour visualiser son un point. comportement au voisinage d’un point et Notation déterminer intuitivement la valeur de la limite en ce point. Interprétation graphique. Asymptote verticale. Déterminer de manière intuitive les Opérations sur les limites : produit, inverse, quotient. somme, limites en un point des fonctions de référence, notamment les limites à droite et à gauche en 0 de la fonction inverse. 303 Limite (finie ou infinie) d’une fonction Utiliser la courbe représentative d’une Analogie avec la limite d’une quand . fonction pour visualiser le comportement suite. de la fonction au voisinage de et Interprétation graphique. déterminer de manière intuitive la valeur de la limite. Asymptote horizontale. Opérations sur les limites : produit, inverse, quotient. somme, Déterminer de manière intuitive les limites en des fonctions de référence. Calculer la limite d’une fonction simple quand tend vers en appliquant les résultats sur les opérations. Types d’exemples de fonctions simples : Visualiser sur un graphique la continuité Exemples de fonctions non continues (fonction caractéristique sur un intervalle. Toute fonction dérivable est continue d’un segment). (résultat admis). Fonction continue sur un intervalle. Image d’une suite convergente par une fonction continue. Étude de suites simples données par une relation de récurrence , pour une fonction continue d’un intervalle dans lui-même. Théorème des valeurs intermédiaires Étudier les solutions d’une équation du Écrire 304 des algorithmes de (admis). recherche de racines d’équations dont on connaît l’existence (dichotomie, méthode de la sécante, méthode de Newton). type Cas d’une fonction strictement monotone : théorème de la bijection : existence, unicité. Coder ces algorithmes en Python. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. BLOC 3 La justificationde la continuité d’une fonction sur un intervalle n’est pas un attendu du programme. En s’appuyant sur les représentations graphiques, l’enseignant met en évidence l’importance de la continuité dans le théorème des valeurs intermédiaires. Compléments sur la dérivation Composée de deux fonctions. Dérivée de la composée fonctions dérivables. de deux Calculer la dérivabilité d’une fonction mettant en jeu la composition. Dérivées des fonctions cosinus, sinus et En admettant la dérivabilité de la logarithme népérien. fonction logarithme, calculer sa dérivée. Étude complète d’une fonction : domaine Étudier une fonction et représenter à de définition, tableau de variations, main levée sa courbe représentative. limites. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On pourra interpréter la formule de la dérivée d’une fonction composée à l’aide des relations de Leibniz : On pose et . Alors On relie ensuite 305 à et BLOC 4 Primitives Définition d’une primitive d’une fonction Interpréter la recherche d’une primitive comme l’opération inverse de la continue sur un intervalle. dérivation. Deux primitives d’une même fonction diffèrent d’une constante. Primitives des fonctions de référence : pour ; ; Calculer des primitives de fonction se ramenant aux fonctions de référence par somme ou par composition, notamment celles d’une fonction de la forme ( . ; et . Primitives d’une somme. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. La motivation principale pour s’intéresser aux primitives est le calcul intégral, qui sera étudié immédiatement après ce chapitre. Il est intéressant de mentionner que, pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite. BLOC 5 Calcul intégral Définition de l’intégrale, sur un segment Estimer graphiquement une intégrale. d’une fonction continue et positive comme l’aire sous la courbe. Notation . Calculer une intégrale à l’aide d’une primitive. 306 Mettre en regard les écritures et . Si f est continue sur alors la fonction est la primitive de qui Calculer l’aire entre deux courbes. s’annule en a. Égalité si est une primitive de , ou, autrement dit : si est dérivable à dérivée continue. Propriétés de l’intégrale : Encadrer  linéarité, positivité, relation de Chasles ;  lien avec les inégalités. Encadrement d’une intégrale par la méthode des rectangles. à encadrement de . partir d’un Algorithmes de calcul approché d’intégrales : - méthode des rectangles ; Calculer la valeur moyenne d’une - approche probabiliste : méthode fonction périodique sur une période et de Monte Carlo. interpréter graphiquement le résultat. Coder ces algorithmes en Python. Valeur moyenne d’une fonction sur un Interpréter une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline. segment. Formule d’intégration par parties. Calculer une intégrale à l’aide d’une intégration par parties. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. 1° Les élèves développent une vision graphique de l’intégrale comme l’aire sous la courbe, ce qui permet d’approcher l’intégrale par la méthode des rectangles. La notation de rectangles de hauteur et de largeur permet d’interpréter l’intégrale comme une somme d’aires . 2° Ils apprennent à maîtriser le calcul approché (à partir de la méthode des rectangles) et le calcul exact à partir d’une 307 BLOC 6 primitive. La formule d’intégration par parties et les changements de variables ne figurent pas dans ce programme. Équations différentielles Résolution en montrant que la fonction est constante. Résoudre des équations du type . Traiter des situations dans Représenter graphiquement l’ensemble lesquelles la variation instantanée d’une grandeur est des solutions (courbes intégrales). proportionnelle à sa valeur courante : désintégration radioactive, doublement de population, etc. Méthode d’Euler pour tracer de manière approchée la courbe de l’unique solution vérifiant . Écrire l’algorithme et le coder en Python. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Le lien est fait avec la définition de la fonction exponentielle. UA Géométrie Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Produit scalaire dans l’espace Définition du produit scalaire de deux Exprimer le produit scalaire de deux Utiliser le produit scalaire pour vecteurs de l’espace à partir de sa vecteurs de l’espace. résoudre des problèmes impliquant des mesures de définition dans un plan les contenant. grandeurs : longueur, angle, aire, 308 Propriétés du produit bilinéarité, symétrie. scalaire : volume. Orthogonalité de deux vecteurs, de Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour deux droites, calculer un angle ou une longueur dans d’un plan et d’une droite. l’espace. Vecteur normal à un plan. Utiliser la projection orthogonale pour Étant donnés un point et un vecteur déterminer la distance d’un point à une droite ou à un plan. non nul , plan passant par et normal à . Projeté orthogonal d’un point sur une droite Projeté orthogonal d’un point sur un plan. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’objectif est d’étendre à l’espace le produit scalaire étudié dans le plan en S3. BLOC 2 Géométrie analytique dans l’espace Bases et repères orthonormés de Calculer, dans une base orthonormée, des Étudier des problèmes l’espace. produits scalaires, des normes, des configuration dans l’espace : Coordonnées d’un point dans un distances. orthogonalité repère orthonormé. 309 de de Expressions, dans une base orthonormée, du produit scalaire, de la norme, de la distance entre deux points. Représentation paramétrique d’une droite. Représentation plan. paramétrique Déterminer les coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée. - deux droites, orthogonalité d’une droite et d’un plan ; parallélisme d’une droite à un plan. Donner la représentation d’une droite définie par un point et un vecteur directeur. Déterminer un point et un vecteur directeur d’une droite à partir d’une d’un représentation paramétrique. Donner la représentation paramétrique d’un plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires. Déterminer un point et deux vecteurs non colinéaires dirigeant un plan donné par une représentation paramétrique. Équation cartésienne d’un plan par la recherche d’un vecteur normal Résoudre un système de deux équations linéaires à trois inconnues pour déterminer l’intersection de deux plans. Résoudre un système de deux équations linéaires à trois inconnues pour déterminer un vecteur normal à un plan donné par un point et deux vecteurs non colinéaires et en déduire une 310 équation cartésienne de ce plan. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour traiter analytiquement un problème géométrique, le choix d’un repère adapté mérite une attention particulière. Selon le problème à résoudre, on choisit une représentation paramétrique (d’un plan ou d’une droite) ou une (ou deux) équation cartésienne. UA Probabilités Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Utiliser des sommes de variables aléatoires finies Somme de deux variables aléatoires. Calculer l’espérance de la somme de deux ou plusieurs variables aléatoires. Espérance de la somme de deux variables aléatoires (résultat admis). Si les variables et sont indépendantes, et si désigne la variance, (résultat admis). Expression d’une variable aléatoire de Calculer l’espérance et la variance d’une Utiliser un tableur ou un logiciel loi binomiale comme somme de variable aléatoire de loi binomiale. de programmation pour représenter par un diagramme en bâtons la loi de probabilité d’une variables de Bernoulli indépendantes loi binomiale . 311 de paramètre . Espérance binomiale. et variance d’une Faire le lien avec l’histogramme des fréquences observées de 1 lors de la simulation de échantillons loi de taille d'une loi de Bernoulli de paramètre Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. BLOC 2 L’objectif est ici d’aborder la loi binomiale sous un autre angle que celui selon lequel elle a été introduite en S3. Son expression comme somme de variables de Bernoulli indépendantespermet d’en calculer facilement l’espérance et la variance. Cela permet également de la simuler informatiquement à partir d’un simple générateur de nombres aléatoires égaux à 0 ou 1 (en sommant le nombre de 1 obtenus). Comprendre le principe de l’échantillonnage et le lien entre fréquence et probabilité Échantillon de taille n d’une variable Si [ est un échantillon d’une aléatoire défini comme une liste variable , calculer l’espérance et la [ de variables aléatoires variance de la somme indépendantes de même loi que . et de la moyenne = en fonction de l’espérance et de la variance de . Version vulgarisée de la loi des grands nombres : « lorsque n est grand, sauf exceptions, la fréquence calculée sur un échantillon est proche de la probabilité ». Simuler (sur un tableur ou un logiciel de Lors d’une élection entre deux programmation) des échantillons d’une candidats, estimer la chance loi de Bernoulli de paramètre en faisant d’élection d’un des candidats à partir d’un sondage et expliquer augmenter leur taille et observer la les limites de ce sondage. Estimation d’une probabilité (ou d’une Lors d’un contrôle qualité réalisé 312 proportion) à l’aide d’une fréquence stabilisation des fréquences autour de . calculée sur un échantillon. dans une entreprise industrielle, estimer la proportion d’objets défectueux fabriqués par l’entreprise à partir de la Pour une valeur de supérieure à 50, et fréquence observée sur un une valeur de p comprise entre 0,2 et 0,8, échantillon et expliquer les limites simuler, avec un tableur ou un logiciel de de ce contrôle. programmation, échantillons de taille Lors d’une campagne de d’une loi de Bernoulli de paramètre et dépistage d’une maladie, estimer la proportion de personnes représenter les fréquences de succès malades dans la population totale observés par un nuage de points. à partir du nombre de malades Calculer la proportion des échantillons observés sur un échantillon et pour lesquels l’écart entre la fréquence expliquer les limites de ce observée et est inférieur ou égal à et dépistage. la comparer à 0,95. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Une réalisation [ d’un échantillon de la variable aléatoire une sous-population de taille prélevée au hasard dans la population totale d’une loi de probabilité avec un échantillon statistique. La simulation de échantillons de taille de d’une loi de Bernoulli paramètre est la suite des valeurs prises . Cela permet de relier un échantillon permet aux élèves de : - percevoir la fluctuation des fréquences calculées sur les échantillons ; - percevoir la stabilisation de ces fréquences autour de (pour de grandes valeurs de fréquence de succès calculée sur un échantillon est une estimation la probabilité 313 sur et comprendre ainsi pourquoi la ; - quantifier la qualité de cette estimation en calculant la proportion des échantillons où l’écart entre et égal à Si est inférieur ou est une fréquence calculée sur un échantillon, l’intervalle [ ] s’appelle un intervalle de confiance à 95 % ; - comprendre que les 5% des fréquences non situées dans l’intervalle [ ] expliquent les limites de l’estimation. - UA Statistique Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Séries statistiques à deux variables quantitatives Nuage de points associé à une série statistique à deux variables quantitatives. Représenter un nuage de points à partir de la donnée de deux variables quantitatives. Déterminer un ajustement affine au jugé, Dans un premier temps, les puis à l’aide de la droite des moindres ajustements affines peuvent être réalisés graphiquement « au jugé carrés. ». L’appréciation de leur qualité peut faire l’objet d’une discussion Coefficient de corrélation linéaireentre Utiliser un outil numérique (calculatrice, au sein de la classe. deux variables quantitatives. tableur, logiciel de programmation) pour Dans un deuxième temps, la calculer le coefficient de corrélation méthode de la droite de Mayer est linéaire entre deux variables. présentée. Ajustement affine d’un nuage de points. 314 Dans un troisième temps, l’enseignant présente aux élèves la Interpréter le coefficient de corrélation méthode des moindres carrés : linéaire. recherche d’une droite d’équation réalisant le minimum Utiliser un ajustement affine pour de interpoler ou extrapoler des valeurs inconnues. points pour le nuage de . Il donne l’interprétation géométrique de ce minimum. Les élèves effectuent les calculs des coefficients et à la calculatrice tableur. ou à l’aide d’un Avec les différentes méthodes, l’enseignant montre comment effectuer des prédictions de valeurs. Il privilégie les contextes réels, en lien avec la filière : - données issues des domaines de la santé ; - mesures expérimentales de grandeurs liées par une relation linéaire en biologie (intensité et tension ; droite d’étalonnage d’une concentration). 315 L’enseignant veille à entraîner les élèves à exercer leur esprit critique sur la pertinence, au regard des données et de la situation étudiée, d’une modélisation par un ajustement affine et sur les limites des extrapolations faites dans ce cadre. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont sensibilisés à bien différencier causalité et corrélation. Ceci est une compétence mathématique, bien sûr, mais aussi une compétence citoyenne. UA Algorithmique et programmation Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Utiliser des variables, des fonctions, des boucles, des tests et des listes Consolidation des savoirs acquis au cours des années précédentes sur les variables, les fonctions, les boucles, les tests et les listes. Consolidation des savoir-faire développés au cours des années précédentes sur les variables, les fonctions, les boucles, les tests et les listes. Écrire une fonction qui prend en argument un entier naturel non nul et qui renvoie la liste des bits de son écriture en base 2. Écrire une fonction qui prend en argument une liste de 0 et de 1 et qui renvoie le nombre entier écrit en base dix dont cette liste est l’écriture en base 2. 316 Écrire une fonction qui prend en argument un entier naturel non nul et qui renvoie la liste de ses facteurs premiers. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques BLOC 2 Utiliser un tableur ou un langage de programmation textuel pour simuler une expérience aléatoire ou une variable aléatoire Fonction ALEA() du tableur retournant À l’aide des fonctions ALEA() et ENT() un nombre aléatoire compris entre 0 du tableur, écrire une fonction renvoyant de manière aléatoire un nombre entier inclus et 1 exclu. compris entre deux entiers a et b. Fonction random() de la bibliothèque random du logiciel Python retournant un nombre aléatoire compris entre 0 inclus et 1 exclu. Fonction randint(a,b) de la bibliothèque random du logiciel Python retournant un nombre entier aléatoire compris entre les entiers ainclus et b inclus. Simuler au tableur 100, puis 1000, puis 5000 lancers successifs d’un dé à six faces bien équilibré. Dans chaque cas, représenter par un histogramme la distribution des fréquences d’apparition de chaque chiffre entre 1 et 6 et les à la probabilité Simuler au tableur ou en Python le lancer comparer correspondante. d’une pièce de monnaie. Réaliser des activités similaires en Python. Simuler au tableur la variable Simuler au tableur ou en Python le lancer aléatoire égale à la somme des d’un dé à 6 faces. chiffres obtenus lors du lancer de deux dés bien équilibrés à 6 faces. Simuler des échantillons de tailles 100, puis 1000, puis 5000 de cette Simuler en Python une variable aléatoire. variable aléatoire et représenter par un histogramme la distribution des fréquences. Réaliser des activités similaires en Python. 317 UA Raisonnement, logique Il n’est pas attendu que les enseignants présentent les notions de cette unité d’apprentissage dans un cours qui leur serait spécifiquement dédié. Au contraire, c’est à l’occasion de la rencontre de ces notions dans les autres unités d’apprentissage (géométrie, probabilités, calcul algébrique, arithmétique, algorithmique et programmation) que le professeur les formalisera. Cette unité vise simplement à synthétiser tout ce qui est attendu des élèves en fin de 4ème année. Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Consolider la connaissance du vocabulaire mathématique de base Consolidation des notions d’ensemble, d’élément d’un ensemble, de sousensemble, d’appartenance et d’inclusion, de réunion, d’intersection et de complémentaire. Symboles mathématiques correspondants : ∈, ⊂, ⋂, ⋃. Diagramme de Venn. Notation des ensembles de nombres et des intervalles de Écrire un ensemble en extension (s’il est Écrire en compréhension fini) ou en compréhension. l’ensemble des nombres réels dont le carré est strictement inférieur à Déterminer l’intersection et la réunion de 1. deux intervalles de Écrire en compréhension l’ensemble des nombres réels tels que . Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Pour le complémentaire d’un sous-ensemble A d’un ensemble E, on utilise à la fois la notation des probabilitésĀ, et la notationE \ A. La détermination de l’intersection et de la réunion de deux intervalles de est traitée dans différentes BLOC 2 configurations (intervalles ayant une intersection non vide, intervalles adjacents, intervalles disjoints. Consolider la lecture et l’écriture de propositions mathématiques Proposition mathématique : utilisation Formuler (en langage naturel et en Dire si les propositions suivantes des quantificateurs universel (symbole ) langage mathématique) la négation d’une sont vraies ou fausses : proposition contenant un ou plusieurs 318 et existentiel (symboles Conditions nécessaire, nécessaire et suffisante. ). quantificateurs. Formuler (en langage naturel et en suffisante, langage mathématique) la réciproque d’une implication. Formuler une équivalence logique Identifier la condition nécessaire et la Écrire la négation de chacune des condition suffisante d’une implication. propositions précédentes. Relier les propositions suivantes par une implication ou une équivalence : Proposition A : est un multiple de 3 ; Proposition B : est un multiple de 2 ; Proposition C : est un multiple de 6 ; Proposition D : est un multiple de 2 et de 3. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On aura intérêt à faire réfléchir régulièrement les élèves sur des questions simples, du type : quelle est la négation de la propriété ? Quelle est la négation de la propriété ? 319 BLOC 3 Consolider la formalisation des raisonnements mathématiques déjà étudiés Raisonnement par disjonction de cas. Raisonnement par l’absurde. Raisonnement par récurrence. Dans le cadre de la résolution de Soit une fonction monotone sur problèmes, mobiliser des raisonnements et les rédiger sous la forme de On note la fonction qui à tout démonstrations. associe . Démontrer par disjonction de cas que est croissante sur Sachant que n’est pas un nombre rationnel, démontrer, à l’aide d’un raisonnement par l’absurde, que le nombre n’est pas un nombre rationnel. Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que la somme des n premiers entiers impairs est égal à Utiliser un raisonnement par récurrence pour étudier des suites définies par leur premier terme set une relation de récurrence du type lorsque f croissante. 320 est une fonction Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves sont entraînés à reconnaître des analogies et des particularités entre un problème à résoudre et une situation déjà connue. En géométrie, les élèves doivent comprendre que, si l’observation d’une figure est un support au raisonnement, elle ne peut en aucune manière s’y substituer. Dans une démarche inductive, à la suite d’essais sur des cas particuliers, les élèves sont amenés à émettre des conjectures qu’ils devront ensuite prouver à l’aide d’une démonstration ou infirmer en produisant un contre-exemple. De manière générale, les élèves doivent apprendre à utiliser des contre-exemples pour démontrer qu’une proposition est fausse et à chercher des exemples pour conjecturer une proposition. UA Matrices et graphes Savoirs BLOC 1 Savoir-faire Suggestions d’activités Matrices Matrice à lignes et coefficients réels. colonnes à Identifier les lignes et les colonnes d’une matrice. Matrice ligne, matrice colonne, matrice carrée. Notations : • pour le terme de la ligne et la colonne • matrice à lignes et pour une matrice colonnes. Opérations : sommede matrices Reconnaître que la matrice produit Exemple d’exercice possible : 321 de même dimension, produit est une matrice d’une matrice par un nombre réel. Trois magasins M1, M2, M3 proposent à la vente cinq produits dont les prix . unitaires sont donnés par le tableau suivant : Produit d’une matrice lignes et matrice Notations à Utiliser la disposition Prix unitaire (en $) colonnes par une à lignes et colonnes. . M1 1 5 2 3 4 M2 1,1 4,7 1,8 3,1 3,8 M3 0,9 5,1 1,9 3,2 4 Un client veut acheter deux produits un produit et trois produits deux produits trois produits . Effectuer le produit d’une matrice (dite matrice de prix) par une matrice colonne (dite matrice des quantités) pour déterminer le prix du panier total de l’acheteur dans chacun des trois magasins et déterminer le magasin dans lequel il a intérêt à effectuer ses achats. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. On fera observer que le produit d’une matrice multiplication soit possible, il faut que le même entier et d’une matrice est une matrice : pour que la soit la dimension à droite de la matrice de gauche, et la dimension à gauche de la matrice de droite. Une fois le produit effectué, l’entier n n’apparaît plus. 322 BLOC 2 Puissances d’une matrice carrée Puissances matrice carrée ( entier naturel) d’une Calculer (à la main ou à l’aide d’une calculatrice) des puissances positives d’une matrice donnée (uniquement pour des valeurs numériques de ). Évolution couplée de deux suites Pour des valeurs numériques de , Exemple d’exercice possible : récurrentes. Modélisation par une calculer l’état du système au bout de Dans le cadre d’une étude relation de récurrence où étapes en fonction de son état initial à scientifique, des souris sont est une matrice et et sont l’aide de la relation enfermées dans une cage deux matrices . comportant deux compartiments . A et B. La porte entre ces deux compartiments est ouverte pendant un quart d’heure tous les Égalité où représente l’état jours jour à midi. initial du système. On suppose qu’au départ les deux compartiments contenaient le même effectif de souris. Les observations ont montré que, chaque jour : 20% des souris présentes dans le compartiment A avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment B après la fermeture de la porte. 10% des souris présentes dans le 323 compartiment B avant l’ouverture de la porte se trouvent dans le compartiment A après la fermeture de la porte. On note (resp ) la proportion de souris présentes dans le compartiment A (resp B) au bout de n jours. On note la matrice Déterminer fonction de M telle que . et et en et la matrice . Déterminer la répartition des souris dans les compartiments A et B au bout de trois jours. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Les élèves ayant étudié en S3 le produit de deux matrices on commence par présenter le produit de deux matrices . Lors de la résolution de problèmes, l’utilisation d’une calculatrice permet de limiter le temps consacré à des calculs techniques (notamment des produits ou des puissances de matrices) et de se concentrer sur les aspects liés à la modélisation et au raisonnement. 324 BLOC 2 Matrice d’adjacence d’un graphe Matrice d’adjacence d’un graphe d’ordre Écrire la matrice d’adjacence d’un graphe , orienté ou non orienté. (orienté ou non). La matrice d’adjacence d’un graphe non Construire un graphe dont la matrice d’adjacence est donnée. orienté est symétrique. Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. Après avoir présenté en S3 les matrices comme outils de représentation des transformations géométriques et des systèmes linaires, l’objectif est ici de montrer qu’elles servent aussi à représenter des graphes. BLOC 4 Chaines de Markov à 2 ou 3 états Chaine de Markov homogène. Reconnaître homogène. une chaine de Markov Donner des exemples de chaines de Markov à 2 ou 3 états. Matrice de transition d’une chaine de Déterminer la matrice de transition d’une Markov homogène. chaine de Markov. Vérifier sur des exemples que la matrice Graphe orienté et pondéré d’une chaine de transition d’une chaine de Markov est une matrice stochastique. de Markov. Associer un graphe orienté et pondéré à une chaine de Markov à 2 ou 3 états. Distributions de probabilité d’une chaine Pour une chaine de Markov dont la matrice de transition est donnée, et de Markov. pour des petites valeurs de , calculer la La matrice ligne donnant la distribution de probabilité à l’étape distribution à l’étape d’une chaine de en fonction de et de la distribution Markov homogène de matrice de initiale . 325 Exemples d’exercices possibles : Graphe d’ordre 2 : Deux grossistes A et B se partagent la clientèle d’un produit industriel. transition Égalité On suppose que le nombre total de clients reste fixe d’une année sur l’autre. En 2022, 45% des clients se fournissaient chez le grossiste A et 55% chez le grossiste B. On admet que, d’une année sur l’autre, 6% des clients du grossiste A deviennent clients du grossiste B tandis que le grossiste B conserve 86% de ses clients. Chaque année, on choisit au hasard un client ayant acheté le liquide. Pour tout entier naturel n on note :  la probabilité qu’il soit client du grossiste A en ,  la probabilité qu’il soit client du grossiste B en . On note la matrice vérifie , est la matrice ligne représentant la distribution initiale. ligne représentant la distribution de probabilité en . Représenter la situation par un graphe et calculer sa matrice de transition. À quelle répartition des clients doit-on s’attendre en ? 326 Graphe d’ordre 3 : On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne. Ce processus peut être vu comme une marche aléatoire sur un espace à trois états : A : il y a 0 boule blanche dans U ; B : il y a 1 boule blanche dans U ; C : il y a 2 boules blanches dans U. 7. Représenter la situation à l'aide d'un graphe orienté et pondéré et déterminer sa matrice de transition. 8. Pour tout entier naturel on note la distribution du système après transitions. 9. On admet que la suite converge vers une matrice ligne Déterminer et l’interpréter. Marche aléatoire sur un segment : Un personnage se déplace d’un 327 sommet à l’autre du graphe cidessous selon la loi suivante : S’il est en A ou en B, il ne peut aller qu’en P ; s’il est en P, il peut aller en A ou en B avec la même probabilité . Représenter la situation par un graphe et donner la matrice de transition G de ce graphe. Calculer G2 et G3 Indications didactiques ou pédagogiques, remarques. L’étude des chaines de Markov utilise les probabilités conditionnelles vues en S3 et la formule des probabilités totales. Il convient donc de commencer l’étude par un rappel sur ces notions. On se limite aux chaînes de Markov à deux ou trois états. 328